新工科理念下的线性代数（20篇）

新工科理念下的线性代数（20篇）新工科理念下的线性代数　　新工科背景下“线性代数”课程混合教学模式　　探索　　作者：刘言李媛苏晓明来源：《教育教学论坛》2021年第45期　　[摘要]以推进新下面是小编为大家整理的新工科理念下的线性代数（20篇）,供大家参考。

篇一：新工科理念下的线性代数

　　新工科背景下“线性代数”课程混合教学模式

　　探索

　　作者：刘言李媛苏晓明来源：《教育教学论坛》2021年第45期

　　[摘要]以推进新工科建设为背景，以培养实践能力强、创新能力强的高素质复合型人才为目标，依托在线优质资源，针对“线性代数”课程开展了教学模式改革的探索与实践。通过介绍“线性代数”课程线上线下混合式教学的设计与实施方案，构建了基于翻转课堂的教学模式和“三位一体”的学习模式，建立了模块化的过程性考核模式，实现了线上资源与线下授课的有机融合，打造了全方位多角度的智慧课堂，充分体现了“以学生为中心”的教学理念，有效提升了教学质量。

　　[关键词]线性代数;混合式教学;翻转课堂;模块化考核

　　[基金项目]2018年度辽宁省普通教育本科教学改革研究项目“教育信息化环境下‘线性代数’教学模式的研究与实践”（辽教函〔2018〕471号）;2020年度沈阳工业大学教学改革重大项目“强基背景下‘2+X’拔尖人才培养模式的研究与实践”（沈工大校发〔2020〕170号）

　　[作者简介]刘言（1982—），女，辽宁锦州人，理学硕士，沈阳工业大学理学院讲师，主要从事控制理论研究;李媛（1976—），女，山东龙口人，工学博士，沈阳工业大学理学院副院长，教授，主要从事网络控制系统的建模分析及优化设计理论与应用研究;苏晓明（1964—），男，辽宁北票人，工学博士，沈阳工业大学教务处处长，沈阳工业大学理学院教授，主要从事广义控制系统的建模分析与应用研究。

　　[中图分类号]G642.0[文献标识码]A[文章编号]1674-9324（2021）45-0137-04[收稿日期]2021-03-25

　　一、引言

　　2017年，教育部啟动“新工科”建设，加快培养新兴领域的工程科技人才，改造升级传统工科专业，主动布局未来战略必争领域的人才培养，提升国家硬实力和国际竞争力[1]。相对于传统的工科建设，新工科着眼于培养实践能力强、创新能力强、符合未来新兴产业和新经济发展需求的高素质复合型人才。“线性代数”作为工科的数学类基础课，不仅为其他课程和应用领域提供了处理多元问题的有力工具，而且为提高学生素质、适应信息时代提供了必要的思维训练[2]。本文着眼于“线性代数”课程教学模式改革，立足于线性代数理论知识体系的结构与特点，结合授课专业背景及应用领域，依托优质在线资源与现代化教学手段，以助力新工科人才建设为目标，开展线性代数线上线下混合教学模式的探索。

　　二、教学模式分析

　　线性代数主要研究有限维线性空间中的线性关系和线性映射，理论抽象不易理解，多年来始终采用着传统教学模式。以教师为主线开展教学活动，利于教学节奏的把控和教学进程的推进，却忽略了学生的主观意识与主观意愿，限制了学生自主学习意识的建立与自主学习能力的提升，不利于创新精神与创新能力的培养。

　　与传统教学模式相比，线上教学为学生提供了更加丰富的学习资源及更为自由的学习环境。但是在线教学模式缺乏约束力，存在学习进程难以把控、视频资源不能满足个性化学习的需求、远程交流效果不及面对面讨论等现实问题，从而导致学习质量难以保证。如何利用线上优质资源，结合传统教学模式，整合线上与线下两种教学模式的优势，开展混合式教学，实现线上资源与线下教学有机融合是当下教学改革研究的热点方向[3，4]。诸多专家学者基于不同课程开展了混合式教学模式的探索，并取得了丰富的成果，而对于“线性代数”课程混合式教学模式的研究相对较少。笔者基于我校的工科实际，转变教学理念，重构教学内容，重塑课堂概念，尝试设计与实施“线性代数”课程线上线下混合式教学模式的改革方案。

　　三、教学内容重构

　　我校“线性代数”课程采用自编教材，共六章内容。第一、二章介绍矩阵相关理论与行列式的计算方法，第三、四、五章将矩阵作为工具展开对于向量空间、方程组求解与二次型理论的研究，第六章展示相关数学模型的经典案例。全书内容安排由基础到应用，由理论到实际，符合工科专业的需求。我校工科专业均开设了“线性代数”课程，基于不同专业大类的特点，分别制定三版不同学时、不同教学侧重点的教学大纲。同时，基于各专业的工程背景，制定具有本专业特色的专属教学方案。将与专业应用关联紧密的线性代数理论作为教学重点，弱化理论逻辑推导，强调理论运用能力，实现教学内容重构。通过设置情境问题，引入与本专业相关的实际案例，将空中理论落到实处。例如面向计算机等与信息产业相关的专业，引入利用矩阵乘法进行信息伪装的应用案例[5];对于金融学等与经济管理相关的专业，引入利用矩阵求解投入产出问题的应用案例。情境问题的合理设置，彰显出线性代数理论解决工程问题的强大力量，以及对于本专业学习的重要作用。

　　混合式教学是线上与线下两种教学模式的有机融合。融合的前提是对知识点的属性划分归类。遵循知识点内化过程，将教学内容划分为基本概念模块、理论性质模块、理论应用模块（经典案例）与运用提升模块（拓展案例）。学生课前在线完成基本概念模块与性质理论模块的自我消化，课中在线下课堂固化性质理论模块的基础上，对于理论应用模块展开详细探讨，结合翻转课堂模式开展案例教学。交流讨论的过程凸显学生在解题中存在的疑问和误区，如在降阶法计算行列式案例中，小组代表在演示时选择了行列式的第一行进行化零，并展开实现一次降阶。有学生提出质疑：第一行不是最优选择并演示其解题过程。通过对比，学生确实看到不同的行列选择对于计算过程的影响。教师顺势抛出讨论专题：“选择目标行列的原则是什么？”这个问题引发了小组内部的热烈讨论。以学生为主体的参与讨论式学习，符合发现问题—分析问题—解决问题的科学探索过程。教师在教学进程中实时划重点，面向不同授课对象的展示情况及学生的提问开展个性化教学。课后学生在线完成运用提升模块，检测学习效果，实现知识点的综合运用。

　　四、教学方案实施

　　构建基于混合式教学的三位一体的学习模式，将学生的学习行为划分为三个阶段，即课前自学、课上内化、课后总结，三个阶段环环相扣、层层递进，逐步提升学生的自学能力、思辨能力及专业能力，如图1所示。

　　（一）課前自学

　　授课前，学生按照自学任务单的指引，完成基本概念模块与性质理论模块的自我消化及在线自测练习，参与平台讨论，形成自学笔记。自学任务的高效完成是学生适应“以学生为中心”的课堂教学节奏的基础保障，是学生得以最大程度地发挥和展现独特个人思想与魅力的前提条件。

　　通过自测统计数据，教师准确地把握了学生对于知识点的理解程度，及时发现共性问题与难点问题，为翻转课堂讨论专题设计的有效性提供了参考依据。通过讨论统计数据，教师收集整理了学生感兴趣的问题，为启发式教学的设计方案提供了实际素材。

　　（二）课上内化

　　线下课堂采用探究式教学方式，教师抛出实际案例引发小组讨论，采用问题式教学对于共性问题给予分析解答，采用启发式教学对于易错问题进行纠正。对于抛出的讨论专题，学生以小组为单位进行组内讨论，小组代表发表组内讨论结果，其他小组对于该组代表的表述提问，教师进行总结评价。讨论参与式教学活动既培养了学生的团队合作意识和协作解决问题的能力，也提升了逻辑思维的严谨性和逻辑表述的严密性。

　　（三）课后总结

　　构建知识点思维导图，将知识点结构及相关联系以可视化的形式呈现给学生，可对课程前后交错的知识点进行归类和梳理，厘清课程的问题与概念之间的关系[4]。学生完成作业在线提交，对于基础作业的批阅模式，设置学生之间互相评阅。这种方式实现了角色转换，有助于学生更深入地理解解题思路。

　　（四）教学案例

　　面向计算机专业，以逆矩阵一节为例，依照“三位一体”结构模块设计实施教学实践案例见图2。

　　五、考核评价方式多元化

　　考核方案实施全面化，过程性考核成绩结合期末考试成绩加权计算得到最终的结课成绩。过程性考核主要包含四大模块：（1）资源学习模块——考核学生视频的学习进度、在线学习时长及自测题目的完成度;（2）互动交流模块——考核学生课堂互动与线上交流的参与度，评价学生自主学习意识的强度;（3）巩固提升模块——考核学生的作业完成度，评价知识点理解与掌握程度;（4）阶段检测模块，考核学生对知识点的综合运用程度与应变能力。通过丰富过程考核形式，增大过程考核成绩比例，学生对于过程性学习的重视程度显著提高，在建立良好学习习惯的同时，掌握了有效的学习方法，避免在考前突击，纠正以通过考试为目的、考试结束抛诸脑后的不良学习态度。

　　平台根据不同维度对每一模块进行数据统计，为进一步实现教学设计合理化提供了数据分析。当然，数据也呈现了每一位学生在各学习环节中的表现，展现出个体化差异，为教师开展个性化教学提供了参考依据。

　　六、结语

　　在新工科建设指引下，本文以“线性代数”课程为例，以“培养学生理论素养和实践创新能力”为目标，对教学模式的改革进行了探索，设计并实施了线上线下混合式教学方案，构建了以“学生为中心”的全方位多角度“智慧课堂”。该模式改善了学生的学习状态，由“被动型学习”逐步转变为“主动型学习”，学习效果显著改善。笔者在今后的教学实践中将继续立足于工科实际，对于教学方案进行不断迭代、修正、更新、优化，推进我校“线性代数”课程教学模式的深入改革，以适应培养新工科人才建设的需求。

　　参考文献

　　[1]吴爱华，杨秋波，郝杰.以“新工科”建设引领高等教育创新变革[J].高等工程教育研究，2019（1）：1-7+61.

　　[2]邬学军，唐明.线性代数是蓝色的——大学非数学专业《线性代数》的课程设计[J].大学数学，2008，24（6）：12-16.

　　[3]赵小艳，李继成.MOOC环境下大学数学教学方法思考[J].大学数学，2015，31（3）：46-48.

　　[4]杨文霞，何郎，彭斯俊.基于SPOC和翻转课堂的线性代数混合式教学改革与实践[J].大学数学，2017，33（4）：44-50.[5]文军，屈龙江，易东云.线性代数课程教学案例建设研究[J].大学数学，2016，32（6）：46-52.

　　ExplorationonBlendedTeachingModelofLinearAlgebraCourseundertheBackgroundofEmergingEngineering

　　LIUYan，LIYuan，SUXiao-ming

　　（SchoolofScience，ShenyangUniversityofTechnology，Shenyang，Liaoning110870，China）

　　Abstract：UnderthebackgroundofpromotingtheconstructionofEmergingEngineering，aimingatcultivatinghigh-qualitycompoundtalentswithstrongpracticalabilityandinnovationability，andrelyingonhigh-qualityonlineresources，theexplorationandpracticeofteachingmodelreformfortheLinearAlgebracoursearecarriedout.Thispaperintroducesthedesignandimplementationschemeofonlineandofflineblendedteaching，constructstheteachingmodelandthe“trinity”learningmodelbasedonflippedclassroom，andestablishesthemodularprocessassessmentmodel.Thepurposeistorealizetheorganicintegrationofonlineresourcesandofflineteachingandcreateacomprehensiveandmulti-angleintelligentclassroomwhichfullyembodiesthe“student-centered”teachingconceptandeffectivelyimprovestheteachingquality.

　　Keywords：LinearAlgebra;blendedteaching;flippedclassroom;modularassessment

篇二：新工科理念下的线性代数

　　2016年17期教海探新高教学刊journalofhighereducation物理类专业线性代数教学方法改进的研究与实践黄美东王宇飞刘士余张禧征王庆媛天津师范大学物理与材料科学学院天津300387线性代数是高等工科院校开设的一门工科数学基础课同时也是国家教育部提出的工科大学生必备的数学基础之一对于我校物理学应用物理学电子计算机等专业都是非常重要的一门课程

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　　物理类专业《线性代数》教学方法改进的研究与实践

　　作者：黄美东王宇飞刘士余张禧征王庆媛来源：《高教学刊》2016年第17期

　　（天津师范大学物理与材料科学学院，天津300387）

　　摘要：《线性代数》是我校物理学、应用物理学、电子、计算机等专业的重要的数学基础课。但是由于《线性代数》内容抽象、难理解使得广大同学普遍反应难以掌握。针对学生提出的问题，文章分别从线性代数相关知识在物理类专业中的应用、尝试创新教学方式、鼓励学生查阅相关书籍扩充知识体系、采用多媒体教学等方面进行了研究。

　　关键词：线性代数；物理类专业；教学方法

　　中图分类号：G642文献标志码：A文章编号：2096-000X（2016）17-0123-02

　　Abstract：LinearAlgebra，asabasicmathematicscourse，isimportantforstudentsmajoredinPhysics，AppliedPhysics，Electronics，andComputerinouruniversity.However，thecontentofLinearAlgebraisabstractandelusiveformanystudents，andtheyfeelitishardtounderstand.Accordingtothissituation，thisarticlesummarizestheapplicationoflinearalgebrainthecorecoursesofphysics.Itisinvestigatedandresearchedtoimprovetheteachingeffectsbysuggestinginnovativeteachingmethods，encouragingstudentstosearchandreadreferencebookstoenlargetheirviewfield，andbyadoptingmulti-mediaforclass-teachingaswell.

　　Keywords：linearalgebra；physics-relatedmajor；teachingmethod

　　《线性代数》是高等工科院校开设的一门工科数学基础课，同时也是国家教育部提出的工科大学生必备的数学基础之一，对于我校物理学、应用物理学、电子、计算机等专业都是非常重要的一门课程。它不但广泛应用于后续量子力学、固体物理、应用物理学等物理学专业课程，而且对于其他学科，如工程技术、经济学和社会学等领域也有着重要体现。不仅如此，线性代数作为基础学科和工具学科，不仅从逻辑思维还是从抽象思维方面来说，对大学生的素质教育十分关键。目前国内许多高校针对《线性代数》课程的问题已经做了许多研究与探索，得到了许多有意义的成果。但是多数研究是针对经济管理等某一应用性工科专业开设的课程而进行的，更多的是着重在研究这门课程本身的教学改革。针对物理类专业的《线性代数》改革并不多，基于这样的研究基础，针对物理类专业中《线性代数》教学方法的改进进行了研究与探索，并取得了一定成效。

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　　一、线性代数的特点：

　　1.线性代数各部分内容呈现块状分布，例如：行列式、矩阵、线性方程组、特征向量、线性空间以及线性变换等。这些内容看似彼此独立，掌握一个并不代表着一定可以掌握下一个。但是，当我们从整体上分析时，又会发现其实各个部分的内容之间是有关联的，一条主线贯穿整个线性代数。这样一个逐步递进的学习过程，对于初次学习该课程的同学很难做到，进而也造成了学习者的学习困难。

　　2.线性代数理论非常抽象，很难与实际形体相联系。高度的抽象和概括可以将许多不同的问题统一起来，形成一个问题进行研究，同时把对一个问题的研究简化成对一类问题的研究。这个特点在线性代数上体现的尤为突出，学习过程许多概念抽象难懂，学生往往无法充分理解这些概念的内涵及其定义的合理性，例如：为什么会形成行列式，矩阵乘法是怎么来的，特别是在线性代数中占据重要地位的线性空间这部分内容，其中许多定义过于抽象不利于学生理解，这样的情况极大地影响了学生学习的积极性和兴趣。

　　3.线性问题广泛存在于科学技术的各个领域，而且某些非线性问题在一定条件下也可以转化为线性问题，尤其是在计算机日益普及的今天。线性问题已经成为工程技术人员经常遇到的问题。由于上述这些特点，学生在学习《线性代数》这门课程时，普遍感到其内容抽象，要深入理解与掌握代数的基本概念与基本理论相当吃力。由于《线性代数》对于物理专业有着举足轻重的作用，在诸多专业课中都需要用到线性代数的相关知识。因此，为了培养和提高我校物理类专业学生利用线性代数相关知识解决后续专业课中实际问题的能力，进一步研究改进《线性代数》这门课程的教学方法非常有必要。

　　二、教学中采取的相应措施

　　1.物理学是研究物质运动最一般规律及物质基本结构的学说。具体地说，按所研究的物质运动形态和具体对象，它涉及的范围包括：力学、声学、热学和分子物理学、电磁学、光学、原子和原子核物理学、基本粒子物理学、固体物理学以及对气体和液体的研究等。“经过我们的研究总结发现，在物理的专业课程中会用到线性代数的许多知识。针对初学者，应当将这些专业课程所用到的线性代数知识作为实际应用的例子，适当的引入教学过程中，让学生们在学习时能够感到学有所用，这样就可以有效的增强学生们学习的积极性与目的性，提高学习效率。例如：在理论力学中，关于转动惯量内容的学习中，假设刚体在某一时刻以角速度w做定点转动，在它上面，取任一质点P，其质量为m，速度是v。根据公式J=rmv可以求出其动量矩。动量矩一般并不与角速度共线，只在惯量主轴上，二者才共线，在这种情况下求解动量矩就需要利用坐标分解，此時就需要用到线性代数中的行列式去进行求解。除了理论力学，在固体物理、电动力学、原子物理、力学、光学、热学等专业课程中均有线性代数非常重要的作用。

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　　2.在概念教学方面我们需要做出改进，实际上很多抽象概念都来源于具体的问题。传统的教材是“定义——例子——性质”的体系教学。这样的教学对知识点很难有深刻的理解，只能是机械式的记忆。在实际教学中可以先通过对背景知识的阐述，让学生对产生这样一个概念的特定背景有所了解，这样不仅加强了学生对于概念的理解，同时在一定意义上培养了学生的科学探究素养。如果遇到背景起源较为复杂的概念内容时，简单的背景介绍就不适用了，这时可以采取引入适当的例子进行分析讲解。将枯燥乏味的知识结构融入实际问题中，引导学生们独立思考。对于内容相对简单的章节，例如：线性空间内容的学习，初高中学习中已经初步涉及了空间概念，从点到面，从一维空间到二维空间逐步过渡，逐步引导。大胆提出假设，鼓励学生自己推广范围更大的结论。或者可以尝试教师讲授与学生上台试讲相结合的教学手段。鼓励学生走上讲台，教师给予适当的点评和分析。这样可以充分调动学生的积极性，学生在自己讲授中产生兴趣，提升自信。

　　3.如今这个信息化的时代，计算机网络已经成为了人们沟通交流、学习生活的重要途径。多媒体技术应用在线性代数教学中有许多优势：多媒体是一种集文字、图画、声音、动画于一体的新型教学模式。它可以有效的将枯燥抽象的教学内容形象化、具体化。有助于学生对于知识概念的理解掌握，活跃课堂气氛、有效的提高学习兴趣，降低认知难度。前面曾提到过线性代数计算量大，计算步骤复杂繁琐，针对这种对于逻辑思维要求极强的内容，通过多媒体演示就会达到很好的教学效果。例如：矩阵的初等变换中涉及到的行列式计算，可以利用数学软件演示。与此之外，在课堂内容中还可以增加动画演示，更加形象生动，提高课堂学习效率。

　　三、待解决的问题

　　利用多媒体教学，主要问题有课堂信息量过大，停留时间较短，容易造成课堂上思维跟不上，这就需要教师强调学生课下自己复习，回顾总结。同样对于教师，多媒体教学对教师的要求较高，需要教师熟练掌握知识脉络，熟练运用相关软件，在怎样将抽象问题具体化上面多下功夫。让学生不再对课程的学习感到困难。鼓励学生课下相互讨论，促进学习，积极查阅相关书籍、参考资料，充实自己的知识体系，使所学知识更为牢固。

　　四、结束语

　　针对學生目前普遍感到抽象、难学的《线性代数》课程。通过调研，整理收集了物理专业课程中应用到线性代数相关知识的章节，将其结合到实际教学中。增强学生对于线性代数作为数学工具在后续相关专业课程中的重要性有所认识，提高学生的学习积极性与主动性。在实际教学部分，采取教师讲授与学生上台相结合的教学模式，突破了传统的单一教学模式。让学生成为课堂的主人，有效的激发学生学习该课程的责任感。同时，在教学中引入了多媒体教学，通过多媒体的新型教学方式，有效的活跃了课堂气氛，提高学习效率。

　　参考文献

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　　[1]赵琼.关于线性代数教学改革和教学实践的思考[J].科教文汇，2007，8：35.[2]高莹莹.多媒体技术应用于线性代数课堂教学中的实践与认识[J].课程教育研究，2013，11：131-132.[3]刘慧敏.关于线性代数教学改革的思考[J].科技致富向导.[4]周玲.线性代数课程教学点滴谈[J].大学教学.[5]鲍培文.线性代数启发式教学改革的新思路[J].湘潭师范学院学报.[6]郑烨.浅谈线性代数的实用性[J].科技天地.作者简介：黄美东（1972-），男，汉族，四川南充人，教学副院长，副教授，教学研究方向：课程教学方法的改进、教学管理技能的提高，科学研究方向：薄膜与离子束表面改性。

篇三：新工科理念下的线性代数

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　　新工科背景下线性代数教学改革初探

　　作者：李清华葛君琰来源：《新课程研究·下旬》2019年第08期

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　　摘;要：“新工科”建设旨在培养多元化、创新型卓越工程人才，线性代数是培养工程人才的数学基础课程。文章介绍了“新工科”背景下线性代数教育教学现状，在分析大学生学习心理以及教学范式改革的基础上，针对培养学生理论联系实际的能力，提出将数学建模思想融入线性代数的现代教育理念和实践路径，并列举了创新性的数学建模思想融入线性代数教学的案例。

　　关键词：新工科;心理认知;数学建模思想;线性代数

　　作者简介：李清华，烟台大学数学与信息科学学院副教授，研究方向为模糊拓扑学、模糊凸结构等;葛君琰，烟台大学数学与信息科学学院学生。（山东烟台264000）

　　基金项目：本文系烟台大学2017年度教改项目“在应用型本科院校线性代数教学中融入数学建模思想的研究与探析”（编号：jyxm2017001）和2018年度山东省本科教改重点项目“新工科背景下线性代数教学改革的研究与实践”（编号：Z2018S049）的研究成果。

　　中图分类号：G642.0;;文献标识码：A;;文章编号：1671-0568（2019）24-0036-04

　　一、“新工科”建设及线性代数教学现状分析

　　“新工科”是基于国家经济发展进入新常态，高等教育迎来新挑战而提出的教育改革新方向，其目標是培养具有创新能力、高素质的适应经济产业发展的卓越工程人才。“新工科”建设要求提高教育教学质量，并提出新的质量标准，即工程人才培养质量要面向未来。新工科必须通过人才培养理念的升华、体制机制的改革以及培养模式的创新应对现代社会的快速变化和未来不确定的变革挑战。[1]

　　作为“新工科”建设的重要内容，线性代数课程作为普通高校理工、经济和管理等专业的一门基础数学必修课，对数学文化的普及、学生抽象思维的培养等具有不可替代的作用。随着我国经济发展进入新常态，线性代数已经广泛应用到金融、经济、信息等领域。

　　受传统教学习惯的影响，目前线性代数课程主要围绕知识信息的传授，对理论背后思想及其实际背景意义讲授较少。对于课时少、抽象难懂的线性代数教学而言，如何通过改进教学方法，激发学生学习兴趣，让学生能够轻松接受所学内容，并且能够运用其解决实际问题，为新工科建设发展打下坚实的基础显得尤为重要。

　　二、基于学习心理需求的教学模式改革

　　社会越来越关注教育质量，大学生学习行为的投入与学业成就息息相关，大学生学习心理是影响其学习的主要因素之一。大学生学习心理是指大学生在学习过程中受各种内在与外在的、智力与非智力因素影响或刺激而形成的心理反应。探究大学生的学习心理，对提高学生学习能力、改善教学方法具有重要作用。

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　　当前大学生学习方面出现了一些困扰问题，体现出复杂性、矛盾性、变化性、消极性的特点，主要表现在以下方面：①缺乏学习动机，学习目的不明确。学习动机过于功利化，只停留在满足愿望的层面。学习内容多关于社会实惠性、功利性方面，只是为了考试而学习，仍倾向于应试教育。②缺乏学习兴趣，对于学习内容最多只能应付考试，并不能将其应用到现实生活中。③学习内容浮浅，缺乏自学能力。受应试教育的影响，学生一味地等待教师灌输知识，缺乏自己动手探索新知识的精神。[2]

　　新工科背景下以培养人才为目的的线性代数教学改革，通俗而言是教学范式的根本转型，即从“知识传递型”教学转变为“知识建构型”教学。作为一种行为主义教学观的“知识传递型”教学，知识主要靠练习获得，教师的作用主要是传递知识，学生只是程序性地获得知识，学习动机主要靠外部强化;“知识建构型”教学是一种认知主义教学观，习得知识主要靠自主建构，学生要结合自身已掌握知识形成知识网络框架来获取新知识，教师的作用转变为引导学生建构知识。在科技发达、信息量巨大的当下，教育方式必须转变，才能适应新工科背景下应用型人才培养的新要求。因此，在新工科背景下，结合大学生的学习心理认知，将数学建模新思想融入线性代数中具有很强的实际意义。

　　三、数学建模思想与线性代数教学融合路径

　　理论联系实际，知识紧扣应用。数学建模不仅使学生掌握抽象的代数知识，还可以培养学生的运算能力和综合运用所学知识去分析、解决问题的能力，两者的融合可从以下三个路径开展：

　　1.结合实际问题，激发学生的学习兴趣。线性代数本质是实际问题抽象出来的数学语言，要想增强对这门课的理解就需要适当地回归到实际问题中，厘清每个概念定理的背景，自然而然地引入每个知识点。引入最新科技前沿的案例，引导学生挖掘线性代数的丰富内涵，让学生体会到线性代数的广泛应用，激发学生的学习兴趣，培养他们的实践应用能力。如在讲解矩阵的乘法时，可以结合图像的变换。随着电子科技的不断发展，图形的几何变换应用在动画片制作、仿真模拟设计、电子游戏开发等诸多领域，图形的平移、旋转、缩放等都能由矩阵实现，这能够让学生很好地理解矩阵乘法概念及其在实际生活中的用处;再如讲授矩阵的逆时，教师可以结合密码的编译，说明矩阵的破译过程就是求逆的过程，让学生深刻掌握这一概念。

　　2.通过模型建立，引入理论知识。在线性代数教学中融入数学建模思想，促进理论知识与实际问题的结合，利用讲解一道数学建模问题引出所学知识点，更加深了学生对知识点的印象与理解。例如，可以通过网络流模型引出线性方程组求解问题的讲解。在交通、电力、运输、通讯、城市规划、任务分配以及计算机辅助设计等诸多领域，网络流模型得到广泛应用，给工程问题的解决带来诸多便利，一个网络由一个点集以及连接部分或全部点的直线或弧线构成，大多数网络流模型中的方程组包含数百个线性方程，要确定每一分支的流量就是解线性方程组，利用矩阵的一些特性，自然而然地引入线性方程组的相关知识点。

篇四：新工科理念下的线性代数

　　线性代数教学大纲

　　一、说明

　　（一）课程性质

　　线性代数是计算机科学与技术专业的一门专业必修基础理论课。它广泛应用于科学技术的各个领域，尤其是计算机日益发展和普及的今天，线性代数成为工科学生所必备的基础理论知识和重要的数学工具。

　　（二）教学目的

　　使学生熟练掌握线性代数的基本概念、基本理论和基本运算，并通过各个教学环节逐步培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力以及综合运用所学知识去分析并解决问题的能力，为后继课程的学习，从事工程技术、科学研究以及开拓新技术领域，打下坚实的基础。

　　（三）教学内容

　　主要讲授行列式、矩阵及其运算、矩阵的初等变换、向量组的线性相关性、线性方程组、矩阵的相似变换及二次型等内容。

　　（四）教学时数

　　54学时

　　（五）教学方式

　　主要采用课堂理论讲授的方式进行教学，辅以习题课、讨论课等教学形式。

　　二、本文

　　第一章行列式

　　教学要点：理解n阶行列式的定义及其性质；熟练掌握行列式的性质，会利用行列式的性质化简及计算行列式；熟练掌握利用行列式的按行（列）展开的方法计算行列式；会用克拉默法则求解线性方程组。教学时数：10学时教学内容：第一节行列式的定义二阶与三阶行列式；n阶行列式的定义；第二节行列式的性质行列式的性质；第三节行列式按行（列）展开余子式；代数余子式；行列式按行（列）展开法则；第四节克拉默法则克拉默法则；

　　1

　　第二章矩阵及其运算

　　教学要点：理解矩阵的概念，知道零矩阵、对角矩阵、单位矩阵、对称矩阵和反对称矩阵等特殊矩阵；熟练掌握矩阵的运算及其运算性质；理解可逆矩阵的概念，熟练掌握逆矩阵的性质，以及矩阵可逆的充要条件，了解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵；了解分块矩阵，会用矩阵分块法进行矩阵运算。教学时数：10学时教学内容：第一节矩阵矩阵的概念；特殊矩阵；第二节矩阵的运算矩阵的加法；数与矩阵相乘；矩阵与矩阵相乘；矩阵的转置；方阵的行列式；第三节逆矩阵逆矩阵的定义；矩阵可逆的充要条件；伴随矩阵求逆法；逆矩阵性质；第四节矩阵分块法分块矩阵及其运算；准对角矩阵与准三角矩阵及其行列式；四分块矩阵的逆矩阵；

　　第三章矩阵的初等变换与线性方程组

　　教学要点：理解矩阵的初等变换、矩阵秩的概念，熟练掌握用初等行变换求矩阵的秩及可逆矩阵的逆矩阵；理解齐次线性方程组有非零解的充要条件和非齐次线性方程组有解的充要条件，熟练掌握用初等行变换求解线性方程组；了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，初等变换与初等矩阵之间对应关系。教学时数：10学时教学内容：第一节矩阵的初等变换矩阵的初等行（列）变换；矩阵的等价关系；行阶梯形矩阵；行最简形矩阵；初等矩阵；用初等行变换求可逆矩阵的逆矩阵；第二节矩阵的秩矩阵的秩的定义；用初等行变换求矩阵的秩；矩阵的秩的基本性质；第三节线性方程组的解线性方程组无解、有唯一解、有无限多解的充要条件；齐次线性方程组有非零解的充要条件；非齐次线性方程组有解的充要条件；

　　2

　　第四章向量组的线性相关性

　　教学要点：理解下述概念：n维向量、向量组的线性组合、向量的线性表示、向量组的线性相关与线性无关、向量组的极大无关组、向量组的秩以及两向量组的等价，理解向量组的线性相关的性质；矩阵的秩和向量组的秩之间的关系，掌握用初等变换求向量组的线性关系、极大无关组和秩；理解齐次线性方程组的结构、基础解系、通解的概念及非齐次线性方程组的解的结构和通解的概念；掌握用矩阵及线性方程组理论判别向量组的线性相关性；了解向量空间概念，会求向量空间的基和维数。教学时数：12学时教学内容：第一节向量组及其线性组合n维向量的定义、记法；向量的加法和数乘运算；向量的运算规律；向量能由向量组线性表示及其充要条件；向量组能由向量组线性表示及其充要条件；第二节向量组的线性相关性向量组的线性相关、线性无关；向量组的线性相关的充要条件；第三节向量组的秩向量组的极大线性无关组；向量组的秩；第四节向量空间向量空间的定义；n维向量空间；向量空间的基及维数；向量的坐标；子空间；向量内积的定义；向量的长度；第五节线性方程组的解的结构齐次线性方程组的基础解系；解空间；解的结构；非齐次线性方程组的特解及解的结构；

　　第五章相似矩阵及二次型

　　教学要点：了解向量的内积，向量的长度，规范正交基与正交矩阵等概念，掌握线性无关向量组规范正交化的施密特方法；理解方阵的特征值和特征向量的概念和性质，熟练掌握求方阵的特征值和特征向量的方法；了解相似矩阵的概念和性质，矩阵相似于对角矩阵的条件；了解实对称矩阵特征值和特征向量的性质，熟练掌握将实对称矩阵对角化的方法；掌握二次型及其矩阵的表示，了解二次型秩的概念，了解二次型的标准形、规范形的概念，了解惯性定理；熟练掌握用正交变换化二次型为标准形的方法，了解用配方法化二次型为标准形的方法；了解二次型及其对应矩阵的正定性及其判别方法。教学时数：12学时教学内容：第一节向量的内积及正交性

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　　向量的内积；向量的正交；标准正交基；施密特（Smite）正交化方法；正交变换的定义；正交矩阵的定义及其性质；

　　第二节方阵的特征值与特征向量方阵的特征值和特征向量的定义；特征多项式；特征方程；特征值、特征向量的求法及有关性质、矩阵的迹；第三节相似矩阵相似矩阵的定义和性质；矩阵可对角化的条件；第四节对称矩阵的相似矩阵对称矩阵的方阵的特征方程、特征值、特征向量；第五节二次型及其标准型二次型及其矩阵；二次型的标准型及标准化；第六节用配方法化二次型成标准型用配方法化二次型成标准型；第七节正定二次型正定二次型定义、性质；对称矩阵对角化及其正定的充分必要条件；

　　三、参考书目

　　1、同济大学数学系，《线性代数》(第五版)，高等教育出版社，2010，第5版。2、郭志梅、王曙东，《线性代数(第五版)同步辅导及习题全解》，水利水电出版社，2011，第1版。3、胡金德、李擂，《线性代数（同济五版）习题全解与考研指导》，北京理工大学出版社，2012，第1版。

篇五：新工科理念下的线性代数

　　在编写过程中编者根据卓越计划的基本要求教学内容突出基本概念基本理论和基本技能注重培养学生的数学素质着力改变以往工科线性代数教学中重运算技巧轻数学思想的倾向强调数学的基本思想基本方法如强调基本概念及各个概念之间的固有联系重视阐明基本理论的脉络等注意对基本概念和定理的几何背景与实际应用背景的介绍淡化某些特殊技巧的处理充分利用计算机技术和数学软件解决问题

　　《线性代数》根据“卓越工程师教育培养计划”的基本要求，突出基本概念、基本理论、基本技能，注重培养学生数学素质。教材在满足教学要求的前提下，适当降低理论推导的要求，但重视阐明基本理论的脉络。习题配置中也突出基本题、概念题和与工程相关的实际应用题等。

　　由于研究关联着多个因素的量所引起的问题，则需要考察多元函数。如果所研究的关联性是线性的，那么称这个问题为线性问题。历史上线性代数的第一个问题是关于解线性方程组的问题，而线性方程组理论的发展又促成了作为工具的矩阵论和行列式理论的创立与发展，这些内容已成为我们线性代数教材的主要部分。最初的线性方程组问题大都是来源于生活实践，正是实际问题刺激了线性代数这一学科的诞生与发展。另外，近现代数学分析与几何学等数学分支的要求也促使了线性代数的进一步发展。矩阵和行列式行列式出现于线性方程组的求解，它最早是一种速记的表达式，现在已经是数学中一种非常有用的工具。行列式是由莱布尼茨和日本数学家关孝和发明的。1693年4月，莱布尼茨在写给洛比达的一封信中使用并给出了行列式，并给出方程组的系数行列式为零的条件。同时代的日本数学家关孝和在其著作《解伏题元法》中也提出了行列式的概念与算法。

　　1750年，瑞士数学家克莱姆(G.Cramer,1704-1752)在其著作《线性代数分析导引》中，对行列式的定义和展开法则给出了比较完整、明确的阐述，并给出了现在我们所称的解线性方程组的克莱姆法则。稍后，数学家贝祖(E.Bezout,1730-1783)将确定行列式每一项符号的方法进行了系统化，利用系数行列式概念指出了如何判断一个齐次线性方程组有非零解。总之，在很长一段时间内，行列式只是作为解线性方程组的一种工具使用，并没有人意识到它可以独立于线性方程组之外，单独形成一门理论加以研究。

　　在行列式的发展史上，第一个对行列式理论做出连贯的逻辑的阐述，即把行列式理论与线性方程组求解相分离的人，是法国数学家范德蒙(A-T.Vandermonde,1735-1796)。范德蒙自幼在父亲的知道下学习音乐，但对数学有浓厚的兴趣，后来终于成为法兰西科学院院士。特别地，他给出了用二阶子式和它们的余子式来展开行列式的法则。就对行列式本身这一点来说，他是这门理论的奠基人。1772年，拉普拉斯在一篇论文中证明了范德蒙提出的一些规则，推广了他的展开行列式的方法。

　　继范德蒙之后，在行列式的理论方面，又一位做出突出贡献的就是另一位法国大数学家柯西。1815年，柯西在一篇论文中给出了行列式的第一个系统的、几乎是近代的处理。其中主要结果之一是行列式的乘法定理。另外，他第一个把行列式的元素排成方阵，采用双足标记法；引进了行列式特征方程的术语；给出了相似行列式概念；改进了拉普拉斯的行列式展开定理并给出了一个证明等。

　　19世纪的半个多世纪中，对行列式理论研究始终不渝的作者之一是詹姆士•西尔维斯特(J.Sylvester,18141894)。他是一个活泼、敏感、兴奋、热情，甚至容易激动的人，然而由于是犹太人的缘故，他受到剑桥大学的不平等对待。西尔维斯特用火一般的热情介绍他的学术思想，他的重要成就之一是改进了从一个次和一个次的多项式中消去x的方法，他称之为配析法，并给出形成的行列式为零时这两个多项式方程有公共根充分必要条件这一结果，但没有给出证明。

　　继柯西之后，在行列式理论方面最多产的人就是德国数学家雅可比(J.Jacobi,1804-1851)，他引进了函数行列式，即“雅可比行列式”，指出函数行列式在多重积分的变量替换中的作用，给出了函数行列式的导数公式。雅可比的著名论文《论行列式的形成和性质》标志着行列式系统理论的建成。由于行列式在数学分析、几何学、线性方程组理论、二次型理论等多方面的应用，促使行列式理论自身在19世纪也得到了很大发展。整个19世纪都有行列式的新结果。除了一般行列式的大量定理之外，还有许多有关特殊行列式的其他定理都相继得到。矩阵矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述语。而实际上，矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了。从行列式的大量工作中明显的表现出来，为了很多目的，不管行列式的值是否与问题有关，方阵本身都可以研究和使用，矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的。在逻辑上，矩阵的概念应先于行列式的概念，然而在历史上次序正好相反。

　　英国数学家凯莱(A.Cayley,1821-1895)一般被公认为是矩阵论的创立者，因为他首先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来，并首先发表了关于这个题目的一系列文章。凯莱同研究线性变换下的不变量相结合，首先引进矩阵以简化记号。1858年，他发表了关于这一课题的第一篇论文《矩阵论的研究报告》，系统地阐述了关于矩阵的理论。文中他定义了矩阵的相等、矩阵的运算法则、矩阵的转置以及矩阵的逆等一系列基本概念，指出了矩阵加法的可交换性与可结合性。另外，凯莱还给出了方阵的特征方程和特征根（特征值）以及有关矩

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　　阵的一些基本结果。凯莱出生于一个古老而有才能的英国家庭，剑桥大学三一学院大学毕业后留校讲授数学，三年后他转从律师职业，工作卓有成效，并利用业余时间研究数学，发表了大量的数学论文。

　　1855年，埃米特(C.Hermite,1822-1901)证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质，如现在称为埃米特矩阵的特征根性质等。后来，克莱伯施(A.Clebsch,1831-1872)、布克海姆(A.Buchheim)等证明了对称矩阵的特征根性质。泰伯(H.Taber)引入矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论。

　　在矩阵论的发展史上，弗罗伯纽斯(G.Frobenius,1849-1917)的贡献是不可磨灭的。他讨论了最小多项式问题，引进了矩阵的秩、不变因子和初等因子、正交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵等概念，以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子的理论，并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质。1854年，约当研究了矩阵化为标准型的问题。1892年，梅茨勒(H.Metzler)引进了矩阵的超越函数概念并将其写成矩阵的幂级数的形式。傅立叶、西尔和庞加莱的著作中还讨论了无限阶矩阵问题，这主要是适用方程发展的需要而开始的。

　　矩阵本身所具有的性质依赖于元素的性质，矩阵由最初作为一种工具经过两个多世纪的发展，现在已成为独立的一门数学分支——矩阵论。而矩阵论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵论等矩阵的现代理论。矩阵及其理论现已广泛地应用于现代科技的各个领域。线性方程组线性方程组的解法，早在中国古代的数学著作《九章算术方程》章中已作了比较完整的论述。其中所述方法实质上相当于现代的对方程组的增广矩阵施行初等行变换从而消去未知量的方法，即高斯消元法。在西方，线性方程组的研究是在17世纪后期由莱布尼茨开创的。他曾研究含两个未知量的三个线性方程组组成的方程组。麦克劳林在18世纪上半叶研究了具有二、三、四个未知量的线性方程组，得到了现在称为克莱姆法则的结果。克莱姆不久也发表了这个法则。18世纪下半叶，法国数学家贝祖对线性方程组理论进行了一系列研究，证明了元齐次线性方程组有非零解的条件是系数行列式等于零。

　　19世纪，英国数学家史密斯(H.Smith)和道奇森(C-L.Dodgson)继续研究线性方程组理论，前者引进了方程组的增广矩阵和非增广矩阵的概念，后者证明了个未知数个方程的方程组相容的充要条件是系数矩阵和增广矩阵的秩相同。这正是现代方程组理论中的重要结果之一。

　　大量的科学技术问题，最终往往归结为解线性方程组。因此在线性方程组的数值解法得到发展的同时，线性方程组解的结构等理论性工作也取得了令人满意的进展。现在，线性方程组的数值解法在计算数学中占有重要地位。二次型二次型也称为“二次形式”，数域？上的？元二次齐次多项式称为数域？上的？元二次型。二次型是我们线性代数教材的后继内容，为了我们后面的学习，这里对于二次型的发展历史我们也作简单介绍。二次型的系统研究是从18世纪开始的，它起源于对二次曲线和二次曲面的分类问题的讨论。将二次曲线和二次曲面的方程变形，选有主轴方向的轴作为坐标轴以简化方程的形状，这个问题是在18世纪引进的。柯西在其著作中给出结论：当方程是标准型时，二次曲面用二次项的符号来进行分类。然而，那时并不太清楚，在化简成标准型时，为何总是得到同样数目的正项和负项。西尔维斯特回答了这个问题，他给出了个变数的二次型的惯性定律，但没有证明。这个定律后被雅可比重新发现和证明。1801年，高斯在《算术研究》中引进了二次型的正定、负定、半正定和半负定等术语。

　　二次型化简的进一步研究涉及二次型或行列式的特征方程的概念。特征方程的概念隐含地出现在欧拉的著作中，拉格朗日在其关于线性微分方程组的著作中首先明确地给出了这个概念。而三个变数的二次型的特征值的实性则是由阿歇特(J-N.P.Hachette)、蒙日和泊松(S.D.Poisson,1781-1840)建立的。

　　柯西在别人著作的基础上，着手研究化简变数的二次型问题，并证明了特征方程在直角坐标系的任何变换下不变性。后来，他又证明了个变数的两个二次型能用同一个线性变换同时化成平方和。1851年，西尔维斯特在研究二次曲线和二次曲面的切触和相交时需要考虑这种二次曲线和二次曲面束的分类。在他的分类方法中他引进了初等因子和不变因子的概念，但他没有证明“不变因子组成两个二次型的不变量的完全集”这一结论。

　　1858年，魏尔斯特拉斯对同时化两个二次型成平方和给出了一个一般的方法，并证明，如果二次型之一是正定的，那么即使某些特征根相等，这个化简也是可能的。魏尔斯特拉斯比较系统的完成了二次型的理论并将其推广到双线性型。从解方程到群论

　　求根问题是方程理论的一个中心课题。16世纪，数学家们解决了三、四次方程的求根公式，对于更高次方程的求根公式是否存在，成为当时的数学家们探讨的又一个问题。这个问题花费了不少数学家们大量的时间和

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　　精力。经历了屡次失败，但总是摆脱不了困境。到了18世纪下半叶，拉格朗日认真总结分析了前人失败的经验，深入研究了高次方程的根与置换之间的关

　　系，提出了预解式概念，并预见到预解式和各根在排列置换下的形式不变性有关。但他最终没能解决高次方程问题。拉格朗日的弟子鲁菲尼(Ruffini,1765-1862)也做了许多努力，但都以失败告终。高次方程的根式解的讨论，在挪威杰出数学家阿贝尔那里取得了很大进展。阿贝尔(N.K.Abel,1802-1829)只活了27岁，他一生贫病交加，但却留下了许多创造性工作。1824年，阿贝尔证明了次数大于四次的一般代数方程不可能有根式解。但问题仍没有彻底解决，因为有些特殊方程可以用根式求解。因此，高于四次的代数方程何时没有根式解，是需要进一步解决的问题。这一问题由法国数学家伽罗瓦全面透彻地给予解决。

　　伽罗瓦(E.Galois,1811-1832)仔细研究了拉格朗日和阿贝尔的著作，建立了方程的根的“容许”置换，提出了置换群的概念，得到了代数方程用根式解的充分必要条件是置换群的自同构群可解。从这种意义上，我们说伽罗瓦是群论的创立者。伽罗瓦出身于巴黎附近一个富裕的家庭，幼时受到良好的家庭教育，只可惜，这位天才的数学家英年早逝，1832年5月，由于政治和爱情的纠葛，在一次决斗中被打死，年仅21岁。.

　　置换群的概念和结论是最终产生抽象群的第一个主要来源。抽象群产生的第二个主要来源则是戴德金(R.Dedekind,1831-1916)和克罗内克(L.Kronecker,1823-1891)的有限群及有限交换群的抽象定义以及凯莱(A.Kayley,1821-1895)关于有限抽象群的研究工作。另外，克莱因(F.Clein,1849-1925)和庞加莱(JH.Poincare,1854-1912)给出了无限变换群和其他类型的无限群，19世纪70年代，李(M.S.Lie,1842-1899)开始研究连续变换群，并建立了连续群的一般理论，这些工作构成抽象群论的第三个主要来源。

　　1882-1883年，迪克(W.vondyck,1856-1934)的论文把上述三个主要来源的工作纳入抽象群的概念之中，建立了（抽象）群的定义。到19世纪80年代，数学家们终于成功地概括出抽象群论的公理体系。

　　20世纪80年代，群的概念已经普遍地被认为是数学及其许多应用中最基本的概念之一。它不但渗透到诸如几何学、代数拓扑学、函数论、泛函分析及其他许多数学分支中而起着重要的作用，还形成了一些新学科如拓扑群、李群、代数群等，它们还具有与群结构相联系的其他结构，如拓扑、解析流形、代数簇等，并在结晶学、理论物理、量子化学以及编码学、自动机理论等方面，都有重要作用。

　　线性代数理论是计算技术的基础，同系统工程、优化理论及稳定性理论等有着密切联系。由于计算机的飞速发展和广泛应用，许多实际问题可以通过离散化的数值计算得到定量的解决，于是作为处理离散问题的线性代数成为从事科学研究和工程设计的科技人员必备的数学基础，是高等院校理工类专业必修的一门数学基础课。

　　2010年我校施行“卓越工程师教育培养计划”以来，以教育部倡导的“按通用标准和行业标准培养工程人才、强化培养学生的工程能力和创新能力”为宗旨，大力推行教育教学改革，本书在此基础上孕育而生。在编写过程中，编者根据“卓越计划”的基本要求，教学内容突出基本概念、基本理论和基本技能，注重培养学生的数学素质，着力改变以往工科线性代数教学中重运算技巧、轻数学思想的倾向，强调数学的基本思想、基本方法(如强调基本概念及各个概念之间的固有联系，重视阐明基本理论的脉络等)，注意对基本概念和定理的几何背景与实际应用背景的介绍，淡化某些特殊技巧的处理，充分利用计算机技术和数学软件解决问题。在习题配置中也突出基本题、概念题和与工程相关的实际应用题等。

　　根据实践教学和实际应用中的特点，本书的内容也与以往教材有所变化。考虑到工程实际中碰到的具体问题都是求解一个阶数确定的行列式，在教材编写以及教学过程中适当降低行列式计算的教学要求，不必要也不应该把精力放在牵涉到很高计算技巧和大量复杂计算中，而应该让学生掌握由具体到一般、由低阶到高阶的数学思想方法；其次，由于矩阵在实际工程中几乎是无处不在、无处不用的数学工具，它是将实际问题与数学理论联系在一起的桥梁，而学生往往在理论与实际相结合方面有所欠缺，因此我们在教材中适量增加矩阵的教学内容，提高矩阵的教学要求，使学生对矩阵的重要性及应用性有充分的认识，提高学生的数学素养和培养学生应用数学知识分析问题、解决问题的能力。另外，注意培养学生利用计算机解决实际问题的能力，将线性代数应用和计算中经常使用的软件，如Mathematica、MATLAB、Maple等的使用说明和经常使用的命令，对应各章节的教学内容编入教材附录中，支持和鼓励学生上机，利用数学软件来解决线性代数课程中遇到的各类计算，并引导学生通过自己编程来解决一些简单的实际问题。

　　本书由吴隋超策划、组织编写，并负责统稿、定稿。全书共5章，第1章和第2章前四节由吴隋超编写，2.5、2.6节和第3章由沈军编写，第4章和第5章由俞卫琴编写。

　　在本书的编写过程中得到了上海工程技术大学教务处、基础教学学院分管领导和数学教学部全体教师的关心和大力支持，张子厚教授就本书的编写提出了指导性的意见，在此表示衷心的感谢。

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　　本书虽经多次讨论，反复修正，但限于编者水平，加之教学改革中的一些问题有待进一步探索，缺点和疏漏之处在所难免，恳请使用本书的老师和同学批评指正。

　　线性代数有什么用？这是每一个圈养在象牙塔里，在灌输式教学模式下的“被学习”的学生刚刚开始思考时的第一个问题。我稍微仔细的整理了一下学习线代的理由，竟然也罗列了不少，不知道能不能说服你：

　　1、如果你想顺利地拿到学位，线性代数的学分对你有帮助；2、如果你想继续深造，考研，必须学好线代。因为它是必考的数学科目，也是研究生科目《矩阵论》、《泛函分析》的基础。例如，泛函分析的起点就是无穷多个未知量的无穷多线性方程组理论。

　　3、如果你想提高自己的科研能力，不被现代科技发展潮流所抛弃，也必须学好，因为瑞典的L.戈丁说过，没有掌握线代的人简直就是文盲。他在自己的数学名著《数学概观》中说：

　　要是没有线性代数，任何数学和初等教程都讲不下去。按照现行的国际标准，线性代数是通过公理化来表述的。它是第二代数学模型，其根源来自于欧几里得几何、解析几何以及线性方程组理论。…，如果不熟悉线性代数的概念，像线性性质、向量、线性空间、矩阵等等，要去学习自然科学，现在看来就和文盲差不多，甚至可能学习社会科学也是如此。

　　4、如果毕业后想找个好工作，也必须学好线代：l想搞数学，当个数学家（我靠，这个还需要列出来，谁不知道线代是数学）。恭喜你，你的职业未来将是最光明的。如果到美国打工的话你可以找到最好的职业（参考本节后附的一份小资料）。

　　l想搞电子工程，好，电路分析、线性信号系统分析、数字滤波器分析设计等需要线代，因为线代就是研究线性网络的主要工具；进行IC集成电路设计时，对付数百万个集体管的仿真软件就需要依赖线性方程组的方法；想搞光电及射频工程，好，电磁场、光波导分析都是向量场的分析，比如光调制器分析研制需要张量矩阵，手机信号处理等等也离不开矩阵运算。

　　l想搞软件工程，好，3D游戏的数学基础就是以图形的矩阵运算为基础；当然，如果你只想玩3D游戏可以不必掌握线代；想搞图像处理，大量的图像数据处理更离不开矩阵这个强大的工具，《阿凡达》中大量的后期电脑制作没有线代的数学工具简直难以想象。

　　l想搞经济研究。好，知道列昂惕夫（WassilyLeontief）吗？哈佛大学教授，1949年用计算机计算出了由美国统计局的25万条经济数据所组成的42个未知数的42个方程的方程组，他打开了研究经济数学模型的新时代的大门。这些模型通常都是线性的，也就是说，它们是用线性方程组来描述的，被称为列昂惕夫“投入产出”模型。列昂惕夫因此获得了1973年的诺贝尔经济学奖。

　　l相当领导，好，要会运筹学，运筹学的一个重要议题是线性规划。许多重要的管理决策是在线性规划模型的基础上做出的。线性规划的知识就是线代的知识啊。比如，航空运输业就使用线性规划来调度航班，监视飞行及机场的维护运作等；又如，你作为一个大商场的老板，线性规划可以帮助你合理的安排各种商品的进货，以达到最大利润。

　　l对于其他工程领域，没有用不上线代的地方。如搞建筑工程，那么奥运场馆鸟巢的受力分析需要线代的工具；石油勘探，勘探设备获得的大量数据所满足的几千个方程组需要你的线代知识来解决；飞行器设计，就要研究飞机表面的气流的过程包含反复求解大型的线性方程组，在这个求解的过程中，有两个矩阵运算的技巧：对稀疏矩阵进行分块处理和进行LU分解；作餐饮业，对于构造一份有营养的减肥食谱也需要解线性方程组；知道有限元方法吗？这个工程分析中十分有效的有限元方法，其基础就是求解线性方程组。知道马尔科夫链吗？这个“链子”神通广大，在许多学科如生物学、商业、化学、工程学及物理学等领域中被用来做数学模型，实际上马尔科夫链是由一个随机变量矩阵所决定的一个概率向量序列，看看，矩阵、向量又出现了。

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　　l另外，矩阵的特征值和特征向量可以用在研究物理、化学领域的微分方程、连续的或离散的动力系统中，甚至数学生态学家用以在预测原始森林遭到何种程度的砍伐会造成猫头鹰的种群灭亡；大名鼎鼎的最小二乘算法广泛应用在各个工程领域里被用来把实验中得到的大量测量数据来拟合到一个理想的直线或曲线上，最小二乘拟合算法实质就是超定线性方程组的求解；二次型常常出现在线性代数在工程（标准设计及优化）和信号处理（输出的噪声功率）的应用中，他们也常常出现在物理学（例如势能和动能）、微分几何（例如曲面的法曲率）、经济学（例如效用函数）和统计学（例如置信椭圆体）中，某些这类应用实例的数学背景很容易转化为对对称矩阵的研究。

　　嘿嘿（脸红），说实在的，我也没有足够经验讲清楚线代在各个工程领域中的应用，只能大概人云亦云地讲述以上线代的一些基本应用。因为你如果要真正的讲清楚线代的一个应用，就必须充分了解所要应用的领域内的知识，最好有实际的工程应用的经验在里面；况且线性代数在各个工程领域中的应用真是太多了，要知道当今成为一个工程通才只是一个传说。

　　总结一下，线性代数的应用领域几乎可以涵盖所有的工程技术领域。如果想知道更详细的应用材料，建议看一下《线性代数及应用》，这是美国DavidC.Lay教授写的迄今最现代的流行教材。国内的教材可以看看《线性代数实践及MATLAB入门》，这是西电科大陈怀琛教授写的最实用的新教材。

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篇六：新工科理念下的线性代数

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　　新工科背景下线性代数一流课程建设

　　作者：周双双来源：《教育教学论坛》2020年第26期

　　[摘要]教育部“双万计划”要求建设一流本科专业，呼唤一流本科课程。如何建设新工科背景下本科教学的“一流课程”呢？基于我校工科线性代数的教学改革，在本文中，我们提出了新工科背景下线性代数“一流课程”建设改革方向。

　　[关键词]课程建设;教材建设;教学改革;教学模式;人才培养

　　[基金资助]湖南省教学改革研究项目“新工科背景下为提升学生能力与素质对线性代数教学设计、手段与考核模式改革研究”（湘教通〔2019〕291号）

　　[作者简介]周双双（1984—），男，湖南益阳人，博士，湖南城市学院理学院副教授，研究方向为偏微分方程。

　　[中图分类号]G642.3;;[文献标识码]A;;[文章编号]1674-9324（2020）26-0264-02;;[收稿日期]2020-02-17

　　党的十九大报告指出，本科教育教学质量是影响高校人才培养质量的关键，课程教学又是本科教育教学的核心。面对经济全球化、科学技术日新月异和互联网的发展，知识、产品及产业更新逐步加快，知识学习的变革和创新创业型人才培养的需求，致使高等工程教育进入到一个“互联网+创新教育”的新时代，迫切要求加快本科教育教学的改革创新。2016年提出的“新工科”概念是我国工程教育改革的方向，近年来，在教育部及各级教育部门的组织下，全国若干高校组织进行了多次深入研讨，总结了“复旦共识”[1]、“天大行动”[2]和“北京指南”[3]，对人才培养方案提出了新的要求，对工程教育改革的新路径进行了设想。那么，在新工科的背景下如何建设“一流课程”？建设标准又是什么呢？

　　一、线性代数课程的特点

　　线性代数作为高等院校理工、经管类专业的一门重要的公共基础课程，是学习后续相关课程的前提和工具，对学生抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和计算能力的培养，具有非常重要的作用。同时，随着科学技术的迅猛式发展，线性代数的知识已渗透到社会的各行各业。然而，线性代数课程高度的抽象性和严密的知识体系，都远远超出了学生的既有经验和能力，因此，有很多本科生觉得这门课难以理解。在这样的背景下，考虑到大多数高校线性代数课程课时少、内容多的现状，如何通过调整课程教学设计，在引导学生夯实线性代数基础知识的同时，培养学生运用线性代数基础知识、思想方法来解决实际问题以适应新工科建设和发展的要求就显得尤为重要了。

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　　二、我校线性代数课程改革的思路

　　多年来，我校线性代数课程不忘初心，牢记使命，为创建新工科背景下的一流课程，积极探索课程与信息化技术深度融合和创新教学。本文基于这一教学改革的实践，提出了新工科背景下线性代数“一流课程”建设的改革方向。结合“新工科”对课堂教学的要求，通过变革传统的教学模式，实现课堂的“去中心化”。基于此，在线性代数课堂教学改革中，我们的改革重点表现在以下几个方面。

　　（一）通过教学设计，让学生的思维动起来

　　在学校应用型人才培养理念的引领下，结合学院专业特色，确定以学生为中心，教学课堂开放、教学内容立体、教学评价多元的课程教學体系，真正做到“教、学、做”融为一体。通过教学设计，实现了将“高、大、上”的学术形态数学到“接地气”的教育形态数学的转化，使学生在人格、思维、智慧等各个层次获得提升。

　　（二）深入挖掘信息技术在课程推进中的最优效用

　　按照现代新型信息化课堂的标准，制作了课堂教学多媒体课件。在优化教学过程中，借助多媒体的辅助，结合新颖的课堂设计，帮助学生形成思维能力，解决了教师语言难于讲清的内容。此外，还建立了线性代数网络教学平台，将“慕课”中一些精品课程放置到线性代数课程教学平台中。利用“雨课堂”“云班课”等教学平台，在教学过程中，教师可以提前布置网络视频学习任务，利用这些平台培养学生的自主学习、探究式学习、合作学习的能力。建立网上学生自测系统，这一系统内容丰富，覆盖面广，结构清晰，题目针对性强，题型丰富，叙述通俗易懂，具有明显的代表性。

　　（三）建立健全的全过程、多层次、多角度的课程考核结果评价和监督机制

　　在教学评价上大胆进行改革，综合采用现代数学教育所提倡的诊断性评价、形成性评价和终结性评价等多种评价方式进行多元化评价。本课程总评成绩一般由平时成绩50%、期末考试成绩50%的比例构成。其中，平时成绩主要通过诊断性评价和形成性评价得到，包括作业测评、上课考勤、回答问题、课堂讨论、随堂测试、竞赛参考、小论文、小课题等，终结性评价是期末的闭卷考试。为了选才培优，对部分确有潜质的学生采用更为灵活的评价方式。

　　（四）课程评价及改革成效

　　通过这些改革，学生课程学习的积极性得到全面调动，自学能力也得到大大提高。对比课程改革前后情况，学生平时测试成绩、总评成绩都有了显著提高，期末考试及格率上升了近20个百分点，平均成绩提高了近10分，学生的考研率和各类数学竞赛获奖率逐年提升，学生的反响越来越好。

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　　三、进一步的改革方向

　　（一）加强师资队伍建设

　　要把“线性代数”这门课程建设好，师资队伍是关键的因素。需进一步充实师资队伍，优化梯队结构，切实做好传、帮、带，形成一支高水平的教学队伍。教学组成员要具备扎实的数学基础，丰富的教学经验，逐步改善教学队伍的学历、职称及年龄结构。但是，现阶段我们队伍的后备力量还稍显不足，在未来五年建设期间，还需要培养2～4名年轻博士加入教学团队。

　　（二）加强课程建设

　　需要进一步加强课程的基本建设，促进教学管理的规范化。在教材和教学资料的建设方面，我们目前主要选用的是自编教材，网上资源主要选用在线开放课程。在未来五年的建设时期，课程团队需要经过持续不断的努力，逐步建立起优质的在线课程。

　　（三）進一步深化教学改革

　　所有努力工作的核心，最终还要落实在进一步深化教学改革上，主要一点是加强现代教育技术与线上教法的有效整合。在适当的时机，采用分层次的教学方法来提高教学效果。同时，教师要依据学生的学习基础、兴趣爱好及学习习惯，根据他们不同的专业方向，对学生来采取不同的授课内容和授课方式。

篇七：新工科理念下的线性代数

　　线性代数课程实施大纲

　　本线性代数教学实施大纲包括基本信息、课程描述、教学理念、教师简介、

　　先修课程、课程目标、课程教学实施、课程要求、课程考核、学术诚信、课堂规

　　范、课程资源、教学合同等13部分内容。

　　1．教学理念

　　大学教育围绕一个“育人目标”核心，着眼于人的全面发展需要，重点培养学生的自学能力、实践能力和创新能力。即以学生为“中心”，教师为“主体”的教与学的关系。在具体的教学中，以“课”为教学活动单位，将学生能力锻炼作为核心，遵循理论联系实际、学以致用和因材施教的原则，使学生在循序渐进的教学过程中短时、优效地获得系统的科学知识。学好一门课程，必须理清思路，对整个学习过程进行合理的规划。除了掌握基本知识和基本理论以外，更重要的还需要把相关的重要研究成果融入课程体系中，并结合典型案例，形成科学的、系统的内容架构。在学时允许的条件下，通过介绍与本课程相关的最新研究成果以及研究成果的应用实例，进一步拓展视野，充实学习内容，深化课程认识，为今后学习与工作打下扎实的基础。

　　线性代数课程包括行列式、矩阵、线性方程组、线性空间和线性变换、相似矩阵和二次型等基本理论。

　　通过线性代数课程的学习，不仅可以掌握该课程的基本知识，更重要的是培养学生的抽象思维和逻辑推理的能力。

　　2．课程描述

　　2.1课程的性质线性代数是理工类、经管类数学课程的重要内容。在考研中的比重一般占到22%左右。本课程为必修课程。2.2课程在学科专业结构中的地位、作用

　　要求工科学生具备线性代数基本理论知识，并熟练掌握它的方法，为学习后继课程及进一步提高打下必要的数学基础。2.3课程的前沿及发展趋势

　　线性代数（LinearAlgebra）是理工科大学生必修的基础课程之一，它广泛地应用于工程技术的各个领域，并且某些非线性的问题在一定条件下也可以转换为线性的问题，特别是计算机日益普及的今天，解大型的线性方程组，求矩阵的特征值、特征向量等已成为工程技术人员经常遇到的问题。

　　3．教师简介4．先修课程（无）5．课程目标

　　5.1知识与技能方面本课程包括行列式、矩阵、线性方程组、线性空间和线性变换、相似矩阵和二次型等基本理

　　1/53

　　论。

　　5.2过程与方法方面

　　通过线性代数课程的学习，不仅可以掌握该课程的基本知识，更重要的是培养学生的抽象思

　　维和逻辑推理的能力。

　　5.3情感、态度与价值观方面

　　培养学生的合作、交流与创新能力

　　6．课程内容

　　6.1课程的内容概要

　　本课程包括行列式、矩阵、线性方程组、线性空间和线性变换、相似矩阵和二次型等基本理

　　论。

　　6.2教学重点、难点

　　重点为线性方程组的解，相似矩阵及其对角化。

　　难点为矩阵的运算、向量组的线性相关性的判断、线性方程组的解得判断、相似矩阵的对角

　　化。

　　6.3学时安排

　　行列式的计算4学时，矩阵及初等变换8学时，向量组的线性相关性4学时，线性方程组6

　　学时，相似矩阵6学时，二次型2学时

　　7.课程教学实施

　　第一讲

　　课时/课次:

　　教学日期（学年/学期）

　　行列式的定义

　　2/1

　　2015-16/1

　　教学目标

　　一、初步了解线性代数这门课程的主要内容及学习方法;

　　二、掌握二阶、三阶及n阶行列式的定义；

　　三、掌握行列式的性质；

　　教学内容

　　知识点：

　　一、二阶和三阶行列式的概念及计算方法；

　　二、n阶行列式、余子式和代数余子式的概念；

　　三、几种特殊的行列式的计算；

　　四、行列式的性质

　　重点:

　　二、三阶行列式计算方法；行列式的性质；

　　难点:

　　关于代数余子式的两个重要性质；

　　2/53

　　教学过程及教学方法一、二阶和三阶行列式的概念及计算方法

　　由消元法求解二元线性方程组

　　a11x1a21x1

　　a12x2a22x2

　　b1b2

　　通过上例引出二阶行列式的定义及计算方法——对角线法则，找到二阶行列式与二元线性方程组的关系，由此利用二阶行列式的计算去求解对应的方程组。

　　例1-1

　　求解二元线性方程组

　　32x1x12

　　x2x2

　　12,1.

　　（讲授）

　　把二阶行列式的定义作推广给出三阶行列式的定义，介绍三阶行列式的计算方法——对角线法和沙路法。

　　124练习1计算三阶行列式D=221.（课堂练习）

　　342

　　111例1-3求解方程23x0.（讲授）

　　49x2

　　强调：对角线法则只适用于二阶及三阶行列式！把二阶行列式与二元线性方程组的关系推广到三阶行列式中，利用三阶行列式去求解对应的三元方程组。

　　例1-4

　　求解三元线性方程组

　　aa2111xx11

　　a12x2a22x2

　　a13x3a23x3

　　b1b2

　　a31x1a32x2a33x3b3

　　二、n阶行列式的概念观察找到二阶、三阶行列式的共同规律，由此引出n阶行列式的定义，介绍余子式和代

　　数余子式，并从定义出发求简单行列式，如对角行列式、上三角行列式和下三角行列式。

　　例1-5

　　1

　　证明：(1)

　　2

　　12n（讲授）

　　n

　　1

　　(2)

　　2

　　n(n1)

　　(1)212n（提问，讲授）

　　n

　　3/53

　　0000练习2计算n阶行列式Dnn1000

　　a110例1-6计算下三角行列式a21a22

　　010200

　　.（课堂练习）

　　00000n

　　00（讲授）

　　00

　　思考：

　　an1an2

　　ann

　　0a2,n1

　　a1na2n?（提问）

　　an1an2

　　ann

　　1234

　　0421

　　练习3上三角行列式D

　　?（课堂练习）

　　0056

　　0008

　　三、行列式的性质1.行列式与它的转置行列式相等；（数学归纳法证明）

　　行列式中行与列具有同等的地位，因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.

　　2.互换行列式的两行（列），行列式变号.（互换行列式两行两列分别记为rirj和

　　cicj）.

　　123

　　218123

　　213

　　r1r3

　　c1c2

　　例如306306或306036

　　218

　　123218

　　128

　　3.如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式值为零.4.行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即

　　n

　　Dai1Ai1ai2Ai2+ainAinaijAij,i1,,nj1

篇八：新工科理念下的线性代数

　　都蕴含了一组基都张成了一个线性子空间这个张成子空间与其所在的更大的空间的关系就是我们常说的在三维空间中的二维物体或三维物deta也代表了在这组线性空间中所占的体积那么ba的含义就是拉伸与旋转所以说是线性空间是因中每一个向量的两两位置关系在变换后变化不大每个向量都向同一个方面旋转同一个角度然后拉伸同一个倍在非线性变换中非线性空间或线性空间的每个量两两稍有不同非线性变换后都有极大的位置差别

　　•

　　本人数学专业毕业，当年也苦苦地反复地思索过，以下是一些片段，但足以一窥线性空间的大概。但具我所知，我的理解却是在中层。根据行列式的与置换相关的定义，其与群论密切相关，估计更高层次的理解是建立在群论之上的。

　　Ax=λx

　　每个A都是一个线性变换，一个线性变换是旋转与拉伸、投影的组合，当只有拉伸的时候，上面的式子成立，如果有一个向量在A的作用下只有拉伸功能，就说这个向量是特征向量，这很简单，这个旋转轴刚好是这个向量，所以向量旋转不发生转变，而又没有投影。值得一提的是，拉伸可以是负的，投影这个线性变换是比较不好的线性变换，会遗失信息。

　　A即可以看作是线性变换，又可以看作是线性空间。每个A都蕴含了一组基，都张成了一个线性子空间，这个张成子空间与其所在的更大的空间的关系，就是我们常说的在三维空间中的二维物体或三维物体或一维物体，而det(A)也代表了在这组线性空间中所占的体积大小.那么BA的含义就是B这个线性变换把A拉伸与旋转，所以说是线性空间，是因为：A中每一个向量的两两位置关系在变换后变化

　　不大，每个向量都向同一个方面旋转同一个角度，然后拉伸同一个倍数，在非线性变换中，非线性空间或线性空间的每个量两两稍有不同，非线性变换后，都有极大的位置差别。

　　A-1就是A的反向，也就是反向旋转，反向压缩。什么情况下A-1不存在呢？如果是在三维的线性空间中，A的秩为二，那么就相当于把一个有体积的B线性变换成一张平面（此时必有投影这一步），这时我们就是A-1不存在。这是因为任何一个线性变换，都只能是旋转平移投影，绝对不可能把一个平面图形撑成体积的，所以A-1不存在。

　　如矩阵求逆运算A-1，有(AB)-1=B-1A-1，只要知道线性变换的结合律，这些公式都是很容易得到的。所谓的结合律是指(AB)C=A(BC),从旋转、投影、拉伸的角度来看，当然是成立的。

　　P-1AP与A相似是怎么来的？我们进行P变换，然后施加A变换，然后用P-1变换变回去，这也是控制论的一个内容：闹钟坏了，我把闹钟拆开(P)，然后上油，然后再安上(P-1)，与我直接上油，是相似的，所以称P-1AP与A相似，相似，操作相似也。

　　前不久chensh出于不可告人的目的，要充当老师，教别人线性代数。于是我被揪住就线性代数中一些务虚性的问题与他讨论了几次。很明显，chensh觉得，要让自己在讲线性代数的时候不被那位强势的学生认为是神经病，还是比较难的事情。

　　可怜的chensh，谁让你趟这个地雷阵？！色令智昏啊！线性代数课程，无论你从行列式入手还是直接从矩阵入手，从一开始就充斥着莫名其妙。比如说，在全国一般工科院系教学中应用最广泛的同济线性代数教材（现在到了第四版），一上来就介绍逆序数这个“前无古人，后无来者”的古怪概念，然后用逆序数给出行列式的一个极不直观的定义，接着是一些简直犯傻的行列式性质和习题——把这行乘一个系数加到另一行上，再把那一列减过来，折腾得那叫一个热闹，可就是压根看不出这个东西有嘛用。大多数像我一样资质平庸的学生到这里就有点犯晕：连这是个什么东西都模模糊糊的，就开始钻火圈表演了，这未免太“无厘头”了吧！于是开始有人逃课，更多的人开始抄作业。这下就中招了，因为其后的发展可以用一句峰回路转来形容，紧跟着这个无厘头的行列式的，是一个同样无厘头但是伟大的无以复加的家伙的出场——矩阵来了！多年之后，我才明白，当老师犯傻似地用中括号把一堆傻了吧叽的数括起来，并且不紧不慢地说：“这个东西叫做矩阵”的时候，我的数学生涯掀开了何等悲壮辛酸、惨绝人寰的一幕！自那以后，在几乎所有跟“学问”二字稍微沾点边的东西里，矩阵这个家伙从不缺席。对于我这个没能一次搞定线性代数的笨蛋来说，矩阵老大的不请自来每每搞得我灰头土脸，头破血流。长期以来，我在阅读中一见矩阵，就如同阿Q见到了假洋鬼子，揉揉额角就绕道走。事实上，我并不是特例。一般工科学生初学线性代数，通常都会感到困难。这种情形在国内外皆然。瑞典数学家LarsGarding在其名著EncounterwithMathematics中说：“如果不熟悉线性代数的概念，要去学习自然科学，现在看来如果不熟悉线性代数的概念，如果不熟悉线性代数的概念要去学习自然科学，就和文盲差不多。按照现行的国际标准就和文盲差不多。”，然而“按照现行的国际标准，线性代数是通过公理化来表按照现行的国际标准，述的，它是第二代数学模型，，这就带来了教学上的困难。述的，它是第二代数学模型，...，这就带来了教学上的困难。”事实上，当我们开始学习线性代数的时候，不知不觉就进入了“第二代数学模型”的范畴当中，这意味着数学的表述方式和抽象性有了一次全面的进化，对于从小一直在“第一代数学模型”，即以实用为导向的、具体的数学模型中学习的我们来说，在没有并明确告知的情况下进行如此剧烈的paradigmshift，不感到困难才是奇怪的。大部分工科学生，往往是在学习了一些后继课程，如数值分析、数学规划、矩阵论之后，才逐渐能够理解和熟练运用线性代数。即便如此，不少人即使能够很熟练地以线性代数为工具进行科研和应用工作，但对于很多这门课程的初学者提出的、看上去是很基础的问题却并不清楚。比如说：*矩阵究竟是什么东西？向量可以被认为是具有n个相互独立的性质（维度）矩阵究竟是什么东西？个相互独立的性质（维度）的对象的表示，矩阵又是什么呢？我们如果认为矩阵是一组列（的对象的表示，矩阵又是什么呢？我们如果认为矩阵是一组列（行）向量组成的新的复合向量的展开式，那么为什么这种展开式具有如此广泛的应用？的新的复合向量的展开式，那么为什么这种展开式具有如此广泛的应用？特别为什么偏偏二维的展开式如此有用？如果矩阵中每一个元素又是一个向量，是，为什么偏偏二维的展开式如此有用？如果矩阵中每一个元素又是一个向量，那么我们再展开一次，变成三维的立方阵，是不是更有用？那么我们再展开一次，变成三维的立方阵，是不是更有用？*矩阵的乘法规则究竟为什么这样规定？为什么这样一种怪异的乘法规则却能矩阵的乘法规则究竟为什么这样规定规定？够在实践中发挥如此巨大的功效？很多看上去似乎是完全不相关的问题，够在实践中发挥如此巨大的功效？很多看上去似乎是完全不相关的问题，最后竟然都归结到矩阵的乘法，这难道不是很奇妙的事情？竟然都归结到矩阵的乘法，这难道不是很奇妙的事情？难道在矩阵乘法那看上去莫名其妙的规则下面，包含着世界的某些本质规律？如果是的话，去莫名其妙的规则下面，包含着世界的某些本质规律？如果是的话，这些本质规律是什么？规律是什么？*行列式究竟是一个什么东西？为什么会有如此怪异的计算规则？行列式与其行列式究竟是一个什么东西？为什么会有如此怪异的计算规则？

　　对应方阵本质上是什么关系？为什么只有方阵才有对应的行列式，对应方阵本质上是什么关系？为什么只有方阵才有对应的行列式，而一般矩阵就没有（不要觉得这个问题很蠢，如果必要，就没有（不要觉得这个问题很蠢，如果必要，针对mxn矩阵定义行列式不是做不到的，之所以不做，是因为没有这个必要，但是为什么没有这个必要为什么没有这个必要）？做不到的，之所以不做，是因为没有这个必要，但是为什么没有这个必要）？而且，行列式的计算规则，看上去跟矩阵的任何计算规则都没有直观的联系，而且，行列式的计算规则，看上去跟矩阵的任何计算规则都没有直观的联系，为什么又在很多方面决定了矩阵的性质？难道这一切仅是巧合？为什么又在很多方面决定了矩阵的性质？难道这一切仅是巧合？*矩阵为什么可以分块计算？分块计算这件事情看上去是那么随意，为什么竟矩阵为什么可以分块计算？分块计算这件事情看上去是那么随意，是可行的？是可行的？*对于矩阵转置运算AT，(AB)T=BTAT，，有，对于矩阵求逆运算A-1，(A，有B)-1=B-1A-1。两个看上去完全没有什么关系的运算，为什么有着类似的。两个看上去完全没有什么关系的运算，性质？这仅仅是巧合吗？性质？这仅仅是巧合吗？*为什么说P-1AP得到的矩阵与A矩阵相似？这里的相似是什么意思？矩阵“相似相似”？这里的“相似是什么意思？相似”是什么意思*特征值和特征向量的本质是什么？它们定义就让人很惊讶，因为Ax=λx，特征值和特征向量的本质是什么它们定义就让人很惊讶，量的本质是什么？，一个诺大的矩阵的效应，一个诺大的矩阵的效应，竟然不过相当于一个小小的数λ，确实有点奇妙。但何，确实有点奇妙。至于用“特征甚至“本征来界定？它们刻划的究竟是什么？特征”甚至本征”来界定至于用特征甚至本征来界定？它们刻划的究竟是什么？这样的一类问题，经常让使用线性代数已经很多年的人都感到为难。就好像大人面对小孩子的刨根问底，最后总会迫不得已地说“就这样吧，到此为止”一样，面对这样的问题，很多老手们最后也只能用：“就是这么规定的，你接受并且记住就好”来搪塞。然而，这样的问题如果不能获得回答，线性代数对于我们来说就是一个粗暴的、不讲道理的、莫名其妙的规则集合，我们会感到，自己并不是在学习一门学问，而是被不由分说地“抛到”一个强制的世界中，只是在考试的皮鞭挥舞之下被迫赶路，全然无法领略其中的美妙、和谐与统一。直到多年以后，我们已经发觉这门学问如此的有用，却仍然会非常迷惑：怎么这么凑巧？我认为，这是我们的线性代数教学中直觉性丧失的后果。上述这些涉及到“如何能”、“怎么会”的问题，仅仅通过纯粹的数学证明来回答，是不能令提问者满意的。比如，如果你通过一般的证明方法论证了矩阵分块运算确实可行，那么这并不能够让提问者的疑惑得到解决。他们真正的困惑是：矩阵分块运算为什么竟然是可行的？究竟只是凑巧，还是说这是由矩阵这种对象的某种本质所必然决定的？如果是后者，那么矩阵的这些本质是什么？只要对上述那些问题稍加考虑，我们就会发现，所有这些问题都不是单纯依靠数学证明所能够解决的。像我们的教科书那样，凡事用数学证明，最后培养出来的学生，只能熟练地使用工具，却欠缺真正意义上的理解。自从1930年代法国布尔巴基学派兴起以来，数学的公理化、系统性描述已经获得巨大的成功，这使得我们接受的数学教育在严谨性上大大提高。然而数学公理化的一个备受争议的副作用，就是一般数学教育中直觉性的丧失。数学家们似乎认为直觉性与抽象性是矛盾的，因此毫不犹豫地牺牲掉前者。然而包括我本人在内的很多人都对此表示怀疑，我们不认为直觉性与抽象性一定相互矛盾，特别是在数学教育中和数学教材中，帮助学生建立直觉，有助于它们理解那些抽象的概念，进而理解数学的本质。反之，如果一味注重形式上的严格性，学生就好像被迫进行钻火圈表演的小白鼠一样，变成枯燥的规则的奴隶。对于线性代数的类似上述所提到的一些直觉性的问题，两年多来我断断续续地反复思考了四、五次，为此阅读了好几本国内外线性代数、数值分析、代数和数学通论性书籍，其中像前苏联的名著《数学：它的内容、方法和意义》、龚昇教授的《线性代数五讲》、前面提到的EncounterwithMathematics（《数学概观》）以及ThomasA.Garrity的《数学拾遗》都给我很大的启发。不过即使

　　如此，我对这个主题的认识也经历了好几次自我否定。比如以前思考的一些结论曾经写在自己的blog里，但是现在看来，这些结论基本上都是错误的。因此打算把自己现在的有关理解比较完整地记录下来，一方面是因为我觉得现在的理解比较成熟了，可以拿出来与别人探讨，向别人请教。另一方面，如果以后再有进一步的认识，把现在的理解给推翻了，那现在写的这个snapshot也是很有意义的。因为打算写得比较多，所以会分几次慢慢写。也不知道是不是有时间慢慢写完整，会不会中断，写着看吧。

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　　今天先谈谈对线形空间和矩阵的几个核心概念的理解。这些东西大部分是凭着自己的理解写出来的，基本上不抄书，可能有错误的地方，希望能够被指出。但我希望做到直觉，也就是说能把数学背后说的实质问题说出来。首先说说空间(space)，这个概念是现代数学的命根子之一，从拓扑空间开始，一步步往上加定义，可以形成很多空间。线形空间其实还是比较初级的，如果在里面定义了范数，就成了赋范线性空间。赋范线性空间满足完备性，就成了巴那赫空间；赋范线性空间中定义角度，就有了内积空间，内积空间再满足完备性，就得到希尔伯特空间。总之，空间有很多种。你要是去看某种空间的数学定义，大致都是“存在一个集合，在这个集合上定义某某概念，然后满足某些性质”，就可以被称为空间。这未免有点奇怪，为什么要用“空间”来称呼一些这样的集合呢？大家将会看到，其实这是很有道理的。我们一般人最熟悉的空间，毫无疑问就是我们生活在其中的（按照牛顿的绝对时空观）的三维空间，从数学上说，这是一个三维的欧几里德空间，我们先不管那么多，先看看我们熟悉的这样一个空间有些什么最基本的特点。仔细想想我们就会知道，这个三维的空间：1.由很多（实际上是无穷多个）位置点组成；2.这些点之间存在相对的关系；3.可以在空间中定义长度、角度；4.这个空间可以容纳运动，这里我们所说的运动是从一个点到另一个点的移动（变换），），而以容纳运动，这里我们所说的运动是从一个点到另一个点的移动（变换），而不是微积分意义上的“连续性的运动，连续”性的运动不是微积分意义上的连续性的运动，上面的这些性质中，最最关键的是第4条。第1、2条只能说是空间的基础，不算是空间特有的性质，凡是讨论数学问题，都得有一个集合，大多数还得在这个集合上定义一些结构（关系），并不是说有了这些就算是空间。而第3条太特殊，其他的空间不需要具备，更不是关键的性质。只有第4条是空间的本质，也就是说，容纳运动是空间的本质特征。容纳运动是空间的本质特征。容纳运动是空间的本质特征认识到了这些，我们就可以把我们关于三维空间的认识扩展到其他的空间。事实事实不管是什么空间，上，不管是什么空间，都必须容纳和支持在其中发生的符合规则的运动变换）（变换）。你会发现，在某种空间中往往会存在一种相对应的变换，你会发现，在某种空间中往往会存在一种相对应的变换，比如拓扑空间中有拓扑变换，线性空间中有线性变换仿射空间中有仿射变换，间中有线性变换，扑变换，线性空间中有线性变换，仿射空间中有仿射变换，其实这些变换都只不过是对应空间中允许的运动形式而已。不过是对应空间中允许的运动形式而已。因此只要知道，“空间是容纳运动的一个对象集合，而变换则规定了对应空间空间”是容纳运动的一个对象集合，空间是容纳运动的一个对象集合，的运动。的运动。下面我们来看看线性空间。线性空间的定义任何一本书上都有，但是既然我们承认线性空间是个空间，那么有两个最基本的问题必须首先得到解决，那就是：1.空间是一个对象集合，线性空间也是空间，所以也是一个对象集合。那么线性空间是什么样的对象的集合？或者说，线性空间中的对象有什么共同点吗？

　　2.线性空间中的运动如何表述的？也就是，线性变换是如何表示的？我们先来回答第一个问题，回答这个问题的时候其实是不用拐弯抹角的，可以直截了当的给出答案。线性空间中的任何一个对象，通过选取基和坐标的办法，都线性空间中的任何一个对象，线性空间中的任何一个对象通过选取基和坐标的办法，可以表达为向量的形式。通常的向量空间我就不说了，举两个不那么平凡的例子：可以表达为向量的形式。L1.最高次项不大于n次的多项式的全体构成一个线性空间，也就是说，这个线性空间中的每一个对象是一个多项式。如果我们以x0,x1,...,xn为基，那么任何一个这样的多项式都可以表达为一组n+1维向量，其中的每一个分量ai其实就是多项式中x(i-1)项的系数。值得说明的是，基的选取有多种办法，只要所选取的那一组基线性无关就可以。这要用到后面提到的概念了，所以这里先不说，提一下而已。L2.闭区间[a,b]上的n阶连续可微函数的全体，构成一个线性空间。也就是说，这个线性空间的每一个对象是一个连续函数。对于其中任何一个连续函数，根据魏尔斯特拉斯定理，一定可以找到最高次项不大于n的多项式函数，使之与该连续函数的差为0，也就是说，完全相等。这样就把问题归结为L1了。后面就不用再重复了。所以说，向量是很厉害的，只要你找到合适的基，用向量可以表示线性空间里任何一个对象。这里头大有文章，因为向量表面上只是一列数，但是其实由于它的有序性，所以除了这些数本身携带的信息之外，还可以在每个数的对应位置上携带信息。为什么在程序设计中数组最简单，却又威力无穷呢？根本原因就在于此。这是另一个问题了，这里就不说了。下面来回答第二个问题，这个问题的回答会涉及到线性代数的一个最根本的问题。线性空间中的运动，被称为线性变换。也就是说，你从线性空间中的一个点运动到任意的另外一个点，都可以通过一个线性变化来完成。那么，线性变换如何表示呢？很有意思，在线性空间中，当你选定一组基之后，不仅可以用一个向量很有意思，很有意思在线性空间中，当你选定一组基之后，来描述空间中的任何一个对象一个对象，来描述空间中的任何一个对象，而且可以用矩阵来描述该空间中的任何一个运变换）。而使某个对象发生对应运动的方法，就是用代表那个运动的矩阵，）。而使某个对象发生对应运动的方法动（变换）。而使某个对象发生对应运动的方法，就是用代表那个运动的矩阵，乘以代表那个对象的向量。乘以代表那个对象的向量。简而言之，在线性空间中选定基之后，向量刻画对象，矩阵刻画对象的运动，在线性空间中选定基之后，在线性空间中选定基之后向量刻画对象，矩阵刻画对象的运动，用矩阵与向量的乘法施加运动。用矩阵与向量的乘法施加运动。是的，矩阵的本质是运动的描述。如果以后有人问你矩阵是什么，那么你就可以响亮地告诉他，矩阵的本质是运动的描述矩阵的本质是运动的描述。（chensh，说你呢！）矩阵的本质是运动的描述可是多么有意思啊，向量本身不是也可以看成是nx1矩阵吗？这实在是很奇妙，一个空间中的对象和运动竟然可以用相类同的方式表示。能说这是巧合吗？一个空间中的对象和运动竟然可以用相类同的方式表示。如果是巧合的话，那可真是幸运的巧合！可以说，线性代数中大多数奇妙的性质，均与这个巧合有直接的关系。接着理解矩阵。上面说“矩阵是运动的描述”，到现在为止，好像大家都还没什么意见。但是我相信早晚会有数学系出身的网友来拍板转。因为运动这个概念，在数学和物理里是跟微积分联系在一起的。我们学习微积分的时候，总会有人照本宣科地告诉你，初等数学是研究常量的数学，是研究静态的数学，高等数学是变量的数学，是研究运动的数学。大家口口相传，差不多人人都知道这句话。但是真知道这句话说的是什么意思的人，好像也不多。简而言之，在我们人类的经验里，运动是一个

　　连续过程，从A点到B点，就算走得最快的光，也是需要一个时间来逐点逐点地经逐点过AB之间的路径，这就带来了连续性的概念。而连续这个事情，如果不定义极限的概念，根本就解释不了。古希腊人的数学非常强，但就是缺乏极限观念，所以解释不了运动，被芝诺的那些著名悖论（飞箭不动、飞毛腿阿喀琉斯跑不过乌龟等四个悖论）搞得死去活来。因为这篇文章不是讲微积分的，所以我就不多说了。有兴趣的读者可以去看看齐民友教授写的《重温微积分》。我就是读了这本书开头的部分，才明白“高等数学是研究运动的数学”这句话的道理。不过在我这个《理解矩阵》的文章里，“运动”的概念不是微积分中的连续性的运动，而是瞬间发生的变化。比如这个时刻在A点，经过一个“运动”，一下子就“跃跃迁”到了B点，其中不需要经过A点与B点之间的任何一个点。这样的“运动”，或者说“跃迁”，是违反我们日常的经验的。不过了解一点量子物理常识的人，就会立刻指出，量子（例如电子）在不同的能量级轨道上跳跃，就是瞬间发生的，具有这样一种跃迁行为。所以说，自然界中并不是没有这种运动现象，只不过宏观上我们观察不到。但是不管怎么说，“运动”这个词用在这里，还是容易产生歧义的，说得更确切些，应该是“跃迁”。因此这句话可以改成：“矩阵是线性空间里跃迁的描述”。可是这样说又太物理，也就是说太具体，而不够数学，也就是说不够抽象。因此我们最后换用一个正牌的数学术语——变换变换，来描述这个事情。这样一说，大家变换就应该明白了，所谓变换，其实就是空间里从一个点（元素对象）到另一个点所谓变换，对象）所谓变换其实就是空间里从一个点（元素/对象元素/对象的跃迁。比如说，拓扑变换，就是在拓扑空间里从一个点到另一对象）（元素对象）的跃迁个点的跃迁。再比如说，仿射变换，就是在仿射空间里从一个点到另一个点的跃迁。附带说一下，这个仿射空间跟向量空间是亲兄弟。做计算机图形学的朋友都知道，尽管描述一个三维对象只需要三维向量，但所有的计算机图形学变换矩阵都是4x4的。说其原因，很多书上都写着“为了使用中方便”，这在我看来简直就是企图蒙混过关。真正的原因，是因为在计算机图形学里应用的图形变换，实际上是在仿射空间而不是向量空间中进行的。想想看，在向量空间里相一个向量平行移动以后仍是相同的那个向量，而现实世界等长的两个平行线段当然不能被认为同一个东西，所以计算机图形学的生存空间实际上是仿射空间。而仿射变换的矩阵表示根本就是4x4的。又扯远了，有兴趣的读者可以去看《计算机图形学——几何工具算法详解》。一旦我们理解了“变换”这个概念，矩阵的定义就变成：“矩阵是线性空间里的变换的描述。”矩阵是线性空间里的变换的描述。矩阵是线性空间里的变换的描述到这里为止，我们终于得到了一个看上去比较数学的定义。不过还要多说几句。教材上一般是这么说的，在一个线性空间V里的一个线性变换T，当选定一组基之后，就可以表示为矩阵。因此我们还要说清楚到底什么是线性变换，什么是基，什么叫选定一组基。线性变换的定义是很简单的，设有一种变换T，使得对于线性空间V中间任何两个不相同的对象x和y，以及任意实数a和b，有：T(ax+by)=aT(x)+bT(y)，那么就称T为线性变换。定义都是这么写的，但是光看定义还得不到直觉的理解。线性变换究竟是一种什么样的变换？我们刚才说了，变换是从空间的一个点跃迁到另一个点，而线性变换，就是从一个线性空间V的某一个点跃迁到另一个线性空间W的另一个点的运动。这句话里蕴含着一层意思，就是说一个点不仅可以变换到同一个线性空间中的另一个点，而且可以变换到另一个线性空间中的另一个点去。不管你怎么变，

　　只要变换前后都是线性空间中的对象，这个变换就一定是线性变换，也就一定可以用一个非奇异矩阵来描述。而你用一个非奇异矩阵去描述的一个变换，一定是一个线性变换。有的人可能要问，这里为什么要强调非奇异矩阵？所谓非奇异，只对方阵有意义，那么非方阵的情况怎么样？这个说起来就会比较冗长了，最后要把线性变换作为一种映射，并且讨论其映射性质，以及线性变换的核与像等概念才能彻底讲清楚。我觉得这个不算是重点，如果确实有时间的话，以后写一点。以下我们只探讨最常用、最有用的一种变换，以下我们只探讨最常用、最有用的一种变换，就是在同一个线性空间之内的线性变换。也就是说，下面所说的矩阵，不作说明的话，就是方阵，性变换。也就是说，下面所说的矩阵，不作说明的话，就是方阵，而且是非奇异方阵。学习一门学问，最重要的是把握主干内容，异方阵。学习一门学问，最重要的是把握主干内容，迅速建立对于这门学问的整体概念，不必一开始就考虑所有的细枝末节和特殊情况自乱阵脚。的细枝末节和特殊情况，整体概念，不必一开始就考虑所有的细枝末节和特殊情况，自乱阵脚。接着往下说，什么是基呢？这个问题在后面还要大讲一番，这里只要把基看成是把基看成是线性空间里的坐标系就可以了。注意是坐标系，不是坐标值，这两者可是一个“对线性空间里的坐标系就可以了。立矛盾统一体”。这样一来，“选定一组基”就是说在线性空间里选定一个坐标系。就这意思。好，最后我们把矩阵的定义完善如下：“矩阵是线性空间中的线性变换的一个描述。在一个线性空间中，只要我们选定矩阵是线性空间中的线性变换的一个描述。矩阵是线性空间中的线性变换的一个描述在一个线性空间中，一组基，那么对于任何一个线性变换，都能够用一个确定的矩阵来加以描述。一组基，那么对于任何一个线性变换，都能够用一个确定的矩阵来加以描述。”理解这句话的关键，在于把“线性变换线性变换”与线性变换的一个描述区别开。线性变换的一个描述”区别开理解这句话的关键，在于把线性变换与“线性变换的一个描述区别开。一个是那个对象，一个是对那个对象的表述。就好像我们熟悉的面向对象编程中，一个对象可以有多个引用，每个引用可以叫不同的名字，但都是指的同一个对象。如果还不形象，那就干脆来个很俗的类比。比如有一头猪，你打算给它拍照片，只要你给照相机选定了一个镜头位置，那么就可以给这头猪拍一张照片。这个照片可以看成是这头猪的一个描述，但只是一个片面的的描述，因为换一个镜头位置给这头猪拍照，能得到一张不同的照片，也是这头猪的另一个片面的描述。所有这样照出来的照片都是这同一头猪的描述，但是又都不是这头猪本身。同样的，对于一个线性变换，只要你选定一组基，同样的，对于一个线性变换，只要你选定一组基，那么就可以找到一个矩阵来描述这个线性变换。换一组基，就得到一个不同的矩阵。描述这个线性变换。换一组基，就得到一个不同的矩阵。所有这些矩阵都是这同一个线性变换的描述，但又都不是线性变换本身。同一个线性变换的描述，但又都不是线性变换本身。但是这样的话，问题就来了如果你给我两张猪的照片，我怎么知道这两张照片上的是同一头猪呢？同样的，你给我两个矩阵，我怎么知道这两个矩阵是描述的同一个线性变换呢？如果是同一个线性变换的不同的矩阵描述，那就是本家兄弟了，见面不认识，岂不成了笑话。好在，我们可以找到同一个线性变换的矩阵兄弟们的一个性质，那就是：若矩阵A与B是同一个线性变换的两个不同的描述（之所以会不同，是因为选定了不同的基，也就是选定了不同的坐标系）则一定能找到一个非奇异矩阵P，，使得A、B之间满足这样的关系：A=P-1BP线性代数稍微熟一点的读者一下就看出来，这就是相似矩阵的定义。没错，所谓所谓相似矩阵，就是同一个线性变换的不同的描述矩阵。相似矩阵，就是同一个线性变换的不同的描述矩阵。按照这个定义，同一头猪的不同角度的照片也可以成为相似照片。俗了一点，不过能让人明白。而在上面式子里那个矩阵P，其实就是A矩阵所基于的基与B矩阵所基于的基这两组基之间的一个变换关系。关于这个结论，可以用一种非常直觉的方法来证明（而不是一般教科书上那种形式上的证明），如果有时间的话，我以后在bl

　　og里补充这个证明。这个发现太重要了。原来一族相似矩阵都是同一个线性变换的描述啊！难怪这么原来一族相似矩阵都是同一个线性变换的描述啊！重要！工科研究生课程中有矩阵论、矩阵分析等课程，其中讲了各种各样的相似变换，比如什么相似标准型，对角化之类的内容，都要求变换以后得到的那个矩阵与先前的那个矩阵式相似的，为什么这么要求？因为只有这样要求，才能保证变换前后的两个矩阵是描述同一个线性变换的。当然，同一个线性变换的不同矩阵描述，从实际运算性质来看并不是不分好环的。有些描述矩阵就比其他的矩阵性质好得多。这很容易理解，同一头猪的照片也有美丑之分嘛。所以矩阵的相似变换可以把一个比较丑的矩阵变成一个比较美的矩阵，而保证这两个矩阵都是描述了同一个线性变换。这样一来，矩阵作为线性变换描述的一面，基本上说清楚了。但是，事情没有那么简单，或者说，线性代数还有比这更奇妙的性质，那就是，矩阵不仅可以作为矩阵不仅可以作为线性变换的描述，而且可以作为一组基的描述。而作为变换的矩阵，线性变换的描述，而且可以作为一组基的描述。而作为变换的矩阵，不但可以把线性空间中的一个点给变换到另一个点去，把线性空间中的一个点给变换到另一个点去，而且也能够把线性空间中的一个坐标系（表换到另一个坐标系（而且，变换点与变换坐标系，坐标系（基）表换到另一个坐标系（基）去。而且，变换点与变换坐标系，具有异曲同工的效果。线性代数里最有趣的奥妙就蕴含在其中。趣的奥妙，有异曲同工的效果。线性代数里最有趣的奥妙，就蕴含在其中。理解了这些内线性代数里很多定理和规则会变得更加清晰、直觉。容，线性代数里很多定理和规则会变得更加清晰、直觉。

　　线性代数课程，无论你从行列式入手还是直接从矩阵入手，从一开始就充斥着莫名其妙。比如说，在全国一般工科院系教学中应用最广泛的同济线性代数教材（现在到了第四版），一上来就介绍逆序数这个“前无古人，后无来者”的古怪概念，然后用逆序数给出行列式的一个极不直观的定义，接着是一些简直犯傻的行列式性质和习题——把这行乘一个系数加到另一行上，再把那一列减过来，折腾得那叫一个热闹，可就是压根看不出这个东西有嘛用。大多数像我一样资质平庸的学生到这里就有点犯晕：连这是个什么东西都模模糊糊的，就开始钻火圈表演了，这未免太“无厘头”了吧！于是开始有人逃课，更多的人开始抄作业。这下就中招了，因为其后的发展可以用一句峰回路转来形容，紧跟着这个无厘头的行列式的，是一个同样无厘头但是伟大的无以复加的家伙的出场——矩阵来了！多年之后，我才明白，当老师犯傻似地用中括号把一堆傻了吧叽的数括起来，并且不紧不慢地说：“这个东西叫做矩阵”的时候，我的数学生涯掀开了何等悲壮辛酸、惨绝人寰的一幕！自那以后，在几乎所有跟“学问”二字稍微沾点边的东西里，矩阵这个家伙从不缺席。对于我这个没能一次搞定线性代数的笨蛋来说，矩阵老大的不请自来每每搞得我灰头土脸，头破血流。长期以来，我在阅读中一见矩阵，就如同阿Q见到了假洋鬼子，揉揉额角就绕道走。事实上，我并不是特例。一般工科学生初学线性代数，通常都会感到困难。这种情形在国内外皆然。瑞典数学家LarsGarding在其名著EncounterwithMathematics中说：“如果不熟悉线性代数的概念，要去学习自然科学，现在如果不熟悉线性代数的概念，如果不熟悉线性代数的概念要去学习自然科学，看来就和文盲差不多。按照现行的国际标准，看来就和文盲差不多。”，然而“按照现行的国际标准，线性代数是通过公理化按照现行的国际标准来表述的，它是第二代数学模型，，这就带来了教学上的困难。来表述的，它是第二代数学模型，...，这就带来了教学上的困难。”事实上，当我们开始学习线性代数的时候，不知不觉就进入了“第二代数学模型”的范畴当中，这意味着数学的表述方式和抽象性有了一次全面的进化，对于从小一直在“第一代数学模型”，即以实用为导向的、具体的数学模型中学习的我们来说，在没有并明确告知的情况下进行如此剧烈的paradigmshift，不感到困难才是奇怪的。大部分工科学生，往往是在学习了一些后继课程，如数值分析、数学规划、矩阵论之后，才逐渐能够理解和熟练运用线性代数。即便如此，不少人即使能够很熟练地以线性代数为工具进行科研和应用工作，但对于很多这门课程的初学者提出的、看上去是很基础的问题却并不清楚。比如说：*矩阵究竟是什么东西？向量可以被认为是具有n个相互独立的性质（维度）矩阵究竟是什么东西？个相互独立的性质（维度）的对象的表示，矩阵又是什么呢？我们如果认为矩阵是一组列（的对象的表示，矩阵又是什么呢？我们如果认为矩阵是一组列（行）向量组成的新的复合向量的展开式，那么为什么这种展开式具有如此广泛的应用？的新的复合向量的展开式，那么为什么这种展开式具有如此广泛的应用？特别

　　是，为什么偏偏二维的展开式如此有用？如果矩阵中每一个元素又是一个向量，为什么偏偏二维的展开式如此有用？如果矩阵中每一个元素又是一个向量，那么我们再展开一次，变成三维的立方阵，是不是更有用？那么我们再展开一次，变成三维的立方阵，是不是更有用？*矩阵的乘法规则究竟为什么这样规定？为什么这样一种怪异的乘法规则却能矩阵的乘法规则究竟为什么这样规定？够在实践中发挥如此巨大的功效？很多看上去似乎是完全不相关的问题，够在实践中发挥如此巨大的功效？很多看上去似乎是完全不相关的问题，最后竟然都归结到矩阵的乘法，这难道不是很奇妙的事情？竟然都归结到矩阵的乘法，这难道不是很奇妙的事情？难道在矩阵乘法那看上去莫名其妙的规则下面，包含着世界的某些本质规律？如果是的话，去莫名其妙的规则下面，包含着世界的某些本质规律？如果是的话，这些本质规律是什么？规律是什么？*行列式究竟是一个什么东西？为什么会有如此怪异的计算规则？行列式与其行列式究竟是一个什么东西？为什么会有如此怪异的计算规则？对应方阵本质上是什么关系？为什么只有方阵才有对应的行列式，而一般矩阵对应方阵本质上是什么关系？为什么只有方阵才有对应的行列式，就没有（不要觉得这个问题很蠢，如果必要，就没有（不要觉得这个问题很蠢，如果必要，针对mxn矩阵定义行列式不是做不到的，之所以不做，是因为没有这个必要，但是为什么没有这个必要）？做不到的，之所以不做，是因为没有这个必要，但是为什么没有这个必要）？而且，行列式的计算规则，看上去跟矩阵的任何计算规则都没有直观的联系，而且，行列式的计算规则，看上去跟矩阵的任何计算规则都没有直观的联系，算规则都没有直观的联系为什么又在很多方面决定了矩阵的性质？难道这一切仅是巧合？为什么又在很多方面决定了矩阵的性质？难道这一切仅是巧合？*矩阵为什么可以分块计算？分块计算这件事情看上去是那么随意，为什么竟矩阵为什么可以分块计算？分块计算这件事情看上去是那么随意，是可行的？是可行的？*对于矩阵转置运算AT，有(AB)T=BTAT，对于矩阵求逆运算A-1，有(AB)-1=B-1A-1。两个看上去完全没有什么关系的运算，为什么有着类似的两个看上去完全没有什么关系的运算，性质？这仅仅是巧合吗？性质？这仅仅是巧合吗？*为什么说P-1AP得到的矩阵与A矩阵相似？这里的相似是什么意思？矩阵“相似相似”？这里的“相似是什么意思？相似”是什么意思*特征值和特征向量的本质是什么？它们定义就让人很惊讶，因为Ax=λx，特征值和特征向量的本质是什么？它们定义就让人很惊讶，，一个诺大的矩阵的效应，一个诺大的矩阵的效应，竟然不过相当于一个小小的数λ，确实有点奇妙。但何矩阵的效应，确实有点奇妙。至于用“特征甚至本征”来界定它们刻划的究竟是什么？至于用特征”甚至本征来界定？它们刻划的究竟是什么？特征甚至“本征来界定？这样的一类问题，经常让使用线性代数已经很多年的人都感到为难。就好像大人面对小孩子的刨根问底，最后总会迫不得已地说“就这样吧，到此为止”一样，面对这样的问题，很多老手们最后也只能用：“就是这么规定的，你接受并且记住就好”来搪塞。然而，这样的问题如果不能获得回答，线性代数对于我们来说就是一个粗暴的、不讲道理的、莫名其妙的规则集合，我们会感到，自己并不是在学习一门学问，而是被不由分说地“抛到”一个强制的世界中，只是在考试的皮鞭挥舞之下被迫赶路，全然无法领略其中的美妙、和谐与统一。直到多年以后，我们已经发觉这门学问如此的有用，却仍然会非常迷惑：怎么这么凑巧？

　　我认为，这是我们的线性代数教学中直觉性丧失的后果。上述这些涉及到“如何能”、“怎么会”的问题，仅仅通过纯粹的数学证明来回答，是不能令提问者满意的。比如，如果你通过一般的证明方法论证了矩阵分块运算确实可行，那么这并不能够让提问者的疑惑得到解决。他们真正的困惑是：矩阵分块运算为什么竟然是可行的？究竟只是凑巧，还是说这是由矩阵这种对象的某种本质所必然决定的？如果是后者，那么矩阵的这些本质是什么？只要对上述那些问题稍加考虑，我们就会发现，所有这些问题都不是单纯依靠数学证明所能够解决的。像我们的教科书那样，凡事用数学证明，最后培养出来的学生，只能熟练地使用工具，却欠缺真正意义上的理解。自从1930年代法国布尔巴基学派兴起以来，数学的公理化、系统性描述已经获得巨大的成功，这使得我们接受的数学教育在严谨性上大大提高。然而数学公理化的一个备受争议的副作用，就是一般数学教育中直觉性的丧失。数学家们似乎认为直觉性与抽象性是矛盾的，因此毫不犹豫地牺牲掉前者。然而包括我本人在内的很多人都对此表示怀疑，我们不认为直觉性与抽象性一定相互矛盾，特别是在数学教育中和数学教材中，帮助学生建立直觉，有助于它们理解那些抽象的概念，进而理解数学的本质。反之，如果一味注重形式上的严格性，学生就好像被迫进行钻火圈表演的小白鼠一样，变成枯燥的规则的奴隶。对于线性代数的类似上述所提到的一些直觉性的问题，两年多来我断断续续地反复思考了四、五次，为此阅读了好几本国内外线性代数、数值分析、代数和数学通论性书籍，其中像前苏联的名著《数学：它的内容、方法和意义》、龚昇教授的《线性代数五讲》、前面提到的EncounterwithMathematics（《数学概观》）以及ThomasA.Garrity的《数学拾遗》都给我很大的启发。不过即使如此，我对这个主题的认识也经历了好几次自我否定。比如以前思考的一些结论曾经写在自己的blog里，但是现在看来，这些结论基本上都是错误的。因此打算把自己现在的有关理解比较完整地记录下来，一方面是因为我觉得现在的理解比较成熟了，可以拿出来与别人探讨，向别人请教。另一方面，如果以后再有进一步的认识，把现在的理解给推翻了，那现在写的这个snapshot也是很有意义的。因为打算写得比较多，所以会分几次慢慢写。也不知道是不是有时间慢慢写完整，会不会中断，写着看吧。

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　　今天先谈谈对线形空间和矩阵的几个核心概念的理解。这些东西大部分是凭着自己的理解写出来的，基本上不抄书，可能有错误的地方，希望能够被指出。但我希望做到直觉，也就是说能把数学背后说的实质问题说出来。首先说说空间(space)，这个概念是现代数学的命根子之一，从拓扑空间开始，一步步往上加定义，可以形成很多空间。线形空间其实还是比较初级的，如果在里面定义了范数，就成了赋范线性空间。赋范线性空间满足完备性，就成了巴那赫空间；赋范线性空间中定义角度，就有了内积空间，内积空间再满足完备性，就得到希尔伯特空间。总之，空间有很多种。你要是去看某种空间的数学定义，大致都是“存在一个集合，在这个集合上定义某某概念，然后满足某些性质”，就可以被称为空间。这未免有点奇怪，为什么要用“空间”来称呼一些这样的集合呢？大家将会看到，其实这是很有道理的。我们一般人最熟悉的空间，毫无疑问就是我们生活在其中的（按照牛顿的绝对时空观）的三维空间，从数学上说，这是一个三维的欧几里德空间，我们先不管那么多，先看看我们熟悉的这样一个空间有些什么最基本的特点。仔细想想我们就会知道，这个三维的空间：1.由很多（实际上是无穷多个）位置点组成；2.这些点之间存在相对的关系；3.可以在空间中定义长度、角度；4.这个空间可以容纳运动，这里我们所说的运动是从一个点到另一个点的移动（变换），而不容纳运动，这里我们所说的运动是从一个点到另一个点的移动（变换），而不），是微积分意义上的“连续性的运动是微积分意义上的连续”性的运动，连续性的运动，上面的这些性质中，最最关键的是第4条。第1、2条只能说是空间的基础，不算是空间特有的性质，凡是讨论数学问题，都得有一个集合，大多数还得在这个集合上定义一些结构（关系），并不是说有了这些就算是空间。而第3条太特殊，其他的空间不需要具备，更不是关键的性质。只有第4条是空间的本质，也就是说，容纳运动是空间的本质特征。容纳运动是空间的本质特征。容纳运动是空间的本质特征认识到了这些，我们就可以把我们关于三维空间的认识扩展到其他的空间。事实事实不管是什么空间，都必须容纳和支持在其中发生的符合规则的运动变换）（变换）。上，不管是什么空间，你会发现，在某种空间中往往会存在一种相对应的变换，你会发现，在某种空间中往往会存在一种相对应的变换，比如拓扑空间中有拓扑变换，线性空间中有线性变换，仿射空间中有仿射变换，扑变换，线性空间中有线性变换，仿射空间中有仿射变换，其实这些变换都只不过是对应空间中允许的运动形式而已。不过是对应空间中允许的运动形式而已。应空间中允许的运动形式而已因此只要知道，“空间是容纳运动的一个对象集合，而变换则规定了对应空间，空间是容纳运动的一个对象集合，空间”是容纳运动的一个对象集合的运动。的运动。

　　下面我们来看看线性空间。线性空间的定义任何一本书上都有，但是既然我们承认线性空间是个空间，那么有两个最基本的问题必须首先得到解决，那就是：1.空间是一个对象集合，线性空间也是空间，所以也是一个对象集合。那么线性空间是什么样的对象的集合？或者说，线性空间中的对象有什么共同点吗？2.线性空间中的运动如何表述的？也就是，线性变换是如何表示的？我们先来回答第一个问题，回答这个问题的时候其实是不用拐弯抹角的，可以直截了当的给出答案。线性空间中的任何一个对象，通过选取基和坐标的办法，都线性空间中的任何一个对象，通过选取基和坐标的办法，线性空间中的任何一个对象可以表达为向量的形式。通常的向量空间我就不说了，举两个不那么平凡的例子：可以表达为向量的形式。L1.最高次项不大于n次的多项式的全体构成一个线性空间，也就是说，这个线性空间中的每一个对象是一个多项式。如果我们以x0,x1,...,xn为基，那么任何一个这样的多项式都可以表达为一组n+1维向量，其中的每一个分量ai其实就是多项式中x(i-1)项的系数。值得说明的是，基的选取有多种办法，只要所选取的那一组基线性无关就可以。这要用到后面提到的概念了，所以这里先不说，提一下而已。L2.闭区间[a,b]上的n阶连续可微函数的全体，构成一个线性空间。也就是说，这个线性空间的每一个对象是一个连续函数。对于其中任何一个连续函数，根据魏尔斯特拉斯定理，一定可以找到最高次项不大于n的多项式函数，使之与该连续函数的差为0，也就是说，完全相等。这样就把问题归结为L1了。后面就不用再重复了。所以说，向量是很厉害的，只要你找到合适的基，用向量可以表示线性空间里任何一个对象。这里头大有文章，因为向量表面上只是一列数，但是其实由于它的有序性，所以除了这些数本身携带的信息之外，还可以在每个数的对应位置上携带信息。为什么在程序设计中数组最简单，却又威力无穷呢？根本原因就在于此。这是另一个问题了，这里就不说了。下面来回答第二个问题，这个问题的回答会涉及到线性代数的一个最根本的问题。线性空间中的运动，被称为线性变换。也就是说，你从线性空间中的一个点运动到任意的另外一个点，都可以通过一个线性变化来完成。那么，线性变换如何表很有意思，示呢？很有意思，在线性空间中，当你选定一组基之后，不仅可以用一个向量很有意思在线性空间中，当你选定一组基之后，来描述空间中的任何一个对象，来描述空间中的任何一个对象，而且可以用矩阵来描述该空间中的任何一个运

　　动（变换）。而使某个对象发生对应运动的方法，就是用代表那个运动的矩阵，变换）。而使某个对象发生对应运动的方法，就是用代表那个运动的矩阵，）。而使某个对象发生对应运动的方法乘以代表那个对象的向量。乘以代表那个对象的向量。简而言之，在线性空间中选定基之后，向量刻画对象，矩阵刻画对象的运动，在线性空间中选定基之后，向量刻画对象，矩阵刻画对象的运动，在线性空间中选定基之后用矩阵与向量的乘法施加运动。用矩阵与向量的乘法施加运动。是的，矩阵的本质是运动的描述。如果以后有人问你矩阵是什么，那么你就可以响亮地告诉他，矩阵的本质是运动的描述矩阵的本质是运动的描述。（chensh，说你呢！）矩阵的本质是运动的描述可是多么有意思啊，向量本身不是也可以看成是nx1矩阵吗？这实在是很奇妙，一个空间中的对象和运动竟然可以用相类同的方式表示。能说这是巧合吗？一个空间中的对象和运动竟然可以用相类同的方式表示。如果是巧合的话，那可真是幸运的巧合！可以说，线性代数中大多数奇妙的性质，均与这个巧合有直接的关系。

　　接着理解矩阵。上一篇里说“矩阵是运动的描述”，到现在为止，好像大家都还没什么意见。但是我相信早晚会有数学系出身的网友来拍板转。因为运动这个概念，在数学和物理里是跟微积分联系在一起的。我们学习微积分的时候，总会有人照本宣科地告诉你，初等数学是研究常量的数学，是研究静态的数学，高等数学是变量的数学，是研究运动的数学。大家口口相传，差不多人人都知道这句话。但是真知道这句话说的是什么意思的人，好像也不多。简而言之，在我们人类的经验里，运动是一个连续过程，从A点到B点，就算走得最快的光，也是需要一个时间来逐点逐点地经过AB之间的路径，这就带来了连续性的概念。而连续这个事情，如果不定义极限的概念，根本就解释不了。古希腊人的数学非常强，但就是缺乏极限观念，所以解释不了运动，被芝诺的那些著名悖论（飞箭不动、飞毛腿阿喀琉斯跑不过乌龟等四个悖论）搞得死去活来。因为这篇文章不是讲微积分的，所以我就不多说了。有兴趣的读者可以去看看齐民友教授写的《重温微积分》。我就是读了这本书开头的部分，才明白“高等数学是研究运动的数学”这句话的道理。不过在我这个《理解矩阵》的文章里，“运动”的概念不是微积分中的连续性的运动，而是瞬间发生的变化。比如这个时刻在A点，经过一个“运动”，一下子就“跃跃迁”到了B点，其中不需要经过A点与B点之间的任何一个点。这样的“运动”，或者说“跃迁”，是违反我们日常的经验的。不过了解一点量子物理常识的人，就

　　会立刻指出，量子（例如电子）在不同的能量级轨道上跳跃，就是瞬间发生的，具有这样一种跃迁行为。所以说，自然界中并不是没有这种运动现象，只不过宏观上我们观察不到。但是不管怎么说，“运动”这个词用在这里，还是容易产生歧义的，说得更确切些，应该是“跃迁”。因此这句话可以改成：“矩阵是线性空间里跃迁的描述”。可是这样说又太物理，也就是说太具体，而不够数学，也就是说不够抽象。因此我们最后换用一个正牌的数学术语——变换变换，来描述这个事情。这样一说，大家变换就应该明白了，所谓变换，其实就是空间里从一个点（元素对象）到另一个点所谓变换，对象）所谓变换其实就是空间里从一个点（元素/对象（元素/对象）的跃迁。比如说，拓扑变换，就是在拓扑空间里从一个点到另一元素对象）的跃迁对象个点的跃迁。再比如说，仿射变换，就是在仿射空间里从一个点到另一个点的跃迁。附带说一下，这个仿射空间跟向量空间是亲兄弟。做计算机图形学的朋友都知道，尽管描述一个三维对象只需要三维向量，但所有的计算机图形学变换矩阵都是4x4的。说其原因，很多书上都写着“为了使用中方便”，这在我看来简直就是企图蒙混过关。真正的原因，是因为在计算机图形学里应用的图形变换，实际上是在仿射空间而不是向量空间中进行的。想想看，在向量空间里相一个向量平行移动以后仍是相同的那个向量，而现实世界等长的两个平行线段当然不能被认为同一个东西，所以计算机图形学的生存空间实际上是仿射空间。而仿射变换的矩阵表示根本就是4x4的。又扯远了，有兴趣的读者可以去看《计算机图形学——几何工具算法详解》。一旦我们理解了“变换”这个概念，矩阵的定义就变成：“矩阵是线性空间里的变换的描述。”矩阵是线性空间里的变换的描述。矩阵是线性空间里的变换的描述到这里为止，我们终于得到了一个看上去比较数学的定义。不过还要多说几句。教材上一般是这么说的，在一个线性空间V里的一个线性变换T，当选定一组基之后，就可以表示为矩阵。因此我们还要说清楚到底什么是线性变换，什么是基，什么叫选定一组基。线性变换的定义是很简单的，设有一种变换T，使得对于线性空间V中间任何两个不相同的对象x和y，以及任意实数a和b，有：T(ax+by)=aT(x)+bT(y)，那么就称T为线性变换。定义都是这么写的，但是光看定义还得不到直觉的理解。线性变换究竟是一种什么样的变换？我们刚才说了，变换是从空间的一个点跃迁到另一个点，而线性变换，就是从一个线性空间V的某一个点跃迁到另一个线性空间W的另一个点的

　　运动。这句话里蕴含着一层意思，就是说一个点不仅可以变换到同一个线性空间中的另一个点，而且可以变换到另一个线性空间中的另一个点去。不管你怎么变，只要变换前后都是线性空间中的对象，这个变换就一定是线性变换，也就一定可以用一个非奇异矩阵来描述。而你用一个非奇异矩阵去描述的一个变换，一定是一个线性变换。有的人可能要问，这里为什么要强调非奇异矩阵？所谓非奇异，只对方阵有意义，那么非方阵的情况怎么样？这个说起来就会比较冗长了，最后要把线性变换作为一种映射，并且讨论其映射性质，以及线性变换的核与像等概念才能彻底讲清楚。我觉得这个不算是重点，如果确实有时间的话，以后写一点。以下我们只探讨最常用、最有用的一种变换，就是在同一个线性空间之内的线以下我们只探讨最常用、最有用的一种变换，性变换。也就是说，下面所说的矩阵，不作说明的话，就是方阵，性变换。也就是说，下面所说的矩阵，不作说明的话，就是方阵，而且是非奇异方阵。学习一门学问，最重要的是把握主干内容，异方阵。学习一门学问，最重要的是把握主干内容，迅速建立对于这门学问的整体概念，不必一开始就考虑所有的细枝末节和特殊情况，自乱阵脚。整体概念，不必一开始就考虑所有的细枝末节和特殊情况，自乱阵脚。接着往下说，什么是基呢？这个问题在后面还要大讲一番，这里只要把基看成是把基看成是线性空间里的坐标系就可以了。注意是坐标系，不是坐标值，这两者可是一个“对线性空间里的坐标系就可以了。立矛盾统一体”。这样一来，“选定一组基”就是说在线性空间里选定一个坐标系。就这意思。好，最后我们把矩阵的定义完善如下：“矩阵是线性空间中的线性变换的一个描述。在一个线性空间中，只要我们选定矩阵是线性空间中的线性变换的一个描述。在一个线性空间中，矩阵是线性空间中的线性变换的一个描述一组基，那么对于任何一个线性变换，都能够用一个确定的矩阵来加以描述。一组基，那么对于任何一个线性变换，都能够用一个确定的矩阵来加以描述。”理解这句话的关键，在于把线性变换线性变换”与线性变换的一个描述区别开。线性变换的一个描述”区别开理解这句话的关键，在于把“线性变换与“线性变换的一个描述区别开。一个是那个对象，一个是对那个对象的表述。就好像我们熟悉的面向对象编程中，一个对象可以有多个引用，每个引用可以叫不同的名字，但都是指的同一个对象。如果还不形象，那就干脆来个很俗的类比。比如有一头猪，你打算给它拍照片，只要你给照相机选定了一个镜头位置，那么就可以给这头猪拍一张照片。这个照片可以看成是这头猪的一个描述，但只是一个片面的的描述，因为换一个镜头位置给这头猪拍照，能得到一张不同的照片，也是这头猪的另一个片面的描述。所有这样照出来的照片都是这同一头猪的描述，但是又都不是这头猪本身。同样的，对于一个线性变换，只要你选定一组基，同样的，对于一个线性变换，只要你选定一组基，那么就可以找到一个矩阵来描述这个线性变换。换一组基，就得到一个不同的矩阵。描述这个线性变换。换一组基，就得到一个不同的矩阵。所有这些矩阵都是这变换同一个线性变换的描述，但又都不是线性变换本身。同一个线性变换的描述，但又都不是线性变换本身。

　　但是这样的话，问题就来了如果你给我两张猪的照片，我怎么知道这两张照片上的是同一头猪呢？同样的，你给我两个矩阵，我怎么知道这两个矩阵是描述的同一个线性变换呢？如果是同一个线性变换的不同的矩阵描述，那就是本家兄弟了，见面不认识，岂不成了笑话。好在，我们可以找到同一个线性变换的矩阵兄弟们的一个性质，那就是：若矩阵A与B是同一个线性变换的两个不同的描述（之所以会不同，是因为选定了不同的基，也就是选定了不同的坐标系）则一定能找到一个非奇异矩阵P，，使得A、B之间满足这样的关系：A=P-1BP线性代数稍微熟一点的读者一下就看出来，这就是相似矩阵的定义。没错，所谓所谓相似矩阵，就是同一个线性变换的不同的描述矩阵。相似矩阵，就是同一个线性变换的不同的描述矩阵。按照这个定义，同一头猪的不同角度的照片也可以成为相似照片。俗了一点，不过能让人明白。而在上面式子里那个矩阵P，其实就是A矩阵所基于的基与B矩阵所基于的基这两组基之间的一个变换关系。关于这个结论，可以用一种非常直觉的方法来证明（而不是一般教科书上那种形式上的证明），如果有时间的话，我以后在blog里补充这个证明。这个发现太重要了。原来一族相似矩阵都是同一个线性变换的描述啊！原来一族相似矩阵都是同一个线性变换的描述啊！难怪这么重要！工科研究生课程中有矩阵论、矩阵分析等课程，其中讲了各种各样的相似变换，比如什么相似标准型，对角化之类的内容，都要求变换以后得到的那个矩阵与先前的那个矩阵式相似的，为什么这么要求？因为只有这样要求，才能保证变换前后的两个矩阵是描述同一个线性变换的。当然，同一个线性变换的不同矩阵描述，从实际运算性质来看并不是不分好环的。有些描述矩阵就比其他的矩阵性质好得多。这很容易理解，同一头猪的照片也有美丑之分嘛。所以矩阵的相似变换可以把一个比较丑的矩阵变成一个比较美的矩阵，而保证这两个矩阵都是描述了同一个线性变换。这样一来，矩阵作为线性变换描述的一面，基本上说清楚了。但是，事情没有那么简单，或者说，线性代数还有比这更奇妙的性质，那就是，矩阵不仅可以作为矩阵不仅可以作为线性变换的描述，而且可以作为一组基的描述。而作为变换的矩阵，线性变换的描述，而且可以作为一组基的描述。而作为变换的矩阵，不但可以把线性空间中的一个点给变换到另一个点去，把线性空间中的一个点给变换到另一个点去，而且也能够把线性空间中的一个坐标系（坐标系（基）表换到另一个坐标系（基）去。而且，变换点与变换坐标系，具表换到另一个坐标系（而且，变换点与变换坐标系，

　　有异曲同工的效果。线性代数里最有趣的奥妙，就蕴含在其中。理解了这些内有异曲同工的效果。线性代数里最有趣的奥妙，就蕴含在其中。容，线性代数里很多定理和规则会变得更加清晰、直觉。线性代数里很多定理和规则会变得更加清晰、直觉。理和规则会变得更加清晰

　　首先来总结一下前面两部分的一些主要结论：

　　1.首先有空间，空间可以容纳对象运动的。一种空间对应一类对象。2.有一种空间叫线性空间，线性空间是容纳向量对象运动的。3.运动是瞬时的，因此也被称为变换。4.矩阵是线性空间中运动（变换）的描述。5.矩阵与向量相乘，就是实施运动（变换）的过程。6.同一个变换，在不同的坐标系下表现为不同的矩阵，但是它们的本质是一样的，所以本征值相同。

　　下面让我们把视力集中到一点以改变我们以往看待矩阵的方式。我们知道，线性空间里的基本对象是向量，而向量是这么表示的：

　　[a1,a2,a3,...,an]

　　矩阵呢？矩阵是这么表示的：

　　a11,a12,a13,...,a1na21,a22,a23,...,a2n...an1,an2,an3,...,ann

　　不用太聪明，我们就能看出来，矩阵是一组向量组成的。特别的，n维线性空间里的方阵是由n个n维向量组成的。我们在这里只讨论这个n阶的、非奇异的方阵，因为理解它就是理解矩阵的关键，它才是一般情况，而其他矩阵都是意外，都是不得不对付的讨厌状况，大可以放在一边。这里多一句嘴，学习东西要抓住主流，不要纠缠于旁支末节。很可惜我们的教材课本大多数都是把主线埋没在细节中的，搞得大家还没明白怎么回事就先被灌晕了。比如数学分析，明明最要紧的观念是说，一个对象可以表达为无穷多个合理选择的对象的线性和，这个概念是贯穿始终的，也是数学分析的精华。但是课本里自始至终不讲这句话，反正就是让你做吉米多维奇，掌握一大堆解偏题的技巧，记住各种特殊情况，两类间断点，怪异的可微和可积条件（谁还记得柯西条件、迪里赫莱条件...？），最后考试一过，一切忘光光。要我说，还不如反复强调这一个事情，把它深深刻在脑子里，别的东西忘了就忘了，真碰到问题了，再查数学手册嘛，何必因小失大呢？

　　言归正传。如果一组向量是彼此线性无关的话，那么它们就可以成为度量这个线性空间的一组基，从而事实上成为一个坐标系体系，其中每一个向量都躺在一根坐标轴上，并且成为那根坐标轴上的基本度量单位（长度1）。

　　现在到了关键的一步。看上去矩阵就是由一组向量组成的，而且如果矩阵非奇异的话（我说了，只考虑这种情况），那么组成这个矩阵的那一组向量也就是线性无关的了，也就可以成为度量线性空间的一个坐标系。结论：矩阵描述了一个坐标系。矩阵描述了一个坐标系。矩阵描述了一个坐标系

　　“慢着！”，你嚷嚷起来了，“你这个骗子！你不是说过，矩阵就是运动吗？怎么这会矩阵又是坐标系了？”

　　嗯，所以我说到了关键的一步。我并没有骗人，之所以矩阵又是运动，又是坐标系，那是因为——

　　“运动等价于坐标系变换。运动等价于坐标系变换”。运动等价于坐标系变换

　　对不起，这话其实不准确，我只是想让你印象深刻。准确的说法是：

　　“对象的变换等价于坐标系的变换。对象的变换等价于坐标系的变换”。对象的变换等价于坐标系的变换

　　或者：

　　“固定坐标系下一个对象的变换等价于固定对象所处的坐标固定坐标系下一个对象的变换等价于固定对象所处的坐标系变换。系变换。”

　　说白了就是：

　　“运动是相对的。”运动是相对的。运动是相对的

　　让我们想想，达成同一个变换的结果，比如把点(1,1)变到点(2,3)去，你可以有两种做法。第一，坐标系不动，点动，把(1,1)点挪到(2,3)去。第二，点不动，变坐标系，让x轴的度量（单位向量）变成原来的1/2，让y轴的度量（单位向量）变成原先的1/3，这样点还是那个点，可是点的坐标就变成(2,3)了。方式不同，结果一样。

　　从第一个方式来看，那就是我在《理解矩阵》1/2中说的，把矩阵看成是运动描述，矩阵与向量相乘就是使向量（点）运动的过程。在这个方式下，

　　Ma=b

　　的意思是：

　　“向量a经过矩阵M所描述的变换，变成了向量b。”

　　而从第二个方式来看，矩阵M描述了一个坐标系，姑且也称之为M。那么：

　　Ma=b

　　的意思是：

　　“有一个向量，它在坐标系M的度量下得到的度量结果向量为a，那么它在坐标系I的度量下，这个向量的度量结果是b。”

　　这里的I是指单位矩阵，就是主对角线是1，其他为零的矩阵。

　　而这两个方式本质上是等价的。

　　我希望你务必理解这一点，因为这是本篇的关键。

　　正因为是关键，所以我得再解释一下。

　　在M为坐标系的意义下，如果把M放在一个向量a的前面，形成Ma的样式，我们可以认为这是对向量a的一个环境声明声明。对向量的一个环境声明它相当于是说：

　　“注意了！这里有一个向量，它在坐标系M中度量，得到的度量结果可以表达为a。可是它在别的坐标系里度量的话，就会得到不同的结果。为了明确，我把M放在前面，让你明白，这是该向量在坐标系M中度量的结果。”

　　那么我们再看孤零零的向量b：

　　b

　　多看几遍，你没看出来吗？它其实不是b，它是：

　　Ib

　　也就是说：“在单位坐标系，也就是我们通常说的直角坐标系I中，有一个向量，度量的结果是b。”

　　而Ma=Ib的意思就是说：

　　“在M坐标系里量出来的向量a，跟在I坐标系里量出来的向量b，其实根本就是一个向量啊！”

　　这哪里是什么乘法计算，根本就是身份识别嘛。

　　从这个意义上我们重新理解一下向量。向量这个东西客观存在，但是要把它表示出来，就要把它放在一个坐标系中去度量它，然后把度量的结果（向量在各个坐标轴上的投影值）按一定顺序列在一起，就成了我们平时所见的向量表示形式。你选择的坐标系（基）不同，得出来的向量的表示就不同。向量还是那个向量，选择的坐标系不同，其表示方式就不同。因此，按道理来说，每写出一个向量的表示，都应该声明一下这个表示是在哪个坐标系中度量出来的。表示的方式，就是Ma，也就是说，有一个向量，在M矩阵表示的坐标系中度量出来的结果为a。我们平时说一个向量是[2357]T，隐含着是说，这个向量在I坐标系中的度量结果是[2357]T，因此，这个形式反而是一种简化了的特殊情况。

　　注意到，M矩阵表示出来的那个坐标系，由一组基组成，而那组基也是由向量组成的，同样存在这组向量是在哪个坐标系下度

　　量而成的问题。也就是说，表述一个矩阵的一般方法，也应该要指明其所处的基准坐标系。所谓M，其实是IM，也就是说，M中那组基的度量是在I坐标系中得出的。从这个视角来看，M×N也不是什么矩阵乘法了，而是声明了一个在M坐标系中量出的另一个坐标系N，其中M本身是在I坐标系中度量出来的。

　　回过头来说变换的问题。我刚才说，“固定坐标系下一个对象的变换等价于固定对象所处的坐标系变换”，那个“固定对象”我们找到了，就是那个向量。但是坐标系的变换呢？我怎么没看见？

　　请看：

　　Ma=Ib

　　我现在要变M为I，怎么变？对了，再前面乘以个M-1，也就是M的逆矩阵。换句话说，你不是有一个坐标系M吗，现在我让它乘以个M-1，变成I，这样一来的话，原来M坐标系中的a在I中一量，就得到b了。

　　我建议你此时此刻拿起纸笔，画画图，求得对这件事情的理解。比如，你画一个坐标系，x轴上的衡量单位是2，y轴上的衡量单位是3，在这样一个坐标系里，坐标为(1，1)的那一点，实际

　　上就是笛卡尔坐标系里的点(2,3)。而让它原形毕露的办法，就是把原来那个坐标系:

　　2003

　　的x方向度量缩小为原来的1/2，而y方向度量缩小为原来的1/3，这样一来坐标系就变成单位坐标系I了。保持点不变，那个向量现在就变成了(2,3)了。

　　怎么能够让“x方向度量缩小为原来的1/2，y方向度量缩而小为原来的1/3”呢？就是让原坐标系：

　　2003

　　被矩阵：

　　1/20

　　01/3

　　左乘。而这个矩阵就是原矩阵的逆矩阵。

　　下面我们得出一个重要的结论：

　　“对坐标系施加变换的方法，就是让表示那个坐标系的矩阵对坐标系施加变换的方法，对坐标系施加变换的方法与表示那个变化的矩阵相乘。与表示那个变化的矩阵相乘。”

　　再一次的，矩阵的乘法变成了运动的施加。只不过，被施加运动的不再是向量，而是另一个坐标系。

　　如果你觉得你还搞得清楚，请再想一下刚才已经提到的结论，矩阵MxN，一方面表明坐标系N在运动M下的变换结果，另一方面，把M当成N的前缀，当成N的环境描述，那么就是说，在M坐标系度量下，有另一个坐标系N。这个坐标系N如果放在I坐标系中度量，其结果为坐标系MxN。

　　在这里，我实际上已经回答了一般人在学习线性代数是最困惑的一个问题，那就是为什么矩阵的乘法要规定成这样。简单地说，是因为：

　　1.从变换的观点看，对坐标系N施加M变换，就是把组成坐标系N的每一个向量施加M变换。

　　2.从坐标系的观点看，M坐标系中表现为N的另一个坐在标系，这也归结为，对N坐标系基的每一个向量，把它在I坐标系中的坐标找出来，然后汇成一个新的矩阵。

　　3.至于矩阵乘以向量为什么要那样规定，那是因为一个在M中度量为a的向量，如果想要恢复在I中的真像，就必须分别与M中的每一个向量进行內积运算。我把这个结论的推导留给感兴趣的朋友吧。应该说，其实到了这一步，已经很容易了。

　　综合以上1/2/3，矩阵的乘法就得那么规定，一切有根有据，绝不是哪个神经病胡思乱想出来的。

　　我已经无法说得更多了。矩阵又是坐标系，又是变换。到底是坐标系，还是变换，已经说不清楚了，运动与实体在这里统一了，物质与意识的界限已经消失了，一切归于无法言说，无法定义了。道可道，非常道，名可名，非常名。矩阵是在是不可道之道，不可名之名的东西。到了这个时候，我们不得不承认，我们伟大的线性代数课本上说的矩阵定义，是无比正确的：

　　“矩阵就是由m行n列数放在一起组成的数学对象。”

　　好了，这基本上就是我想说的全部了。还留下一个行列式的

　　问题。矩阵M的行列式实际上是组成M的各个向量按照平行四边形法则搭成一个n维立方体的体积。对于这一点，我只能感叹于其精妙，却无法揭开其中奥秘了。也许我掌握的数学工具不够，我希望有人能够给我们大家讲解其中的道理了。

　　我不知道是否讲得足够清楚了，反正这一部分需要您花些功夫去推敲。

　　此外，请大家不必等待这个系列的后续部分。以我的工作情况而言，近期内很难保证继续投入脑力到这个领域中，尽管我仍然对此兴致浓厚。不过如果还有（四）的话，可能是一些站在应用层面的考虑，比如对计算机图形学相关算法的理解。但是我不承诺这些讨论近期内会出现了。

篇九：新工科理念下的线性代数

　　《线性代数》课程教学浅谈

　　杭丹;刘刚;王淑玲;王婷

　　【期刊名称】《科技信息》

　　【年(卷),期】2009(000)036

　　【摘要】<线性代数>是理工科数学教学的重要基础课程之一,但学生普遍反映比较抽象,不能够形成一条主线,难以有个整体认识,本文结合教学实践以及本院学生实际情况,对提高线性代数教学质量进行了较为深入的探讨,在教学过程中,强化学生的数学素质,培养学生的数学思维能力.

　　【总页数】1页(P297)

　　【作者】杭丹;刘刚;王淑玲;王婷

　　【作者单位】徐州空军学院基础部;徐州空军学院基础部;徐州空军学院基础部;徐州空军学院基础部

　　【正文语种】中文

　　【相关文献】

　　1.基于不同专业需要的《线性代数》课程改革研究——以济宁学院《线性代数》课程改革为例[J],邵晶2.对《线性代数》课程教学的认识——如何让《线性代数》课程生动起来[J],赵雪梅3.慕课背景下MATLAB与线性代数应用的融合——介绍国家精品在线开放课程“实用大众线性代数(MATLAB版)”[J],杨威;高淑萍;陈怀琛4.新工科背景下线性代数教学改革与探索——以国家精品在线开放课程《实用大众线性代数》为例[J],杨威;高淑萍;陈怀琛;李兵斌

　　5.线性代数课程教学改革与实践——以荆楚理工学院线性代数教学为例[J],孔君香

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篇十：新工科理念下的线性代数

　　沈阳药科大学选修课结课论文

　　沈阳药科大学

　　浅谈学习线性代数的心得体会

　　学校:沈阳药科大学姓名：郑亚娟学号:1０１06331专业：药物制剂年级:2０１0级班级：03班

　　一、内容摘要

　　线性代数是一门较抽象的数学课程,但是线性代数除了其抽象之外还具有另外一个重要的特点:“实用性”,由于计算机的飞速发展和广泛应用，线性代数已成为越来越多的科技工作者必不可少的数学工具。掌握线性代数的基本概念、基本理论与基本方法，为解决工科各专业的实际问题，为进一步学习相关课程及扩大数学知识都将奠定必要的数学基础．

　　在初步学习了高等数学这门课程后,里面涉及了一些线性代数的求解方法,听老师说，某些题目用线性代数的方法求解更容易，但是由于我们还未系统的学习这门课程,老师也是一带而过,并未深讲。致使我对线性代数这门学科有了浓厚的兴趣,在首先简单了解了这门学科的背景后，发现线性代数是一门丰富多彩充满未知的科学，在看到学校开设了这门课程的选修课后,我义无反顾的叫我们全寝室的人都选修了这门奇妙的课程。

　　学习线性代数的初步感受就是它的概念多，推理论证多,基本理论与结论多,线性代数在内容上,思想方法上及论证方法上都与“高等数学”有所区别。它具有较强的逻辑性和抽象性，一开始就要高度重视。它又与中学所学的代数有一定的联系,所以有些内容并不是完全陌生的。

　　我相信只要我每节每章地，一步一个脚印的弄懂、弄通，记住有关的概念和结论,并通过反复的应用(练习）来掌握它，循序渐进掌握这门课程是容易的。

　　关键词：数学线性代数背景应用计算方法感受

　　二、绪论

　　2。1线性代数的发展史由于费马和笛卡儿的工作,线性代数基本上出现于十七世纪。直到十八世纪末，线性代数

　　的领域还只限于平面与空间。十九世纪上半叶才完成了到n维向量空间的过渡，矩阵论始于凯莱,在十九世纪下半叶,因若当的工作而达到了它的顶点。１8８8年,皮亚诺以公理的方式定义了有限维或无限维向量空间。托普利茨将线性代数的主要定理推广到任意体上的最一般的向量空间中。线性映射的概念在大多数情况下能够摆脱矩阵计算而引导到固有的推理,即是说不依

　　赖于基的选择.不用交换体而用未必交换之体或环作为算子之定义域，这就引向模的概念,这一概念很显著地推广了向量空间的理论和重新整理了十九世纪所研究过的情况。

　　“代数”这一个词在中国出现较晚，在清代时才传入中国，当时被人们译成“阿尔热巴拉”，直到1８59年,清代著名的数学家、翻译家李善兰才将它翻译成为“代数学”,之后一直沿用.

　　２。２线性代数在数学中的地位线性代数是讨论矩阵理论、与矩阵结合的有限维向量空间及其线性变换理论的一门学科。

　　①性代数在数学、力学、物理学和技术学科中有各种重要应用，因而它在各种代数分支中占居首要地位。

　　②计算机广泛应用的今天,计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、虚拟现实等技术无不以线性代数为其理论和算法基础的一部分。

　　③线性代数这门学科所体现的几何观念与代数方法之间的联系,从具体概念抽象出来的公理化方法以及严谨的逻辑推证、巧妙的归纳综合等,对于强化人们的数学训练，增益科学智能是非常有用的。

　　④随着科学的发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系,还要进一步研究多个变量之间的关系,各种实际问题在大多数情况下可以线性化，而由于计算机的发展,线性化了的问题又可以计算出来，线性代数正是解决这些问题的有力工具。

　　2。3课程主要内容

　　㈠行列式

　　①阶与三阶行列式的计算——对角线法则

　　x12x2x32,

　　例:解线性方程组2x1x23x31,

　　x1

　　x2

　　x3

　　0.

　　解:由于方程组的系数行列式

　　121

　　D213111231121111

　　111

　　22113150,

　　同理可得

　　221

　　121

　　12

　　故D方1程组1的解为1：x101

　　31

　　DD15,

　　1,D2

　　x221

　　1D20D

　　23,1

　　10,x3D3

　　D3D

　　21.1

　　11

　　215,0

　　②全排列及其逆序数

　　例:用两种方法求排列1635２487的逆序数。

　　解:方法１

　　1６3524８7

　　t031210108

　　方法2

　　由前向后求每个数的逆序数。

　　‫ﻩ‬t001132018.

　　③n阶行列式的定义:n阶行列式(定义１）设有ｎ＾2个数,排成n行ｎ列的表，作出表中

　　位于不同行不同列的ｎ个数的乘积,并冠以符号（—１)ｔ,的形式如下的项,其中为自然数

　　１,２，..．，ｎ的一个排列，t为这个排列的逆序数.由于这样的排列共有n！个,这ｎ！项

　　的代数和称为n阶行列式.

　　④对换的定义:在排列中,将任意两个元素对调,其余元素不动,这种作出新排列的手续叫做对

　　换。将相邻两个元素对调，叫做相邻对换．

　　⑤行列式的性质及应用

　　⑥克拉默法则的应用

　　㈡矩阵

　　①矩阵及矩阵的运算

　　②逆矩阵的概念和性质及其求法

　　③分块矩阵的运算法则

　　④矩阵的初等变换及消元法

　　⑤线性方程组的解

　　x12x2x3x40

　　例

　　求解齐次线性方程组

　　2x1x22x32x40

　　.

　　x1x24x33x40

　　解：

　　A

　　对系数矩阵A实施初等行变化

　　121

　　211

　　224

　　12

　　3

　　1r222r12

　　0

　　0

　　r333r1

　　66

　　14

　　4

　　10

　　21

　　22

　　14

　　0

　　0

　　0

　　30

　　1

　　0

　　2

　　53

　　0

　　1

　　2

　　43

　　000

　　0

　　r3r2r2(3)

　　r12r2

　　即得与原方程组同解的方程组

　　x

　　1

　　x2

　　2x32x3

　　53

　　x4

　　43

　　x4

　　0,0,

　　由此即得

　　x1

　　x2

　　2x32x3

　　53

　　x4,

　　43

　　x4,

　　(

　　x3,x4

　　可任意取值).

　　令x3c1,x4c2，把它写成通常的参数形式

　　x3

　　x1

　　2c2

　　53

　　c2

　　,

　　x2

　　2c2

　　43

　　c2,

　　c1,

　　x4c2,

　　x1

　　x2

　　xx

　　34

　　2

　　c1

　　210

　　53

　　c2

　　43

　　.

　　0

　　1

　　⑥初等矩阵的概念及其应用㈢N维向量①N维向量的概念及其表示方法

　　②向量组线性相关性的概念及判定③向量组的秩与矩阵的关系④向量空间的概念及其基与维数⑤线性方程组的解的结构

　　㈣相似矩阵与二次型

　　①矩阵的特征值与特征向量及其求法②相似矩阵及其性质③矩阵对角化的充要条件及其方法④实对称矩阵的相似对角矩阵

　　⑤二次型及其矩阵表示

　　⑥线性无关的向量组正交规范化的方法⑦正交变换与正交矩阵的概念及性质⑧用正交变换化二次型为标准形⑨用配方法化二次型为平方和，二次型的规范形

　　⑩惯性定理、二次型的秩、二次型的正定性及其判别

　　三、心得体会

　　从素未谋面到一知半解，或许将来会有相见恨晚。总之到现在为止,经过将近一个３0个学时的学习,我对线性代数有了一些小小的感想。

　　首先,我从一些资料了解到线性代数是数学的一个分支,它的研究对象是向量,向量空间,线性变换和有限维的线性方程组。向量空间是现代数学的一个重要课题；因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；通过解析几何,线性代数得以被具体表示。线性代数的理论已被泛化为算子理论。由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型,使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。

　　其次,通过查阅资料、阅读课本及其目录,我知道了线性代数的主要内容是研究代数学中线性关系的经典理论。由于线性关系是变量之间比较简单的一种关系,而线性问题广泛存在于科学技术的各个领域,并且一些非线性问题在一定条件下,可以转化或近似转化为线性问题,因此线性代数所介绍的思想方法已成为从事科学研究和工程应用工作的必不可少的工具.尤其在计算机高速发展和日益普及的今天，线性代数作为高等学校工科本科各专业的一门重要的基础理论课,其地位和作用更显得重要。

　　而线代不同于高等数学的是，它几乎从一开始就是一个全新的概念,至少给我的感觉是这样。我们都知道,线性代数研究的范围通常都不是我们能想象到的二维空间，而是上升到n维空间,并且在线性代数的学习过程中,我们几乎都是跟一些新的概念,新的定理打交道，因此理解和记忆起来有相当大的困难，常常是花很久的时间还是理解不了。

　　给我们上课的姜老师对细节的要求比较高，他会时不时询问学生对知识的理解情况，经常会多次讲解，这真的是一个好现象。不过说实话,由于课时的限制，老师不可能把所有东西都讲解得很透彻,尽管老师尽力讲解了,可每次上完课我仍会有些许疑惑。

　　第一堂课，姜老师介绍过,线性代数主要研究了三种对象:矩阵、方程组和向量。这三种对象的理论是密切相关的，大部分问题在这三种理论中都有等价说法。因此,熟练地从一种理论的叙述转移到另一种去,是学习线性代数时应养成的一种重要习惯和素质。如果说与实际计算结合最多的是矩阵的观点，那么向量的观点则着眼于从整体性和结构性考虑问题，因而可以更深刻、更透彻地揭示线性代数中各种问题的内在联系和本质属性。

　　俗话说得好:“学而不思则罔”.记得姜老师说过,当给你一个信息的时候,尤其是一些不太

　　明显的信息,你要能立刻理解它的内涵，也就是说能够马上联想到与它等价的一些信息。比如说,告诉你一个矩阵是非奇异矩阵，它包含的信息有：首先明确它是一个n阶方阵，它的秩是n，它便是满秩矩阵,它所对应的n阶行列式不等于零，那么ｎ个n维向量便线性无关,还有这个方阵是可逆方阵,并且可以想到它的转置矩阵也是可逆的•,还有一点,在线性代数的学习过程中，有些定理或推论是没有必要去背的，因为它们就是另外某个定理的特殊情况，只要我们稍微思考一下,完全可以自己概括,没有必要多记几个来增加自己的记忆负担。比如说向量组的线性相关性的定理6的推论2:“当ｍ〉ｎ时,m个n维向量一定线性无关”,看过定理6后你会觉得这完全就是废话嘛,所以要善于总结提高效率。再有就是在记忆一些定理概念的时候,不一定非得按原文记忆,我们可以按照自己的理解来记忆。在学习线性代数的过程中，联想和思考是非常重要的,通过联想和思考,把学过的知识点串起来,深化理解,我们才能把线性代数学得更好。

　　到现在为止，我们的线性代数课程已经快接近尾声了，但是我相信大多数同学跟我一样只感受到了线性代数的较强的逻辑性和超强的抽象性,对于所谓的广泛的实用性，并没有太深刻的体会。说得更加“肤浅"一点,从我们的专业相关性来说,我们并不是很清楚线性代数对我们今后的专业学习有多大的帮助，我想这是许多学生对线性代数的学习热情不高的原因之一吧。事实也是这样,工科学生的线性代数课本跟理科学生是不一样的，最明显的区别就是我们工科课本中没有与实际应用相关的问题,都是一些计算证明题，老师在授课的过程中也没怎么提及.不过我想这是因为对我们的要求有所不同吧，毕竟连基本概念都难以理解完全，又怎么谈得上应用呢，不管怎么说都得先把基础打好吧．

　　开设任何一门学科都有它自己的作用,通过学习它们，我们可以培养各种各样的能力，我相信只要抱着一颗热爱的心认真去学,不管结果怎么样,我们都是收获的。

　　四、参考文献

　　1.《线性代数》——百度百科2.吉志明数学-—不仅仅需要逻辑—大学数学-2003,1９（5)3.吴耀强关于理工科大学生数学创造性思维培养之探究—大学数学—20０7，23(5)4.同济大学数学教研室编.线性代数(第三版）。北京:高等教育出版社5.姜希伟《线性代数》教学课件

篇十一：新工科理念下的线性代数

P>　　浅谈工科线性代数的意义

　　[摘要]线性代数是整个高等数学的基础课程之一，它除了可以应用于整个数学领域之外，还在物理学，生物学，经济学，密码学等方面都发挥着至关重要的作用。

　　[关键词]线性代数，矩阵，行列式

　　讨论线性方程及线性运算的代数就叫做线性代数，它是高等代数中的一大分支。在线性代数的知识内容中，最重要的工具是行列式和矩阵。行列式和矩阵在十九世纪倍受学者们的关注，关于它们的研究有成千篇的论文。向量作为一种特殊的矩阵，从数学的观点来看是一个以有序数组为元素的集合，然而当它以力或速度作为直接的物理意义时，数学上用它能立刻清晰地描述其物理上的内涵，这就显得意义非凡了。当然，向量用于梯度、散度、旋度彰显了它更有说服力的地位。线性代数中的行列式和矩阵宛如微积分中的导数一般，处处可见。虽然从表面上看，行列式和矩阵不过是一种语言或速记，但它生动的概念却能为新的思想领域打开一扇门。事实已证明，这两个概念是数学物理上高度有用的工具。

　　线性代数除了在各种代数分支中占据首要地位外，还在数学、力学、物理学等方面都有着极其重要的作用。在大数据及人工智能为首的当代社会，计算机图形学，计算机辅助设计，密码学，虚拟现实等技术无一例外都以线性代数为其理论和算法基础的一部分。该学科所体现的几何观念与代数方法之间的联系，从具体概念抽象出来的公理化方法以及严谨的逻辑推证，巧妙的归纳综合等，对于强化人们的数学思维训练，增益科学智能都是非常有益的。随着科学的进一步发展，大数据的盛行，我们不仅要研究单个变量之间的关系，还要进一步研究多个变量之间的关系。事实上，多数实际问题可以在大多数情况下进行线性化处理，借助于计算机的日益发展，线性化了的问题又可以快速计算出来。在这其中，线性代数正是解决这类问题的有力工具之一。

　　文献[1]介绍了如何利用矩阵的秩来判断平面与平面，平面与直线之间的位置关系。将平面方程写成线性方程组的形式，通过系数矩阵的秩和增广矩阵的秩来判断平面与平面之间的位置关系。相交、重合亦或是平行都可以通过秩来进行判断。文献[2]通过具体实例向我们直观的演示了如何运用齐次线性方程组存在非零解时来解决实际几何问题，通过平面上两已知点坐标与垂直该平面的平面方程来求解该平面方程，进而将这一方法推广到一般情况。文献[3]中提到利用行列式来解决图形面积的问题，初步将行列式的性质应用到几何问题中。文献[4]主要是介绍了二阶行列式的几何意义，及如何将二阶行列式的一些结论运用到某些实际问题中。文献[5]全面地介绍了解析几何中各种图形的性质，让我们更为深入地了解解析几何的思想与理论，以便将线性代数与之结合起来，举一反三，将线性代数的思想与其解题方法联系起来。文献[6、7]详细阐述了线性代数的几何意义，介绍了利用几何思想解决代数问题的实例，更为全面的诠释了代数与几何之间你中有我，我中有你的关系。

　　通过参阅和研究文献，可以发现利用线性代数这门学科去思考几何问题可以带来极大的方便，下面介绍几个线性代数在几何解题中的结论。

　　例1：(利用行列式求面积)已知△ABC的顶点分别为

　　，

　　则△ABC的面积为：

　　例2：(利用行列式求直线方程)

　　1.已知平面上3个点分别为为：

　　的绝对值。，则这3个点共线的充要条件

　　1.

　　已知两点分别为

　　，则过这两点的直线方程为：

　　1.

　　三条直线

　　,

　　,

　　是三条直线方程所成方程组的系数行列式等于零。

　　共点的必要条件

　　例3：(矩阵秩的应用)已知平面：

　　与平面：

　　，设线性方程组

　　的系数矩阵为A，

　　增广矩阵为，则若秩(A)=秩()=2，平面与平面相交于一条直线；若秩

　　(A)=秩()=1，平面与平面重合；若秩(A)=1，秩()=2，平面与平面平

　　行。

　　结论:将线性代数当中的基本知识用于具体的几何问题当中，既能使抽象的代数问题具体形象化，又能使运用传统方法较难解决的几何问题简单化。

　　参考文献:

　　[1]冯锡刚.解析几何中矩阵的秩的应用

　　[2]潘杰，苏化明.齐次线性方程组有非零解的几何应用

　　[3]曹新．三角形面积二十式［J］．数学教学研究，1988(2):20－21．

　　[4]伍启期．二阶n列式的理论及其应用［J］．数学通报，1981(5):24－25．

　　[5]吕林根，许子道，等．解析几何［M］．北京:高等教育出版社，1982:129－134．

　　[6]萧树铁等.大学数学——代数与几何[M].北京:高等教育出版社,2001.

　　[7]GruenbergKW,WeirAJ.LinearGeometry[M].NewYorkHeidelbergBerlin:Spring-Verlag.1997.

篇十二：新工科理念下的线性代数

P>　　《线性代数》课程教学大纲

　　课程编号：07066211课程名称：线性代数英文名称：LinearAlgebra课程类型：公共基础课课程要求：必修学时/学分：56/3.5适用专业：全校各理工专业一、课程性质与任务

　　线性代数课程是高等工科院校的一门基础理论课。由于线性问题广泛存在于科学技术的各个领域，某些非线性问题在一定条件下可以转化为线性问题，尤其是在计算机日益普及的今天，解大型线性方程组、求矩阵的特征值与特征向量等已成为科学技术人员经常遇到的课题，因此学习和掌握线性代数的理论和方法是掌握现代科学技术以及从事科学研究的重要基础和手段。本课程的主要任务是学习科学技术中常用的矩阵方法、线性方程组及其有关的基本计算方法。使学生具有熟练的矩阵运算能力及用矩阵方法解决一些实际问题的能力。线性代数主要介绍行列式、矩阵、向量空间、线性方程组、二次型理论。培养学生的抽象思维与逻辑推理能力，为学生的专业知识和后继课的学习奠定必要的数学基础。

　　二、课程与其他课程的联系

　　线性代数是各专业相应专业课的基础。

　　三、课程教学目标

　　1.学习线性代数的基本知识和基本理论，掌握常用的矩阵、行列式和线性方程组理论等基础知识，熟练掌握矩阵、行列式的基本计算，系统的了解方程组的解及解空间的结构，使学生能够掌握必要的数学运算技能和利用数学软件进行线性代数计算的能力。（支撑毕业能力要求1.1、2.1）

　　2.通过对向量空间的学习，使学生能对向量空间的结构及一些抽象的代数知识得到了解，理解子空间、基，维数等概念，掌握坐标变换和向量在基下的坐标。通过相似矩阵和二次型的学习，使学生学会求矩阵的特征值与特征向量的方法，能化二次型为标准型，能判别二次型的正定性。（支撑毕业能力要求1.3）

　　3.通过本课程的学习，使学生掌握该课程的基本理论与方法,理解具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辨证关系；培养创新意识及能力，培养解决实际问题的能力和科学计算能力，并为学习后继相关课程及进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。（支撑毕业能力要求2.1、12.2）

　　四、教学内容、基本要求与学时分配

　　序

　　号

　　教学内容

　　1一、矩阵与行列式1．矩阵及其运算2．行列式及其性质3．行列式的计算（重点）4．Cramer法则

　　学

　　教学要求

　　时

　　1.熟练掌握矩阵的基本运算2

　　2.了解几类特殊矩阵

　　2

　　3.了解行列式的定义

　　2

　　4.熟练掌握行列式的性质

　　2

　　5.掌握二、三、四阶行式的计2

　　教学方式

　　讲授

　　对应课程教学

　　目标1、3

　　2二、矩阵的秩与逆矩阵1.逆矩阵的概念2.矩阵可逆的充分必要条件3.伴随矩阵4.矩阵的初等变换和初等矩阵5.矩阵的秩6.初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法

　　3三、向量空间与线性变换1.向量的概念2.向量组的线性相关与线性无关的概念和性质3.向量组的极大线性无关组的概念，向量组的等价和向量组的秩的概念，向量组的秩与矩阵的秩之间的关系4.向量空间、基、维数等概念5.过渡矩阵，线性变换及子空间

　　4四、线性方程组1.线性方程组解的性质和解的结构2.齐次线性方程组有非零解的充分必要条件3.非齐次线性方程组有解的充分必要条件4.齐次线性方程组的基础解系、通解和解空间的概念5.非齐次线性方程组的通解，用行初等变换求解线性方程组的方法。

　　5五、矩阵的特征值问题与二次型1.矩阵的特征值和特征向量的概念、性质及求法2.相似矩阵的概念及性质，矩阵可

　　算法

　　6.会计算简单的n阶行列式2

　　7.理解并会应用克莱姆法则

　　1.理解逆矩阵的概念

　　2

　　2.掌握逆矩阵的性质以及矩阵2

　　可逆的充分必要条件

　　3.理解伴随矩阵的概念，会用2

　　伴随矩阵求矩阵的逆

　　4.掌握矩阵的初等变换，了解2

　　初等矩阵的性质和矩阵等价

　　的概念

　　5.理解矩阵的秩的概念，掌握2

　　用初等变换求矩阵的秩和逆

　　矩阵的方法

　　1.理解n维向量的概念，理解2

　　向量组线性相关、线性无关的

　　概念

　　2.了解并会运用有关向量组线2

　　性相关、线性无关的有关结论

　　3.了解向量组的极大线性无关2

　　组和向量组的秩的概念

　　4.熟练掌握向量组的极大线性2

　　无关组及秩的求法

　　5.了解向量组等价的概念，了2

　　解向量组的秩与矩阵的秩的

　　关系

　　6.了解n维向量空间、子空间、2

　　基、维数等概念

　　7.熟练掌握求解过渡矩阵，线2

　　性变换的方法

　　1.理解齐次线性方程组有非2

　　零解的充分必要条件及非齐

　　次线性方程组有解的充分

　　必要条件

　　2.理解齐次线性方程组的基础2

　　解系、通解及解空间的概念

　　3.理解非齐次线性方程组解的2

　　结构及通解的概念

　　4.掌握用行初等变换求线性方2

　　程组通解的方法

　　1.矩阵的特征值和特征向量的2

　　概念及性质

　　2.熟练掌握矩阵的特征值和特2

　　征向量的求解方法

　　讲授、1、3讲授2、3

　　讲授1、3讲授3

　　相似对角化的充分必要条件3.实对称矩阵的相似对角矩阵4.二次型及其矩阵表示5.用正交变换法化二次型为标准型6.二次型及系数矩阵的正定性及其判别法

　　3.理解相似矩阵的概念、性质2及矩阵可相似对角化的充分必要条件4.掌握二次型及其矩阵表示，2了解用配方法化二次型为标准型的方法5.掌握用正交变换法化二次型4为标准型的方法6.掌握二次型及系数矩阵的正2定性及其判别法

　　五、教学方法

　　本课程以课堂教学为主，结合作业及课堂测验等教学手段和形式完成课程教学任务。在课堂教学中，强调课堂教学多样化，提倡形象化、启发式、讨论式教学。教师可根据自己的特长，灵活运用可以适当增加专业方面的应用，在教学方法上重视思想，加强基础；适度削弱纯数学技巧的训练；加强应用，特别是矩阵的理论和应用和线性方程组的理论及解法。在本课程的全部教学过程中，一方面，增加数学建模知识渗透，把数学理论和方法运用到实际问题中去解决实际问题，使学生对解决过程有一定的理解和认识，增强学生学习的积极性。另一方面，加强实际应用的教学，开阔学生的眼界，扩大信息量。

　　六、考核方式

　　最终成绩由平时出勤情况、作业成绩、期末成绩等组合而成。各部分所占比例如下：出勤情况：10%。出勤与课堂表现。平时测验成绩：10%。主要考核对每堂课知识点的复习、理解和掌握程度。作业成绩：10%。期末考试成绩：70%。主要考核线性代数的基本概念、基本分析计算方法的掌握程度。书面考试形式。题型为1、选择题2、填空题3、计算题4、证明题等。

篇十三：新工科理念下的线性代数

P>　　线性代数与理工科专业的联系

　　作者：薛艳梅郑柏超来源：《科技创新导报》2014年第26期

　　薛艳梅1郑柏超2

　　(1.南京信息工程大数学与统计学院江苏南京210044;2.南京信息工程大学信息与控制学院江苏南京210044）

　　摘要：线性代数是理工科专业的基础课程之一，但学生对其在专业课中的应用知之甚少。该文分别以线性代数在计算机、密码学、力学中的应用为例，具体分析线性代数在专业课学习的重要作用，以培养学生学习及应用线性代数的兴趣与意识。

　　关键词：线性代数计算机密码学力学

　　中图分类号:G642文献标识码：A文章编号：1674-098X（2014）09（b）-0220-01

　　线性代数是高等院校理工科以及经济管理类学生的必修基础课，其在开课面之广、影响和重视程度上仅次于高等数学，它具有较强的逻辑性、抽象性以及广泛的实用性。通过两年的线性代数教学工作，我主要有以下体会。

　　学生普遍反映线性代数较之高等数学更抽象，内容更枯燥，不容易理解，更不清楚学习线性代数的目的。这导致学生失去主动学习的热情和动力，多数学生纯粹为了考试而勉强学习，学了那么多理论，考完试搁置不用，实在很浪费。当然，这也不能全归责于学生，究其原因，主要有以下两点：一方面，从教材来考虑，大多线性代数教材均是以理论知识为主，很少列举一些与实际生活或专业相联系的例子，也就是太数学化了。另一方面，从教师角度来考虑，讲授线性代数的老师大多来自数学专业，数学功底都不错，但由于一些工程背景、知识面及课时的限制，大多数老师也只是传授课本上的数学知识，这样不能很好地引导学生学习的主动性，从而达不到好的教学效果。因此教师首先要拓宽自己的知识面，积极探索总结一些与线性代数相关的应用实例。这样为不同专业讲授本门课程时，可以多列举一些与其专业相关的例子。例如可以为经济学专业学生讲解一些生产成本投入产出的例子，为信息工程专业学生多讲解信息编码、编程的例子。在计算机广泛应用的今天，线性代数的理论知识为计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、力学等奠定了很好的基础。该文主要以线性代数在计算机、密码学、力学中的应用为例，分析了线性代数在专业知识中的应用，从而让学生更深入的了解线性代数的应用价值，进一步培养学生学习及应用线性代数的兴趣与意识。

　　1线性代数在计算机中的应用

　　高教司曾用“用MATLAB和建模实践改造工科线性代数”项目的总目标就是推广线性代数与科学计算的结合，因此将线性代数与计算机计算结合起来是非常有必要的。计算机可以解决线性代数的一些难题而线性代数可以为计算机编程。特别是我们最常用的一种数学软件——Matlab软件，该软件具有强大的数值计算功能。例如把方程的阶次提高到3元以上时，计算步骤有可能会十分繁琐，如果将线性代数的计算应用到计算机里面则会节省很多时间。例如，WassilyLeontief教授把美国经济用500个变量的500个线性方程组描述，而后又把系统简化为42个变量的42个线性方程，经过几个月的编程，并利用当时的计算机运行了56个小时才求出其解。如果手算的话估计花费几倍的时间都不止，这体现了线性代数在计算机中强大的应用价值。将线性代数与计算机应用结合起来，既激发了学生学习线性代数的积极性，又培养了学生的动手实践能力。

　　2线性代数在密码学中的应用在早期密码研究中，有直接利用矩阵作为密码表的，比如将26个字母放在以下5乘5的矩阵里

　　这样，每个字母就对应了两个字符——分别是其所在的行数和列数，如对应32，对应44等，如果接受的密文为3215424254132342244344321143，则对应的明文即为MerryChristmas。该加密方法简单直接，但也容易攻破。现行的加密算法则是建立在早期加密算法基础之上，大致可以归结为对明文代表的数据进行变换，比如置换、轮换、线性变换等。这样经过变换之后的算法更复杂，不容易攻破。我们举一个简单的例子，把英文字母用一个整数来表示，然后传送这组整数。这种方法是很容易根据数字出现的频率来破译，例如出现频率特别高的数字，很可能就对应于字母E。而我们可以用矩阵的乘法来进行加密。例如整数矩阵的行列式等于，则的元素也必定是整数。而经过如此变换过的消息，同样两个字母对应的数字不同，所以就较难破译。接收方只需将这个消息乘以就可以复原。当然还有在线性代数的基础上采用更复杂的加密算法，该文不再赘述。

　　3线性代数在力学中的应用在现代生产和日常生活中，机械已成为代替和减轻人类劳动、提高劳动生产率的主要手段。而在机械工程领域中经常会遇到复杂的线性方程组的数值求解问题。例如机器人机构树状解和设计方案的多解问题等。并且线性方程可以作为一种定量尺度，广泛用于设计或选择钢种，制定或修订标准、控制熔炼成分等方面。这在机械工程领域中起着十分重要的作用。4结语在当前的信息化时代，我们尤其要注重学生能力与实践意识的培养，而线性代数作为理工科的基础课程之一，它的重要性是毋庸置的。因此，在线性代数的教学中，我们要尽量和学生的专业课相结合，使线性代数的知识更通俗易懂，以提高学生学习的积极性和主动性，真正做到学以致用。参考文献[1]同济大学数学系.工程数学线性代数[M].5版.北京：高等教育出版社,2007.[2]李家,李援南.线性代数在密码学中的应用[J].北京电子科技学院学报,2013,21(4):74-79.[3]李艳晓,邵玉丽.线性代数在理工科专业课中的应用[J].数学学习与研究,2014(1).

　　[4]王海侠,孙和军,王青云.改进线性代数教学方法的几点想法[J].高等数学研究,2010,13(6):13-15.

　　[5]王利东,刘婧.从应用实例出发的线性代数教学模式探讨[J].数学教育学报,2012,21(3):83-85.

　　[6]马朝忠,邓西云.突出应用背景知识介绍彰显线性代数实用特性[J].中国科教创新导刊,2012(35):113.

篇十四：新工科理念下的线性代数

P>　　《线性代数》课程教学大纲

　　课程代码：000BC090课程中文名称:线性代数课程类别：公共基础课课程学分数：3课程学时数：50前导课程：微积分

　　一、教学目的线性代数是一门基础理论课，客观存在应用于管理学科和技术学科的各个领域，它是理

　　工科大学生必备的基本知识。本课程基本任务是学习行列式、矩阵、向量的线性相关性，线性方程组，二次型及线性空间和线性变换等理论及其有关知识，使学生能熟练掌握这些基本概念和方法，培养学生的逻辑思维和抽象思维能力及分析问题解决问题的能力，从而为学生学习后继课程及进一步提高打下必要的数学基础。

　　二、教学目标和任务《线性代数》是高等学校上述各专业的重要基础课。由于线性问题广泛存在于科学

　　技术的各个领域，某些非线性问题在一定条件下可以转化为线性问题，尤其是在计算机日益普及的今天，解大型线性方程组、求矩阵的特征值与特征向量等已成为科学技术人员经常遇到的课题，因此学习和掌握线性代数的理论和方法是掌握现代科学技术以及从事科学研究的重要基础和手段，同时也是实现我院上述各专业培养目标的必备前提。本课程的主要任务是学习科学技术中常用的矩阵方法、线性方程组及其有关的基本计算方法。使学生具有熟练的矩阵运算能力及用矩阵方法解决一些实际问题的能力。从而为学生进一步学习后续课程和进一步提高打下必要的数学基础。

　　三、教学要求本课程教学贯彻启发式原则，坚持理论联系实际；考虑财经类学生的特点，以讲授基本

　　理论和方法为运用为主。同时，根据教学内容配备一定数量的习题给学生训练，以巩固学生掌握知识和提高学生的运用能力。

　　四、课程学时安排与主要内容

　　1、学时安排

　　序号

　　章节名称

　　理论课

　　习题课

　　总学时

　　1

　　行列式

　　9

　　2

　　矩阵

　　10

　　3

　　线性方程组

　　10

　　4

　　矩阵的特征值

　　8

　　5

　　二次型

　　4

　　总计

　　41

　　2、主要内容

　　1

　　10

　　2

　　12

　　2

　　12

　　2

　　10

　　2

　　6

　　9

　　50

　　第一章行列式（10课时）教学目的与要求：1.了解n阶行列式的定义。2.掌握行列式的性质及按行列展开定理。3.掌握n阶行列式常用的几种计算方法。重点与难点：n阶行列式的计算；n阶行列式定义的理解。

　　第一节二阶与三阶行列式（2课时）内容：二阶行列式；二元线性方程组；三阶行列式；三元线性方程组

　　重点讲授：二阶行列式；三阶行列式

　　第二节n阶行列式（2课时）内容：排列与逆序；n阶行列式的定义；对换重点讲授：n阶行列式的定义第三节行列式的性质（2课时）内容：行列式的性质；行列式的计算

　　重点讲授：行列式的性质

　　第四节行列式按行（列）展开（2课时）内容：行列式按一行（列）展开；行列式的计算

　　重点讲授：行列式按一行（列）展开

　　第五节克莱姆法则（2课时）内容：克莱姆法则；用克莱姆法则解方程

　　重点讲授：克莱姆法则

　　第二章矩阵（12课时）教学目的与要求：

　　1.理解矩阵的概念，了解单位阵、对角距阵、三角矩阵、零矩阵、数量矩阵、对角距阵。2.熟练掌握矩阵的线性运算，乘法运算，转置运算，并掌握各种运算的运算律。3.理解逆矩阵的概念及存在的充要条件，掌握矩阵求逆的方法。4.了解分块矩阵的运算规则。重点与难点：矩阵的线性运算，乘法转置求逆。有关矩阵运算后秩的论证问题。

　　第一节矩阵的概念（2课时）

　　内容：矩阵的概念；几种特殊矩阵；线性变换的概念

　　重点讲授：矩阵的概念；几种特殊矩阵第二节矩阵的线性运算（2课时）内容：矩阵的线性运算；矩阵的乘法；线性方程组的矩阵表示；矩阵的转置；方阵的幂方阵的行列式；对称矩阵；共轭矩阵重点讲授：矩阵的线性运算；矩阵的乘法；第三节逆矩阵（2课时）内容：逆矩阵的概念；伴随矩阵及其逆矩阵的关系；逆矩阵的运算性质；矩阵方程；矩阵多项式及其运算重点讲授：逆矩阵的概念；逆矩阵的运算性质第四节分块矩阵（2课时）内容：分块矩阵的概念；分块矩阵的运算；克莱姆法则的证明重点讲授：分块矩阵的运算第五节矩阵的初等变换（2课时）内容：矩阵的初等变换；初等矩阵；求逆矩阵的初等变换法；用初等变换法求解矩阵方

　　程AXB重点讲授：；求逆矩阵的初等变换法；用初等变换法求解矩阵方程AXB

　　第六节矩阵的秩（2课时）内容：矩阵的秩；矩阵的秩的求法

　　第三章线性方程组（12课时）教学目的与要求：1.了解向量组线性相关与线性无关的概念。2.理解线性相关性的一系列定理，并会作简单线性相关性的命题的论证。3.理解向量组与矩阵的秩的概念，掌握用矩阵的初等变换求向量组及矩阵的秩。4.熟练掌握矩阵的初等变换。5.知道初等变换与初等矩阵及矩阵的初等变换与矩阵相乘的关系。6.了解矩阵运算后秩的变化。重点与难点：线性相关的概念及有关定理，求向量组与矩阵的秩；线性相关性有关定理的论证。第一节消元法（2课时）内容：增广矩阵；消元法解方程重点讲授：消元法解方程第二节向量组的线性组合（2课时）内容：n维向量及其线性运算；向量组的线性组合；向量组间的线性表示重点讲授：向量组的线性组合第三节向量组的线性相关性（2课时）内容：线性相关性概念；线性相关性的判定重点讲授：线性相关性的判定第四节向量组的秩（2课时）内容：极大线性无关向量组；向量组的秩；矩阵与向量组秩的关系；

　　重点讲授：向量组的秩第五节向量空间（选学）

　　内容：向量空间与子空间；向量空间的基与维数；R3中坐标变换公式

　　重点讲授：向量空间与子空间第六节线性方程组解的结构（2课时）内容：齐次线性方程组解的结构；非齐次线性方程组解的结构重点讲授：齐次线性方程组解的结构；非齐次线性方程组解的结构第七节数学建模——投入产出模型（选学）内容：投入产出平衡表；平衡方程；平衡方程组的解；完全消耗系数重点讲授：平衡方程；平衡方程组的解

　　第四章矩阵的特征值（10课时）教学目的与要求：1.理解线性方程组有解的判别定理，并掌握有解的判别方法。2.了解线性方程组的特解，通解，基础解系概念及结构。3.熟练掌握用矩阵的初等变换解线性方程组的方法。重点与难点：线性方程组有解原判别及求解；线性方程组解的结构论证第一节向量的内积（2课时）内容：内积及其性质；向量的长度；正交向量组；规范正交基及其求法；正交矩阵与正交变换重点讲授：内积及其性质；向量的长度；正交向量组第二节矩阵的特征值与特征向量（2课时）内容：特征值与特征向量；特征值与特征向量的性质重点讲授：特征值与特征向量；特征值与特征向量的性质第三节相似矩阵（2课时）内容：相似矩阵的概念；相似矩阵的性质；矩阵与对角矩阵相似的条件；矩阵对角化的步骤；矩阵对角化的应用；约当形矩阵的概念重点讲授：相似矩阵的概念；相似矩阵的性质；矩阵与对角矩阵相似的条件；矩阵对角化的步骤第四节实对称矩阵的对角化（2课时）内容：什么是实对称矩阵；实对称矩阵的特性；如何将实对称矩阵的对角化重点讲授：如何将实对称矩阵的对角化

　　第五章二次型（8课时）教学目的与要求：1.了解矩阵特征值与特征向量的概念，并熟练掌握其求法。2.了解矩阵相似的概念，了解矩阵可对角化的充要条件。3.了解实对称矩阵的特征值、特征向量的特性，掌握把实对称矩阵化为相似对角形矩阵

　　的方法。4.了解二次型的一些基本概念。5.掌握化二次型为标准形的正交变换法，会用配方法化二次型为标准形。6.知道惯性定理。7.了解二次型正定的概念并会判别。重点与难点：矩阵对角化的条件和方法，二次型化标准形并判别正定性。有关特征值特征向量的论证

　　问题。第一节二次型及其矩阵（2课时）内容：二次型的概念；二次型的矩阵；矩阵的合同重点讲授：二次型的矩阵第二节化二次型为标准形（2课时）内容：用配方法化二次型为标准形；用初等变换化二次型为标准形；用正交变换化二次

　　型为标准形；二次型与对称矩阵的规范形重点讲授：用初等变换化二次型为标准形；用正交变换化二次型为标准形第三节正定二次型（2课时）内容：二次型有定性的概念；正定矩阵的判别法重点讲授：二次型有定性的概念；正定矩阵的判别法

　　五、教材与参考书教材：赵树源主编，1983，线性代数（第四版），北京：中国人民大学出版社参考书:[1]赵树嫄主编，线性代数，北京：人民大学出版社[2]同济大学数学教研室，线性代数，北京:高等教育出版社[3]吴赣昌主编，2006，线性代数，北京：中国人民大学出版社

　　六、考核方式及成绩评定1、考试方式：闭卷考试2、成绩评定方式的主要构成及比例：期末成绩(60%)+平时成绩(40%)。

　　（撰写人：樊艮，审核人：喻光伟）

篇十五：新工科理念下的线性代数

P>　　线性代数学习总结

　　篇一：线性代数学习心得

　　怎样学好线性代数？

　　感觉概念好多，非常讨厌。

　　满意答案：

　　线性代数的主要内容是研究代数学中线性关系的经典理论。由于

　　线性关系是变量之间比较简单的一种关系，而线性问题广泛存在于科

　　学技术的各个领域，并且一些非线性问题在一定条件下,可以转化或

　　近似转化为线性问题，因此线性代数所介绍的思想方法已成为从事科

　　学研究和工程应用工作的必不可少的工具。尤其在计算机高速发展和

　　日益普及的今天，线性代数作为高等学校工科本科各专业的一门重要

　　的基础理论课，其地位和作用更显得重要。

　　线性代数主要研究了三种对象：矩阵、方程组和向量.这三种对

　　象的理论是密切相关的，大部分问题在这三种理论中都有等价说法.

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　　因此，熟练地从一种理论的叙述转移到另一种去，是学习线性代数时

　　应养成的一种重要习惯和素质.如果说与实际计算结合最多的是矩阵

　　的观点，那么向量的观点则着眼于从整体性和结构性考虑问题，因而

　　可以更深刻、更透彻地揭示线性代数中各种问题的内在联系和本质属

　　性.由此可见，只要掌握矩阵、方程组和向量的内在联系，遇到问题

　　就能左右逢源，举一反三，化难为易.

　　一、注重对基本概念的理解与把握，正确熟练运用基本方法及基

　　本运算。

　　线性代数的概念很多，重要的有：

　　代数余子式，伴随矩阵，逆矩阵，初等变换与初等矩阵，正交变

　　换与正交矩阵，秩（矩阵、向量组、二次型），等价（矩阵、向量组），

　　线性组合与线性表出，线性相关与线性无关，极大线性无关组，基础

　　解系与通解，解的结构与解空间，特征值与特征向量，相似与相似对

　　角化，二次型的标准形与规范形，正定，合同变换与合同矩阵。

　　我们不仅要准确把握住概念的内涵，也要注意相关概念之间的区

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　　别与联系。

　　线性代数中运算法则多，应整理清楚不要混淆，基本运算与基本

　　方法要过关，重要的有：

　　行列式（数字型、字母型）的计算，求逆矩阵，求矩阵的秩，求

　　方阵的幂，求向量组的秩与极大线性无关组，线性相关的判定或求参

　　数，求基础解系，求非齐次线性方程组的通解，求特征值与特征向量

　　（定义法，特征多项式基础解系法），判断与求相似对角矩阵，用正

　　交变换化实对称矩阵为对角矩阵（亦即用正交变换化二次型为标准

　　形）。

　　二、注重知识点的衔接与转换，知识要成网，努力提高综合分析

　　能力。

　　线性代数从内容上看纵横交错，前后联系紧密，环环相扣，相互

　　渗透，因此解题方法灵活多变，学习时应当常问自己做得对不对？再

　　问做得好不好？只有不断地归纳总结，努力搞清内在联系，使所学知

　　识融会贯通，接口与切入点多了，熟悉了，思路自然就开阔了。

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　　例如：设A是m×n矩阵，B是n×s矩阵，且AB＝0，那么用分

　　块矩阵可知B的列向量都是齐次方程组Ax＝0的解，再根据基础解系

　　的理论以及矩阵的秩与向量组秩的关系，可以有

　　r（B）≤n－r（A）即r（A）＋r（B）≤n

　　进而可求矩阵A或B中的一些参数

　　上述例题说明，线性代数各知识点之间有着千丝万缕的联系，代

　　数题的综合性与灵活性就较大，同学们整理时要注重串联、衔接与转

　　换。

　　三、注重逻辑性与叙述表述

　　线性代数对于抽象性与逻辑性有较高的要求，通过证明题可以了

　　解考生对数学主要原理、定理的理解与掌握程度，考查考生的抽象思

　　维能力、逻辑推理能力。大家复习整理时，应当搞清公式、定理成立

　　的条件，不能张冠李戴，同时还应注意语言的叙述表达应准确、简明。

　　篇二：线性代数学习总结

　　线性代数学习总结

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　　----------应化11王阳（2110904024）

　　时间真快，一转眼看似漫长的大一就这样在不知不觉中接近尾声。

　　纵观一年大学的学习和生活，特别是在线代的学习过程中，实在是感

　　慨颇多。在此，我就从老师教学和自身学习方面，谈谈自己的一点体

　　会。

　　老师在教学中，也应该以一些具体的实例入手来教学，如果脱离

　　了实际应用，只是讲抽象的概念和式子，是很难明白的，并且有实例

　　的对照，可以加深记忆理论知识。然后要注重易混淆概念的区别，必

　　要时应该拿出来单独讲讲，比如矩阵和行列式的区别，矩阵只是为了

　　计算线性方程而列的一个数据单而已，并无实际意义。而行列式和矩

　　阵有本质的区别，行列式是一个具体的数值，并且行列式的行数和列

　　数必须是相等的。其实老师在教学过程中，应该学会轻松一点，我不

　　希望看到老师在讲台上讲得满头大汗，而学生坐在下面听得云里雾里

　　的场面，这就需要老师能够精选一些内容讲解，不需要都讲，而其他

　　相关的内容让学生自己通过举一反三就得到就可以了。老师可以自己

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　　选一些经典的例子来讲，而不一定要讲书上的例子。然后对于例子中

　　的计算，老师就可以不用算了，多叫学生动动手，增加我们的积极性，

　　并且这样也更能发现问题。再就是线性代数的课时少，这是一个客观

　　存在的原因，所以更要精讲。而不需全部包揽。当然，若果能通过改

　　革，增加课时是最好不过了。这也算一点小小的建议吧。

　　再者，在自身学习过程中，我想说明的是，大学里的学习是不能

　　靠其他任何人的，只能靠自己，老师只是起到一个引导作用。所以教

　　材是我们最重要的学习资源，如果没有书本，就是天才也不可能学好。

　　总体看来，我们使用的课本题型简单易懂，非常适合初学者学习。但

　　它也有许多的不足之处，就个人在看这本教材时，觉得它举得实例太

　　少了，并且例子不太全面，本来线性代数是一门比较抽象的学科，加

　　上计算量大，学时少，所以要学好它，就只有靠自己在课余时间多加

　　练习，慢慢领悟那些概念性的东西。然后对于教材内容的侧重点，我

　　觉得应该放在线性方程组这一块，因为它是其他问题的引出点，不管

　　是矩阵，行列式，还是矩阵的秩和向量空间，都是为线性方程组服务

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　　的。我们对向量组的线性相关性的讨论，还有对矩阵的秩，向量组的

　　秩的计算，都是为了了解线性方程组的解的情况。在线性方程组的求

　　解过程中，我们运用了矩阵的行变换来求基础解系，当然这就相当于

　　求极大无关组。还有对线性相关和线性无关的讨论，这也关系到线性

　　方程组的解。所以在改革中，应该拿线性方程组为应用的实例，来一

　　步一步的解剖概念和定理。当然一些好的、典型的解题方法，也应该

　　用具体的例子来讲解，这是一本教材必须具备的。

　　当然在学习过程中，我们应该具备能够整体把握老师所讲重点的

　　能力，注意各个章节的联系。数学中的概念往往不是孤立的，理解概

　　念间的联系既能促进新概念的引入，也有助于接近已学过概念的本质

　　及整个概念体系的建立。如矩阵的秩与向量组的秩的联系：矩阵的秩

　　等于它的行向量组的秩，也等于它的列向量组的秩；矩阵行(列)满秩，

　　与向量组的线性相关和线性无关也有一定的联系。知识体系是一环扣

　　一环，环环相连的。前面的知识是后面学习的基础，如用初等变换求

　　矩阵的秩熟练与否，直接影响求向量组的秩及极大无关组，进一步影

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　　响到求由向量组生成的向量空间的基与维数；又如求解线性方程组的

　　通解熟练与否，会影响到后面特征向量的求解，以及利用正交变换将

　　二次型化为标准型等。因此，学习线性代数，一定要坚持温故而知新

　　的学习方法，及时复习巩固，为此，老师课前的知识回顾以及学生提

　　前预习是十分必要的。对于后来学的，应该多翻翻书看看前面是怎么

　　说的，往往前面学习的内容是为后面做铺垫的，所以在学了后面的知

　　识后，再看前面的知识，会对前面的知识有一个新的认识，会更好的

　　加深对它的理解和记忆。这一点上老师您做的很好。

　　然后对于书上花了很大的篇幅写的matlab实验，我觉得这是好

　　事，但是在教学中老师是不会教我们的，因为课时有限，这是情理当

　　中的，但是作为学生，我觉得应该好好地利用书上的资源，单靠做练

　　习的笔头功夫是难以解决实际问题的。

　　总的来说，在线代的学习过程中，老师你总是能够调节课堂的气

　　氛，让大家在开心的笑声中学习，并穿插着一些为人处事的道理，这

　　都将让我们在以后的生活和工作中受益匪浅。很高兴能在你的班上学

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　　习这门课，我想我会永远记住您那一个个宁人忍俊不禁的冷笑话。

　　篇三：学习线性代数的心得体会

　　学习线性代数的心得体会

　　线代课本的前言上就说：“在现代社会，除了算术以外，线性代

　　数是应用最广泛的数学学科了。”我们的线代教学的一个很大的问题

　　就是对线性代数的应用涉及太少，课本上涉及最多的只能算解线性方

　　程组了，但这只是线性代数很初级的应用。我自己对线性代数的应用

　　了解的也不多。但是，线性代数在计算机数据结构、算法、密码学、

　　对策论等等中都有着相当大的作用。

　　线性代数被不少同学称为“天书”，足见这门课给同学们造成的

　　困难。在这门课的学习过程中，很多同学遇到了上课听不懂，一上课

　　就想睡觉，公式定理理解不了，知道了知识但不会做题，记不住等问

　　题。我认为，每门课程都是有章可循的，线性代也不例外，只要有正

　　确的方法，再加上自己的努力，就可以学好它。

　　线代是一门比较费脑子的课，所以如果前一天晚上睡得太晚第二

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　　天早上的线代课就会变成“催眠课”。那么，就应该在第二天有线代

　　课时晚上睡得早一点。如果你觉得上课跟不上老师的思路那么请预习。

　　这个预习也有学问，预习时要“把更多的麻烦留给自己”，即遇到公

　　式、定理、结论马上把证明部分盖住，自己试着证一下，可以不用写

　　详细的过程，想一下思路即可；还要多猜猜预习的部分会有什么公式、

　　定理、结论；还要想一想预习的内容能应用到什么领域。当然，这对

　　一些同学有困难，可以根据个人的实际情况适当调整，但要尽量多地

　　自己思考。

　　一定要重视上课听讲，不能使线代的学习退化为自学。上课时干

　　别的会受到老师讲课的影响，那为什么不利用好这一小时四十分钟呢？

　　上课时，老师的一句话就可能使你豁然开朗，就可能改变你的学习方

　　法甚至改变你的一生。上课时一定要“虚心”，即使老师讲的某个题

　　自己会做也要听一下老师的思路。

　　上完课后不少同学喜欢把上课的内容看一遍再做作业。实际上应

　　该先试着做题，不会时看书后或做完后看书。这样，作业可以帮你回

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　　忆老师讲的内容，重要的是这些内容是自己回忆起来的，这样能记得

　　更牢，而且可以通过作业发现自己哪些部分还没掌握好。作业尽量在

　　上课的当天或第二天做，这样能减少遗忘给做作业造成的困难。做作

　　业时遇到不会的题可以

　　问别人或参考同学的解答，但一定要真正理解别人的思路，绝对

　　不能不弄清楚别人怎么做就照抄。适当多做些题对学习是有帮助的。。

　　线性代数的许多公式定理难理解，但一定要理解这些东西才能记

　　得牢，理解不需要知道它的证明过程的每一步，只要能从生活实际想

　　到甚至朦朦胧胧地想到它的“所以然”就行了。学习线代及其它任何

　　学科时都要静下心来，如果学习前“心潮澎湃”就拿出一两分钟时间

　　平静下来再开始学习。遇到不会做的题时不要去想“这道题我怎么又

　　不会做”等与这道题无关的东西，一心想题，这样解出来的可能性会

　　大很多。做完题后要想想答案上的方法和自己的方法是怎么想出来的，

　　尤其对于自己不会做的题或某个题答案给出的解法非常好且较难想

　　到，然后将这种思路“存档”，即“做完题后要总结”。

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　　线性代数作为一门数学，体现了数学的思想。数学上的方法是相通的。比如，考虑特殊情况这种思路。线性代数中行列式按行或列展开公式的证明就是从更简单的特殊情况开始证起；解线性方程组时先解对应的齐次方程组，这些都是先考虑特殊情况。高数上解二阶常系数线性微分方程时先解其对应的齐次方程，这用的也是这种思路。通过思想方法上的联系和内容上的联系，线性代数中的内容以及线性代数与高数甚至其它学科可以联系起来。只要建立了这种联系，线代就不会像原来那样琐碎。方法真的很难讲，而方法包含许多细节的内容很难讲出来甚至我都意识不到，但它们会对学习起很大的作用。我感觉“做完题要总结”，“上课想到老师前面”，“注重知识之间的联系”很重要。

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篇十六：新工科理念下的线性代数

P>　　课程名称：线性代数Ⅱ课程编码：7101211课程学分：3学分课程学时：48学时适用专业：经管学院二年级学生分层教学A层

　　《线性代数II》（A层）(LinearAlgebraII（A）)

　　教学大纲

　　一、课程性质与任务本大纲依照国家教委批准的高等工科学校《线性代数课程教学大体要求》及教育部考

　　试中心发布的《全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲》（数学一）制订而成。《线性代数Ⅰ》是高等工科学校教学打算中的一门基础课,为理工科专业开设。线性代

　　数中经常使用的公理化概念、特有的理论体系、严格的推理论证及抽象的思维方式都有它自身的特色，具有其他课程无法取代的作用，专门是随着运算机的飞速进展与普遍应用，许多实际问题能够离散化、线性化，并通过数值计算取得定量解决，于是，作为处置离散问题与线性问题的重要理论、方式和工具的线性代数，更进一步显示其特殊重要的地位，从而成为科学技术人材必备的数学基础。

　　解大型线性方程组、进行矩阵计算已成为科学技术人员常常碰到的问题，因此本课程所介绍的方式普遍地应用于各个学科，这就要求学生必需具有本课程的大体理论知识，并熟练地把握它的大体方式。

　　《线性代数Ⅰ》是以讨论线性方程组理论有限维线性空间理论为主的课程，具有较强的抽象性与逻辑性。通过本课程的学习，使学生的科学素养取得进一步的提高，而且取得应用科学中经常使用的行列式、矩阵、线性方程组等理论及其有关大体知识，并具有熟练的矩阵运算能力和用矩阵方式解决一些实际问题的能力，从而为学习后续课程及进一步扩大数学知识打下良好的数学基础。二、课程教学大体内容及要求

　　1、教学大体内容行列式的概念，明白得行列式的性质，明白得按行（列）展开定理，行列式的计算方式，矩阵的概念，单位矩阵、对角矩阵、对称与反对称矩阵的一些大体性质，矩阵的线性运算、乘法、转置及运算规律，逆矩阵的概念及其存在的充分必要条件，求逆矩阵的方式（伴随矩阵法、初等变换法），矩阵的初等变换，矩阵秩的概念，求矩阵秩的方式，分块矩阵及其运算，向量组的线性相关、线性无关概念，向量组的最大无关组，向量组的秩的概念，求最大无关组及向量组的秩的方式，n维向量空间、子空间、基、维数，克莱姆法那么，非齐次线性方程组有解的充要条件，齐次线性方程组有非零解的充要条件，线性方程组的基础解系、

　　通解等概念及解的结构，用初等行变换求线性方程组通解的方式，矩阵的特点值与特点向量的概念，相似矩阵的概念及性质，矩阵可对角化的充要条件，化实对称矩阵为对角阵的方式（正交变换法），正交变换与正交矩阵的概念及性质，线性无关的向量组正交标准化的方式，二次型的概念及二次型的矩阵表示，合同变换的概念，用正交变换化二次型为标准型的方式，惯性定理，二次型的秩，正定二次型的概念及其判别法那么，线性空间、子空间的概念，基、坐标的概念，基变换、坐标变换等概念

　　2、教学大体要求本课程内容要求的高低用不同辞汇加以区分：从高到低以“把握”、“明白得”、“了解”、三级区分；“会”或“能”相当于“了解”。（一）行列式(1)了解行列式的概念。(2)把握行列式的性质。(3)明白得按行（列）展开定理。(4)会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式。重点：行列式的计算方式难点：按行（列）展开定理（二）矩阵(1)明白得矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、对称与反对称矩阵的一些大体性质。(2)把握矩阵的线性运算、乘法、转置及运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质。(3)明白得逆矩阵的概念，把握逆矩阵的性质和矩阵可逆的充分必要条件，明白得伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵。(4)明白得矩阵初等变换的概念，了解矩阵的初等变换和初等矩阵及矩阵等价的概念，明白得矩阵的秩的概念，把握用初等变换求矩阵的逆矩阵和秩的方式。(5)了解分块矩阵及其运算。重点：矩阵的运算，求逆矩阵、矩阵秩的方式难点：分块矩阵及其运算（三）向量空间(1)了解向量的概念，把握向量的加法和数乘运算法那么。(2)明白得向量的线性组合与线性表示、向量组线性相关、线性无关等概念，把握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法。(3)明白得向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩。

　　(4)明白得向量组等价的概念，明白得矩阵的秩与其行（列）向量组的秩的关系。(5)了解线性空间、子空间的概念。(6)了解基、维数、坐标、标准正交基等概念。(7)了解基变换、坐标变换公式，会求过渡矩阵。

　　重点：向量组的线性相关性，求最大无关组及向量组的秩的方式,基、坐标的概念，基变换，坐标变换

　　难点：向量组的线性相关性,基变换，坐标变换（四）线性方程组(1)会用克莱姆法那么。(2)明白得非齐次线性方程组有解的充要条件及齐次线性方程组有非零解的充要条件。(3)明白得线性方程组的基础解系、通解及解空间等概念及解的结构。(4)把握用初等行变换求线性方程组通解的方式。重点：线性方程组的基础解系、通解等概念及解的结构，用初等行变换求线性方程组通解的方式难点：用初等行变换求线性方程组通解的方式（五）矩阵的特点值与特点向量(1)明白得矩阵的特点值与特点向量的概念，把握矩阵特点值的性质，把握求矩阵特点值和特点向量的方式。(2)明白得相似矩阵的概念及性质，了解矩阵可对角化的充要条件。(3)把握实对称矩阵的特点值和特点向量的性质。(4)把握化实对称矩阵为对角阵的方式（正交变换法）(5)明白得正交变换与正交矩阵的概念及性质。(6)了解内积的概念，把握线性无关的向量组正交标准化的方式。(7)了解标准正交基、正交矩阵的概念和它们的性质。重点：矩阵可对角化的充要条件，化实对称矩阵为对角阵的方式（正交变换法）难点：矩阵可对角化的充要条件（六）二次型(1)把握二次型及其矩阵表示，了解二次型秩的概念。(2)了解合同变换与合同矩阵的概念，会用合同变换化二次型为标准形。(3)了解二次型的标准形、标准形的概念和惯性定理。(4)把握用正交变换二次型为标准形的方式，会用配方式化二次型为标准形。(5)明白得正定二次型、正定矩阵的概念及其判别法那么。重点：用正交变换二次型为标准型的方式，正定二次型的概念及其判别法那么难点：惯性定理，正定二次型、正定矩阵的判别法那么

　　三、本课程与其它相关课程的联系与分工

　　本课程属基础理论课，自成体系。

　　四、实践性教学内容的安排与要求

　　无。

　　五、课程各篇章（节）学时分派

　　教学内容

　　讲课实验习题课

　　1．行列式

　　6

　　2．矩阵

　　6

　　2

　　3.向量空间

　　6

　　2

　　4.线性方程

　　6

　　2

　　5.矩阵的相似对角化

　　6

　　2

　　6.二次型

　　8

　　2

　　合计

　　48

　　六、本课程在课外练习方面的要求为保证达到本课程的教学目的和教学要求，必需布置适量的课外作业，原那么上可安排

　　28小时的课外作业。本课程有统一指定的作业，编写的作业练习册已由清华大学出版社出版发行，作业量为8次大体作业和6次提高作业，每次作业大约2个小时可完成。

　　七、本课程在利用现代化教学手腕方面的要求

　　本课程属基础理论课。为更充分地利用课时，加大课堂信息量，应适当利用多媒体教学

　　手腕。

　　八、教材及教学参考书

　　教材:《线性代数及其应用》，邹杰涛张杰主编，科学出版社，2021年8月。

　　参考书:《线性代数》，同济大学数学教研室编，高等教育出版社，2021年6月第六版。

　　《线性代数提高》，邹杰涛张杰主编，中国财政经济出版社，2020年10月。

　　九、本课程成绩的考核方式、成绩评定标准及其它有关问题的说明

　　按期考试和平常作业双向考查。采纳闭卷笔试，要求卷面内容覆盖本大纲80%以上。以

　　百分制评定成绩，平常成绩占30%，期末成绩占70%。

　　十、其它类别问题的说明

　　大纲撰写人：刘波

　　大纲审阅人：邹杰涛

　　系负责人：

　　张杰

　　学院负责人：李红梅

　　修订日期：2017年7月

　　课程名称：线性代数Ⅱ课程编码：7101211课程学分：3学分课程学时：48学时适用专业：经管学院二年级学生分层教学B层

　　《线性代数II》（B层）(LinearAlgebraII（B）)

　　教学大纲

　　一、课程性质与任务本大纲依照国家教委批准的高等工科学校《线性代数课程教学大体要求》及教育部考

　　试中心发布的《全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲》（数学一）制订而成。《线性代数Ⅰ》是高等工科学校教学打算中的一门基础课,为理工科专业开设。线性代

　　数中经常使用的公理化概念、特有的理论体系、严格的推理论证及抽象的思维方式都有它自身的特色，具有其他课程无法取代的作用，专门是随着运算机的飞速进展与普遍应用，许多实际问题能够离散化、线性化，并通过数值计算取得定量解决，于是，作为处置离散问题与线性问题的重要理论、方式和工具的线性代数，更进一步显示其特殊重要的地位，从而成为科学技术人材必备的数学基础。

　　解大型线性方程组、进行矩阵计算已成为科学技术人员常常碰到的问题，因此本课程所介绍的方式普遍地应用于各个学科，这就要求学生必需具有本课程的大体理论知识，并熟练地把握它的大体方式。

　　《线性代数Ⅰ》是以讨论线性方程组理论有限维线性空间理论为主的课程，具有较强的抽象性与逻辑性。通过本课程的学习，使学生的科学素养取得进一步的提高，而且取得应用科学中经常使用的行列式、矩阵、线性方程组等理论及其有关大体知识，并具有熟练的矩阵运算能力和用矩阵方式解决一些实际问题的能力，从而为学习后续课程及进一步扩大数学知识打下良好的数学基础。二、课程教学大体内容及要求

　　1、教学大体内容行列式的概念，明白得行列式的性质，明白得按行（列）展开定理，行列式的计算方式，矩阵的概念，单位矩阵、对角矩阵、对称与反对称矩阵的一些大体性质，矩阵的线性运算、乘法、转置及运算规律，逆矩阵的概念及其存在的充分必要条件，求逆矩阵的方式（伴随矩阵法、初等变换法），矩阵的初等变换，矩阵秩的概念，求矩阵秩的方式，分块矩阵及其运算，向量组的线性相关、线性无关概念，向量组的最大无关组，向量组的秩的概念，求最大无关组及向量组的秩的方式，n维向量空间、子空间、基、维数，克莱姆法那么，非齐次线性方程组有解的充要条件，齐次线性方程组有非零解的充要条件，线性方程组的基础解系、

　　通解等概念及解的结构，用初等行变换求线性方程组通解的方式，矩阵的特点值与特点向量的概念，相似矩阵的概念及性质，矩阵可对角化的充要条件，化实对称矩阵为对角阵的方式（正交变换法），正交变换与正交矩阵的概念及性质，线性无关的向量组正交标准化的方式，二次型的概念及二次型的矩阵表示，合同变换的概念，用正交变换化二次型为标准型的方式，惯性定理，二次型的秩，正定二次型的概念及其判别法那么，线性空间、子空间的概念，基、坐标的概念，基变换、坐标变换等概念

　　2、教学大体要求本课程内容要求的高低用不同辞汇加以区分：从高到低以“把握”、“明白得”、“了解”、三级区分；“会”或“能”相当于“了解”。（一）行列式(1)明白得行列式的概念。(2)明白得行列式的性质。(3)明白得按行（列）展开定理。(4)把握三、四阶行列式的计算方式，会计算简单的n阶行列式。重点：行列式的计算方式难点：按行（列）展开定理（二）矩阵(1)明白得矩阵的概念，了解单位矩阵、对角矩阵、对称与反对称矩阵的一些大体性质。(2)把握矩阵的线性运算、乘法、转置及运算规律。(3)明白得逆矩阵的概念及其存在的充分必要条件，把握求逆矩阵的方式（伴随矩阵法、初等变换法）。(4)把握矩阵的初等变换、初等矩阵，明白得矩阵秩的概念，把握求矩阵秩的方式。(5)明白得分块矩阵及其运算。重点：矩阵的运算，求逆矩阵、矩阵秩的方式难点：分块矩阵及其运算（三）向量空间(1)明白得向量组的线性相关、线性无关概念，并明白得有关的重要结论。(2)明白得向量组的极大无关组及向量组的秩的概念，把握求极大无关组及向量组的秩的方式。(3)了解线性空间、子空间的概念。(4)了解基、维数、坐标、标准正交基等概念。(5)了解基变换、坐标变换公式，会求过渡矩阵。重点：向量组的线性相关性，求极大无关组及向量组的秩的方式,基、坐标的概念，基变换，坐标变换

　　难点：向量组的线性相关性,基变换，坐标变换

　　（四）线性方程组

　　(1)明白得克莱姆法那么。

　　(2)明白得非齐次线性方程组有解的充要条件及齐次线性方程组有非零解的充要条件。

　　(3)明白得线性方程组的基础解系、通解等概念及解的结构。

　　(4)把握用初等行变换求线性方程组通解的方式。

　　重点：线性方程组的基础解系、通解等概念及解的结构，用初等行变换求线性方程组

　　通解的方式

　　难点：用初等行变换求线性方程组通解的方式

　　（五）矩阵的特点值与特点向量

　　(1)明白得矩阵的特点值与特点向量的概念。

　　(2)了解相似矩阵的概念及性质，明白得矩阵可对角化的充要条件。

　　(3)把握化实对称矩阵为对角阵的方式（正交变换法）

　　(4)了解正交变换与正交矩阵的概念及性质。

　　(5)了解线性无关的向量组正交标准化的方式。

　　重点：矩阵可对角化的充要条件，化实对称矩阵为对角阵的方式（正交变换法）

　　难点：矩阵可对角化的充要条件

　　（六）二次型

　　(1)了解二次型的概念及二次型的矩阵表示。

　　(2)了解合同变换的概念，会用合同变换化二次型为标准型。

　　(3)把握用正交变换二次型为标准型的方式。

　　(4)明白得惯性定理、二次型的秩。

　　(5)明白得正定二次型的概念及其判别法那么。

　　重点：用正交变换二次型为标准型的方式，正定二次型的概念及其判别法那么

　　难点：惯性定理，正定二次型的判别法那么

　　三、本课程与其它相关课程的联系与分工

　　本课程属基础理论课，自成体系。

　　四、实践性教学内容的安排与要求

　　无。

　　五、课程各篇章（节）学时分派

　　教学内容

　　讲课实验习题课

　　1.行列式

　　6

　　2.矩阵

　　6

　　2

　　3.向量空间

　　8

　　2

　　4.线性方程

　　4

　　2

　　5.矩阵的相似对角化

　　8

　　6.二次型

　　8

　　2

　　合计

　　48

　　六、本课程在课外练习方面的要求为保证达到本课程的教学目的和教学要求，必需布置适量的课外作业，原那么上可安排

　　16小时的课外作业。本课程有统一指定的作业，编写的作业练习册已由清华大学出版社出版发行，作业量为8次大体作业，每次作业大约2个小时可完成。

　　七、本课程在利用现代化教学手腕方面的要求为保证达到本课程的教学目的和教学要求，必需布置适量的课外作业，原那么上可安排

　　16小时的课外作业。本课程有统一指定的作业，编写的作业练习册已由清华大学出版社出版发行，作业量为8次大体作业，每次作业大约2个小时可完成。

　　八、教材及教学参考书

　　教材:《线性代数及其应用》，邹杰涛张杰主编，科学出版社，2021年8月。

　　参考书:《线性代数》，同济大学数学教研室编，高等教育出版社，2021年6月第六版。

　　《线性代数提高》，邹杰涛张杰主编，中国财政经济出版社，2020年10月。

　　九、本课程成绩的考核方式、成绩评定标准及其它有关问题的说明

　　按期考试和平常作业双向考查。采纳闭卷笔试，要求卷面内容覆盖本大纲80%以上。以

　　百分制评定成绩，平常成绩占30%，期末成绩占70%。

　　十、其它类别问题的说明

　　大纲撰写人：刘波

　　大纲审阅人：邹杰涛

　　系负责人：

　　张杰

　　学院负责人：李红梅

　　修订日期：2017年7月

篇十七：新工科理念下的线性代数

P>　　在交通电力运输通讯城市规划任务分配以及计算机辅助设计等诸多领域网络流模型得到广泛应用给工程问题的解决带来诸多便利一个网络由一个点集以及连接部分或全部点的直线或弧线构成大多数网络流模型中的方程组包含数百个线性方程要确定每一分支的流量就是解线性方程组利用矩阵的一些特性自然而然地引入线性方程组的相关知识点

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　　新工科背景下线性代数教学改革初探

　　作者：李清华葛君琰来源：《新课程研究·下旬》2019年第08期

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　　摘;要：“新工科”建设旨在培养多元化、创新型卓越工程人才，线性代数是培养工程人才的数学基础课程。文章介绍了“新工科”背景下线性代数教育教学现状，在分析大学生学习心理以及教学范式改革的基础上，针对培养学生理论联系实际的能力，提出将数学建模思想融入线性代数的现代教育理念和实践路径，并列举了创新性的数学建模思想融入线性代数教学的案例。

　　关键词：新工科;心理认知;数学建模思想;线性代数

　　作者简介：李清华，烟台大学数学与信息科学学院副教授，研究方向为模糊拓扑学、模糊凸结构等;葛君琰，烟台大学数学与信息科学学院学生。（山东烟台264000）

　　基金项目：本文系烟台大学2017年度教改项目“在应用型本科院校线性代数教学中融入数学建模思想的研究与探析”（编号：jyxm2017001）和2018年度山东省本科教改重点项目“新工科背景下线性代数教学改革的研究与实践”（编号：Z2018S049）的研究成果。

　　中图分类号：G642.0;;文献标识码：A;;文章编号：1671-0568（2019）24-0036-04

　　一、“新工科”建设及线性代数教学现状分析

　　“新工科”是基于国家经济发展进入新常态，高等教育迎来新挑战而提出的教育改革新方向，其目標是培养具有创新能力、高素质的适应经济产业发展的卓越工程人才。“新工科”建设要求提高教育教学质量，并提出新的质量标准，即工程人才培养质量要面向未来。新工科必须通过人才培养理念的升华、体制机制的改革以及培养模式的创新应对现代社会的快速变化和未来不确定的变革挑战。[1]

　　作为“新工科”建设的重要内容，线性代数课程作为普通高校理工、经济和管理等专业的一门基础数学必修课，对数学文化的普及、学生抽象思维的培养等具有不可替代的作用。随着我国经济发展进入新常态，线性代数已经广泛应用到金融、经济、信息等领域。

　　受传统教学习惯的影响，目前线性代数课程主要围绕知识信息的传授，对理论背后思想及其实际背景意义讲授较少。对于课时少、抽象难懂的线性代数教学而言，如何通过改进教学方法，激发学生学习兴趣，让学生能够轻松接受所学内容，并且能够运用其解决实际问题，为新工科建设发展打下坚实的基础显得尤为重要。

　　二、基于学习心理需求的教学模式改革

　　社会越来越关注教育质量，大学生学习行为的投入与学业成就息息相关，大学生学习心理是影响其学习的主要因素之一。大学生学习心理是指大学生在学习过程中受各种内在与外在的、智力与非智力因素影响或刺激而形成的心理反应。探究大学生的学习心理，对提高学生学习能力、改善教学方法具有重要作用。

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　　当前大学生学习方面出现了一些困扰问题，体现出复杂性、矛盾性、变化性、消极性的特点，主要表现在以下方面：①缺乏学习动机，学习目的不明确。学习动机过于功利化，只停留在满足愿望的层面。学习内容多关于社会实惠性、功利性方面，只是为了考试而学习，仍倾向于应试教育。②缺乏学习兴趣，对于学习内容最多只能应付考试，并不能将其应用到现实生活中。③学习内容浮浅，缺乏自学能力。受应试教育的影响，学生一味地等待教师灌输知识，缺乏自己动手探索新知识的精神。[2]

　　新工科背景下以培养人才为目的的线性代数教学改革，通俗而言是教学范式的根本转型，即从“知识传递型”教学转变为“知识建构型”教学。作为一种行为主义教学观的“知识传递型”教学，知识主要靠练习获得，教师的作用主要是传递知识，学生只是程序性地获得知识，学习动机主要靠外部强化;“知识建构型”教学是一种认知主义教学观，习得知识主要靠自主建构，学生要结合自身已掌握知识形成知识网络框架来获取新知识，教师的作用转变为引导学生建构知识。在科技发达、信息量巨大的当下，教育方式必须转变，才能适应新工科背景下应用型人才培养的新要求。因此，在新工科背景下，结合大学生的学习心理认知，将数学建模新思想融入线性代数中具有很强的实际意义。

　　三、数学建模思想与线性代数教学融合路径

　　理论联系实际，知识紧扣应用。数学建模不仅使学生掌握抽象的代数知识，还可以培养学生的运算能力和综合运用所学知识去分析、解决问题的能力，两者的融合可从以下三个路径开展：

　　1.结合实际问题，激发学生的学习兴趣。线性代数本质是实际问题抽象出来的数学语言，要想增强对这门课的理解就需要适当地回归到实际问题中，厘清每个概念定理的背景，自然而然地引入每个知识点。引入最新科技前沿的案例，引导学生挖掘线性代数的丰富内涵，让学生体会到线性代数的广泛应用，激发学生的学习兴趣，培养他们的实践应用能力。如在讲解矩阵的乘法时，可以结合图像的变换。随着电子科技的不断发展，图形的几何变换应用在动画片制作、仿真模拟设计、电子游戏开发等诸多领域，图形的平移、旋转、缩放等都能由矩阵实现，这能够让学生很好地理解矩阵乘法概念及其在实际生活中的用处;再如讲授矩阵的逆时，教师可以结合密码的编译，说明矩阵的破译过程就是求逆的过程，让学生深刻掌握这一概念。

　　2.通过模型建立，引入理论知识。在线性代数教学中融入数学建模思想，促进理论知识与实际问题的结合，利用讲解一道数学建模问题引出所学知识点，更加深了学生对知识点的印象与理解。例如，可以通过网络流模型引出线性方程组求解问题的讲解。在交通、电力、运输、通讯、城市规划、任务分配以及计算机辅助设计等诸多领域，网络流模型得到广泛应用，给工程问题的解决带来诸多便利，一个网络由一个点集以及连接部分或全部点的直线或弧线构成，大多数网络流模型中的方程组包含数百个线性方程，要确定每一分支的流量就是解线性方程组，利用矩阵的一些特性，自然而然地引入线性方程组的相关知识点。

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　　3.加强建模训练，培养动手能力。仅仅通过教师的讲解，学生可能只是一时豁然开朗，并不能自己去解决实际问题，还需多加训练。因此，课后作业可以不再只布置一些与考试有关的内容，而应增加学生自主学习的机会，布置一些贴近生活实际的问题，让学生自主动手动脑研究思考，课上交流心得收获，并鼓励学生充分利用现代科技软件进行数学建模分析研究，最终达到学生思维活跃敏捷、动手能力强的效果。

　　四、“新工科”背景下线性代数教学案例

　　数学建模思想融入教学是利用数学建模思想来解决数学问题，即将问题简化，根据简化后的问题寻找基本规律，在对客观规律进行分析后，通过表象发现本质，提高学生运用知识的能力。以应用实例来说明。

　　1.数学建模思想在矩阵计算方面的应用。计算机网络技术快速发展，信息化以及网络数据化已经是大势所趋。上网者主要靠搜索引擎获取信息，获得满意结果的背后主要是PageRank算法在起作用，PageRank算法的搜索结果主要按照网页的重要性来排序，可以通过网页的投票数这一概念来界定网页的重要性，网页投票数可以理解为网页的链接数。PageRank的核心思想是：①若某一网页的投票数即链接网页多就说明这个网页相对重要，即PageRank值较高;②网页的pagerank值会随着链接到其他网页的pagerank值大小变化而变化。简而言之，通过PageRank可以大体计算上网者在各个网页上的概率，上网者先随机打开一个网页，然后在网页上的跳转满足随机性。现假定网页链接是一个有向图，网页是结点，网页间的链接用箭头表示，如图1所示：

　　求上网者最终在网页1，2，3，4上的概率。

　　（1）模型假设。

　　①假设可访问网页总数为[n]，网页[W]能链接到[m]个网页，网络链接矩阵定义为[P=pij∈Rn×n]，其中

　　[Pij=1m，若网页j有一链接跳转到网页i0，否则（i，j=1，2，3，4）]

　　②假设网页W的投票数越多，则网页W越重要;

　　③假设指向网页W的质量越高，则W越重要。

　　（2）模型建立：

　　本例中含有4个网页，假设上网者目前在浏览网页1，则此上网者分别有[13]的概率链接到网页2，3，4，其中[13]中的分母3表示网页1可链接到其他3个网页，即若一个网页能连接到m个网页，则随机转到其他任一网页的概率为[1m]，其他网页的跳转概率也可由此方法得到，由此可得上图对应的转移矩阵为：

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　　[P=0;12;1;013;0;0;1213;0;0;121312;0;0]

　　（3）模型求解。

　　初始时上网者在每一网页的概率假设相等即为[1n]，所以最开始的概率分布为所有值都为[1n]的n维列向量，此例中列向量[Q0=14141414]，则可通过公式[Q1=PQ0]得到跳转一次后的概率分布向量[Q1]：

　　[Q1=PQ0=][0;12;1;013;0;0;1213;0;0;121312;0;0][14141414]=[924524524524]

　　可见[Pij≠0]表示有一链接从网页j指向网页i，则[q11]表示所有网页到网页1的概率为[924];以此类推，可以求出跳转任意次的概率分布向量，当跳转无穷次时[Q]会收敛，即[Qn=PQn-1]，通过不停地迭代，最终可以得到

　　[Q=][39292929]

　　即最终上网者停留在网页1的概率为[39]，在网页2，3，4的概率为[29]。

　　此例讲解的是最简单的PageRank模型，让学生初步了解了搜索引擎背后的原理，在今后的学习中能够知道所学习的矩阵的用处，灵活运用理论知识。PageRank算法还可运用在城市交通轨道站点选址、基础网络设计等问题中，可提高选址的准确性与有效性。

　　2.数学建模思想在逆矩阵方面的应用。在科技发达、信息技术不断发展的今天，信息安全问题时有发生，保密通信工作提上日程，保密通信模型是实现信息安全的一种有效方法。矩阵是线性代数课程中的重要内容，是工科中常用的有效工具，其在保密通信模型中有着突出贡献。下面主要介绍融入数学建模思想的可逆矩阵加密技术。[3]

　　（1）保密通信数学模型。保密通信模型的两个重要组成部分是发送方的明文串和接收方的密文串，加密信息传输过程主要包括发送方将需要传输的信息通过某种自定义算法转换成密文发送给接收方，经过相应的算法，接收方再将接收到的密文转换为明文信息。简要的通信技术模型如图2：

　　显然要使信息传输有效，密文串必须能被翻译成明文串。假设明文串数据接收方未知为X，密文矩阵为A，有方程[A=BX]，可见[B]为发送方向接收方传送信息的加密矩阵，若[B]可逆方程组有唯一解，[B-1]为接收方的解密矩阵，这样接收方就可通过[X=B-1A]获得明文信息。又由矩阵的乘法可知，要想求出结果，左边矩阵的列数必须等于右边矩阵的行数，所以在设计加密矩阵[B]时应注意此规则。

　　（2）保密通信数学模型的应用案例。在某次机密谈判中，假设甲方需将明文good加密发出，可将26个英文字母分别与数字1-26一一对应，并且双方假定加密矩阵为：[B=1;21;1]。

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　　甲方要发出去的明文转换为代码分别为7，15，15，4，根据矩阵乘法原则及加密矩阵的阶数，确定明文矩阵为[X=7;1515;4]，再根据矩阵方程[A=BX]，得密文矩阵[A]：

　　[A=BX=1;21;27;1515;4=37;2322;19]，

　　也就是最终明文信息以数字代码37，22，25，19发出。

　　当乙方收到密文矩阵时，可以利用双方协定好的加密矩阵[B-1=-1;21;-1]获取有用信息明文矩阵[X]：

　　[X=B-1A=-1;21;-137;2322;19=7;1515;4]

　　将明文矩阵代码转换为英文即为good，乙方在不失信息安全的情况下获得了双方约定的有用信息。

　　而此处又有

　　[AB-1=37;2322;19-1;21;-1=14;51-325]

　　此密文串无法转换成原来的明文串good，也就说明[B-1A]与[AB-1]的表达意义并不一样。

　　通过以上保密通信数学模型的讲解，让学生进一步巩固了矩阵乘法的运用，又学到了有关矩阵的逆的相关概念;同时有[AB-1≠AB-1]，可以让学生清晰地掌握求解矩阵方程组时要注意是左乘还是右乘，以及矩阵的乘法不满足交换律。在满足学生学习兴趣的同时，结合现代社会需求，让学生通过一个模型掌握了线性代数中多个重要的知识点。

　　基于培养学生知识应用能力，将数学建模思想融入线性代数教学的改革，順应“新工科”建设培养创新型、应用型高素质人才的诉求。本研究结合大学生学习心理的研究，给出了符合时代发展要求的创新型案例，旨在培养学生对数学的学习兴趣，锻炼学生理论联系实际的能力，让学生能够真正运用所学知识分析、解决现实问题，养成良好的分析问题、解决问题的习惯，使工科学生能够得心应手地运用数学知识解决自己学科领域的问题。本文中给出的案例也只是基础性的，在线性代数课程中融入数学建模思想的教学改革仍处在探索阶段，还需要更加深入的实践研究。

　　参考文献：

　　[1]钟登华.新工科建设的内涵与行动[J].高等工程教育研究，2017，（3）：1-6.

　　[2]杜允.大学生学习心理研究述评[J].南阳师范学院学报，2012，11（11）：101-103+107.

　　[3]张新文，王佳.基于可逆矩阵加密技术的保密通信数学模型[J].西南师范大学学报（自然科学版），2017，42（2）：166-170.

　　责任编辑;陈;佩

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篇十八：新工科理念下的线性代数

P>　　首先明确它是一个n阶方阵它的秩是n它便是满秩矩阵它所对应的n阶行列式不等于零那么n维向量便线性无关还有这个方阵是可逆方阵并且可以想到它的转置矩阵也是可逆的?还有一点在线性代数的学习过程中有些定理或推论是没有必要去背的因为它们就是另外某个定理的特殊情况只要我们稍微思考一下完全可以自己概括没有必要多记几个来增加自己的记忆负担

　　沈阳药科大学选修课结课论文

　　沈阳药科大学

　　浅谈学习线性代数的心得体会

　　学校:沈阳药科大学

　　姓名:***

　　学号:********

　　专业:药物制剂

　　年级:2010级

　　班级:03班

　　一、内容摘要

　　线性代数是一门较抽象的数学课程,但是线性代数除了其抽象之外还具有另外一个重要的特点:“实用性”,由于计算机的飞速发展和广泛应用,线性代数已成为越来越多的科技工作者必不可少的数学工具。掌握线性代数的基本概念、基本理论与基本方法,为解决工科各专业的实际问题,为进一步学习相关课程及扩大数学知识都将奠定必要的数学基础。

　　在初步学习了高等数学这门课程后,里面涉及了一些线性代数的求解方法,听老师说,某些题目用线性代数的方法求解更容易,但是由于我们还未系统的学习这门课程,老师也是一带而过,并未深讲。致使我对线性代数这门学科有了浓厚的兴趣,在首先简单了解了这门学科的背景后,发现线性代数是一门丰富多彩充满未知的科学,在看到学校开设了这门课程的选修课后,我义无反顾的叫我们全寝室的人都选修了这门奇妙的课程。

　　学习线性代数的初步感受就是它的概念多,推理论证多,基本理论与结论多,线性代数在内容上,思想方法上及论证方法上都与“高等数学”有所区别。它具有较强的逻辑性和抽象性,一开始就要高度重视。它又与中学所学的代数有一定的联系,所以有些内容并不是完全陌生的。

　　我相信只要我每节每章地,一步一个脚印的弄懂、弄通,记住有关的概念和结论,并通过反复的应用(练习)来掌握它,循序渐进掌握这门课程是容易的。

　　关键词:数学线性代数背景应用计算方法感受

　　二、绪论

　　2.1线性代数的发展史

　　由于费马和笛卡儿的工作,线性代数基本上出现于十七世纪。直到十八世纪末,线性代数的领域还只限于平面与空间。十九世纪上半叶才完成了到n维向量空间的过渡,矩阵论始于凯莱,在十九世纪下半叶,因若当的工作而达到了它的顶点。1888年,皮亚诺以公理的方式定义了有限维或无限维向量空间。托普利茨将线性代数的主要定理推广到任意体上的最一般的向量空间中。线性映射的概念在大多数情况下能够摆脱矩阵计算而引导到固有的推理,即是说不

　　依赖于基的选择。不用交换体而用未必交换之体或环作为算子之定义域,这就引向模的概念,这一概念很显著地推广了向量空间的理论和重新整理了十九世纪所研究过的情况。

　　“代数”这一个词在中国出现较晚,在清代时才传入中国,当时被人们译成“阿尔热巴拉”,直到1859年,清代著名的数学家、翻译家李善兰才将它翻译成为“代数学”,之后一直沿用。

　　2.2线性代数在数学中的地位

　　线性代数是讨论矩阵理论、与矩阵结合的有限维向量空间及其线性变换理论的一门学科。①性代数在数学、力学、物理学和技术学科中有各种重要应用,因而它在各种代数分支中占

　　居首要地位。

　　②计算机广泛应用的今天,计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、虚拟现实等技术无不

　　以线性代数为其理论和算法基础的一部分。

　　③线性代数这门学科所体现的几何观念与代数方法之间的联系,从具体概念抽象出来的公理

　　化方法以及严谨的逻辑推证、巧妙的归纳综合等,对于强化人们的数学训练,增益科学智能是非常有用的。

　　④随着科学的发展,我们不仅要研究单个变量之间的关系,还要进一步研究多个变量之间的

　　关系,各种实际问题在大多数情况下可以线性化,而由于计算机的发展,线性化了的问题又可以计算出来,线性代数正是解决这些问题的有力工具。

　　2.3课程主要内容

　　㈠行列式

　　①阶与三阶行列式的计算——对角线法则

　　例:解线性方程组

　　解:由于方程组的系数行列式

　　⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-++-=+-.0,132,22321321321xxxxxxxxx1113121

　　21----=D()111-⨯⨯=()()()132-⨯-⨯-+121⨯⨯+()

　　111-⨯⨯-()()122-⨯⨯--()131⨯-⨯-5-=,

　　0≠

　　同理可得

　　故方程组的解为:②全排列及其逆序数

　　例:用两种方法求排列16352487的逆序数。

　　解:方法116352487

　　方法2由前向后求每个数的逆序数。

　　③n阶行列式的定义:n阶行列式(定义1)设有n^2个数,排成n行n列的表,作出表中

　　位于不同行不同列的n个数的乘积,并冠以符号(-1)t,的形式如下的项,其中为自然数1,2,...,n的一个排列,t为这个排列的逆序数.由于这样的排列共有n!个,这n!项的代数和称为n阶行列式。

　　④对换的定义:在排列中,将任意两个元素对调,其余元素不动,这种作出新排列的手续叫

　　做对换。将相邻两个元素对调,叫做相邻对换。

　　⑤行列式的性质及应用

　　⑥克拉默法则的应用

　　㈡矩阵

　　①矩阵及矩阵的运算

　　②逆矩阵的概念和性质及其求法

　　③分块矩阵的运算法则

　　④矩阵的初等变换及消元法

　　⑤线性方程组的解例求解齐次线性方程组解:对系数矩阵A实施初等行变化13122rrrr--1103111

　　221----=D,5-=1013121212----=D,10-=0

　　1111

　　22213---=D,5-=,111==DDx,222==DDx.133==DDx01012130+++++++=t8=.

　　810231100=+++++++=t.

　　034022202432143214321⎪⎩⎪⎨⎧=---=--+=+++xxxxxxxxxxxx⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=341122121221A⎪⎪⎪⎭

　　⎫⎝⎛------463046301221⎪⎪⎪⎪⎭

　　⎫⎝⎛0000342101221⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000034210

　　35201

　　即得与原方程组同解的方程组由此即得⑥初等矩阵的概念及其应用

　　㈢N维向量

　　①N维向量的概念及其表示方法

　　②向量组线性相关性的概念及判定

　　③向量组的秩与矩阵的关系

　　④向量空间的概念及其基与维数

　　⑤线性方程组的解的结构

　　㈣相似矩阵与二次型

　　①矩阵的特征值与特征向量及其求法

　　②相似矩阵及其性质

　　③矩阵对角化的充要条件及其方法

　　④实对称矩阵的相似对角矩阵

　　⑤二次型及其矩阵表示

　　⑥线性无关的向量组正交规范化的方法

　　⑦正交变换与正交矩阵的概念及性质

　　⑧用正交变换化二次型为标准形

　　⑨用配方法化二次型为平方和,二次型的规范形212rr-)3(22

　　3-÷-rrr⎪⎪⎩

　　⎪⎪⎨⎧=++=--,0342,0352432431xxxxxx⎪⎪⎩

　　⎪⎪⎨⎧--=+=,342,352432431xxxxxx).可任意取值,(43xx形式,把它写成通常的参数,令

　　2413cxcx==⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==--=+

　　=,,,342,3522413222221cxcxccxccx.1034350122214321⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛∴ccxxxx

　　⑩惯性定理、二次型的秩、二次型的正定性及其判别

　　三、心得体会

　　从素未谋面到一知半解,或许将来会有相见恨晚。总之到现在为止,经过将近一个30个学时的学习,我对线性代数有了一些小小的感想。

　　首先,我从一些资料了解到线性代数是数学的一个分支,它的研究对象是向量,向量空间,线性变换和有限维的线性方程组。向量空间是现代数学的一个重要课题;因而,线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中;通过解析几何,线性代数得以被具体表示。线性代数的理论已被泛化为算子理论。由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型,使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。

　　其次,通过查阅资料、阅读课本及其目录,我知道了线性代数的主要内容是研究代数学中线性关系的经典理论。由于线性关系是变量之间比较简单的一种关系,而线性问题广泛存在于科学技术的各个领域,并且一些非线性问题在一定条件下,可以转化或近似转化为线性问题,因此线性代数所介绍的思想方法已成为从事科学研究和工程应用工作的必不可少的工具。尤其在计算机高速发展和日益普及的今天,线性代数作为高等学校工科本科各专业的一门重要的基础理论课,其地位和作用更显得重要。

　　而线代不同于高等数学的是,它几乎从一开始就是一个全新的概念,至少给我的感觉是这样。我们都知道,线性代数研究的范围通常都不是我们能想象到的二维空间,而是上升到n

　　维空间,并且在线性代数的学习过程中,我们几乎都是跟一些新的概念,新的定理打交道,因此理解和记忆起来有相当大的困难,常常是花很久的时间还是理解不了。

　　给我们上课的姜老师对细节的要求比较高,他会时不时询问学生对知识的理解情况,经常会多次讲解,这真的是一个好现象。不过说实话,由于课时的限制,老师不可能把所有东西都讲解得很透彻,尽管老师尽力讲解了,可每次上完课我仍会有些许疑惑。

　　第一堂课,姜老师介绍过,线性代数主要研究了三种对象:矩阵、方程组和向量。这三种对象的理论是密切相关的,大部分问题在这三种理论中都有等价说法。因此,熟练地从一种理论的叙述转移到另一种去,是学习线性代数时应养成的一种重要习惯和素质。如果说与实际计算结合最多的是矩阵的观点,那么向量的观点则着眼于从整体性和结构性考虑问题,因而可以更深刻、更透彻地揭示线性代数中各种问题的内在联系和本质属性。

　　俗话说得好:“学而不思则罔”。记得姜老师说过,当给你一个信息的时候,尤其是一些不

　　太明显的信息,你要能立刻理解它的内涵,也就是说能够马上联想到与它等价的一些信息。比如说,告诉你一个矩阵是非奇异矩阵,它包含的信息有:首先明确它是一个n阶方阵,它的秩是n,它便是满秩矩阵,它所对应的n阶行列式不等于零,那么n个n维向量便线性无关,还有这个方阵是可逆方阵,并且可以想到它的转置矩阵也是可逆的•,还有一点,在线性代数的学习过程中,有些定理或推论是没有必要去背的,因为它们就是另外某个定理的特殊情况,只要我们稍微思考一下,完全可以自己概括,没有必要多记几个来增加自己的记忆负担。比如说向量组的线性相关性的定理6的推论2:“当m>n时,m个n维向量一定线性无关”,看过定理

　　6后你会觉得这完全就是废话嘛,所以要善于总结提高效率。再有就是在记忆一些定理概念的时候,不一定非得按原文记忆,我们可以按照自己的理解来记忆。在学习线性代数的过程中,联想和思考是非常重要的,通过联想和思考,把学过的知识点串起来,深化理解,我们才能把线性代数学得更好。

　　到现在为止,我们的线性代数课程已经快接近尾声了,但是我相信大多数同学跟我一样只感受到了线性代数的较强的逻辑性和超强的抽象性,对于所谓的广泛的实用性,并没有太深刻的体会。说得更加“肤浅”一点,从我们的专业相关性来说,我们并不是很清楚线性代数对我们今后的专业学习有多大的帮助,我想这是许多学生对线性代数的学习热情不高的原因之一吧。事实也是这样,工科学生的线性代数课本跟理科学生是不一样的,最明显的区别就是我们工科课本中没有与实际应用相关的问题,都是一些计算证明题,老师在授课的过程中也没怎么提及。不过我想这是因为对我们的要求有所不同吧,毕竟连基本概念都难以理解完全,又怎么谈得上应用呢,不管怎么说都得先把基础打好吧。

　　开设任何一门学科都有它自己的作用,通过学习它们,我们可以培养各种各样的能力,我相信只要抱着一颗热爱的心认真去学,不管结果怎么样,我们都是收获的。

　　四、参考文献

　　1.《线性代数》——百度百科

　　2.吉志明数学--不仅仅需要逻辑-大学数学-2003,19(5)

　　3.吴耀强关于理工科大学生数学创造性思维培养之探究-大学数学-2007,23(5)

　　4.同济大学数学教研室编.线性代数(第三版).北京:高等教育出版社

　　5.姜希伟《线性代数》教学课件

篇十九：新工科理念下的线性代数

P>　　将线性代数与计算机应用结合起来既激发了学生学习线性代数的积极性又培养了学生的动手实践能线性代数在密码学中的应用在早期密码研究中有直接利用矩阵作为密码表的比如将26个字母放在以下5这样每个字母就对应了两个字符分别是其所在的行数和列数如对应32对应44等如果接受的密文为3215424254132342244344321143则对应的明文即为merrychristmas

　　线性代数与理工科专业的联系

　　作者：薛艳梅郑柏超来源：《科技创新导报》2014年第26期

　　薛艳梅1郑柏超2

　　(1.南京信息工程大数学与统计学院江苏南京210044;2.南京信息工程大学信息与控制学院江苏南京210044）

　　摘要：线性代数是理工科专业的基础课程之一，但学生对其在专业课中的应用知之甚少。该文分别以线性代数在计算机、密码学、力学中的应用为例，具体分析线性代数在专业课学习的重要作用，以培养学生学习及应用线性代数的兴趣与意识。

　　关键词：线性代数计算机密码学力学

　　中图分类号:G642文献标识码：A文章编号：1674-098X（2014）09（b）-0220-01

　　线性代数是高等院校理工科以及经济管理类学生的必修基础课，其在开课面之广、影响和重视程度上仅次于高等数学，它具有较强的逻辑性、抽象性以及广泛的实用性。通过两年的线性代数教学工作，我主要有以下体会。

　　学生普遍反映线性代数较之高等数学更抽象，内容更枯燥，不容易理解，更不清楚学习线性代数的目的。这导致学生失去主动学习的热情和动力，多数学生纯粹为了考试而勉强学习，学了那么多理论，考完试搁置不用，实在很浪费。当然，这也不能全归责于学生，究其原因，主要有以下两点：一方面，从教材来考虑，大多线性代数教材均是以理论知识为主，很少列举一些与实际生活或专业相联系的例子，也就是太数学化了。另一方面，从教师角度来考虑，讲授线性代数的老师大多来自数学专业，数学功底都不错，但由于一些工程背景、知识面及课时的限制，大多数老师也只是传授课本上的数学知识，这样不能很好地引导学生学习的主动性，从而达不到好的教学效果。因此教师首先要拓宽自己的知识面，积极探索总结一些与线性代数相关的应用实例。这样为不同专业讲授本门课程时，可以多列举一些与其专业相关的例子。例如可以为经济学专业学生讲解一些生产成本投入产出的例子，为信息工程专业学生多讲解信息编码、编程的例子。在计算机广泛应用的今天，线性代数的理论知识为计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、力学等奠定了很好的基础。该文主要以线性代数在计算机、密码学、力学中的应用为例，分析了线性代数在专业知识中的应用，从而让学生更深入的了解线性代数的应用价值，进一步培养学生学习及应用线性代数的兴趣与意识。

　　1线性代数在计算机中的应用

　　高教司曾用“用MATLAB和建模实践改造工科线性代数”项目的总目标就是推广线性代数与科学计算的结合，因此将线性代数与计算机计算结合起来是非常有必要的。计算机可以解决线性代数的一些难题而线性代数可以为计算机编程。特别是我们最常用的一种数学软件——Matlab软件，该软件具有强大的数值计算功能。例如把方程的阶次提高到3元以上时，计算步骤有可能会十分繁琐，如果将线性代数的计算应用到计算机里面则会节省很多时间。例如，WassilyLeontief教授把美国经济用500个变量的500个线性方程组描述，而后又把系统简化为42个变量的42个线性方程，经过几个月的编程，并利用当时的计算机运行了56个小时才求出其解。如果手算的话估计花费几倍的时间都不止，这体现了线性代数在计算机中强大的应用价值。将线性代数与计算机应用结合起来，既激发了学生学习线性代数的积极性，又培养了学生的动手实践能力。

　　2线性代数在密码学中的应用在早期密码研究中，有直接利用矩阵作为密码表的，比如将26个字母放在以下5乘5的矩阵里

　　这样，每个字母就对应了两个字符——分别是其所在的行数和列数，如对应32，对应44等，如果接受的密文为3215424254132342244344321143，则对应的明文即为MerryChristmas。该加密方法简单直接，但也容易攻破。现行的加密算法则是建立在早期加密算法基础之上，大致可以归结为对明文代表的数据进行变换，比如置换、轮换、线性变换等。这样经过变换之后的算法更复杂，不容易攻破。我们举一个简单的例子，把英文字母用一个整数来表示，然后传送这组整数。这种方法是很容易根据数字出现的频率来破译，例如出现频率特别高的数字，很可能就对应于字母E。而我们可以用矩阵的乘法来进行加密。例如整数矩阵的行列式等于，则的元素也必定是整数。而经过如此变换过的消息，同样两个字母对应的数字不同，所以就较难破译。接收方只需将这个消息乘以就可以复原。当然还有在线性代数的基础上采用更复杂的加密算法，该文不再赘述。

　　3线性代数在力学中的应用在现代生产和日常生活中，机械已成为代替和减轻人类劳动、提高劳动生产率的主要手段。而在机械工程领域中经常会遇到复杂的线性方程组的数值求解问题。例如机器人机构树状解和设计方案的多解问题等。并且线性方程可以作为一种定量尺度，广泛用于设计或选择钢种，制定或修订标准、控制熔炼成分等方面。这在机械工程领域中起着十分重要的作用。4结语在当前的信息化时代，我们尤其要注重学生能力与实践意识的培养，而线性代数作为理工科的基础课程之一，它的重要性是毋庸置的。因此，在线性代数的教学中，我们要尽量和学生的专业课相结合，使线性代数的知识更通俗易懂，以提高学生学习的积极性和主动性，真正做到学以致用。参考文献[1]同济大学数学系.工程数学线性代数[M].5版.北京：高等教育出版社,2007.[2]李家,李援南.线性代数在密码学中的应用[J].北京电子科技学院学报,2013,21(4):74-79.[3]李艳晓,邵玉丽.线性代数在理工科专业课中的应用[J].数学学习与研究,2014(1).

　　[4]王海侠,孙和军,王青云.改进线性代数教学方法的几点想法[J].高等数学研究,2010,13(6):13-15.

　　[5]王利东,刘婧.从应用实例出发的线性代数教学模式探讨[J].数学教育学报,2012,21(3):83-85.

　　[6]马朝忠,邓西云.突出应用背景知识介绍彰显线性代数实用特性[J].中国科教创新导刊,2012(35):113.

　　[7]汤燕.矩阵在密码学中的应用[J].科教文汇,2010(8):83-84.

　　[8]李尚志.线性代数精彩应用案例(之一)[J].大学数学,2006,22(3)：1-8.

　　[9]陈怀琛.线性代数要与科学计算结成好伙伴[J].大学数学,2010,26(1):28-34.

　　[10]社,2007.

　　陈怀琛.MATLAB及其在理工课程中的应用指南[M].西安:西安电子科技大学出版

篇二十：新工科理念下的线性代数

P>　　线性代数课程的教学反思和改革探索

　　王爱法;王丽丽;赵振华

　　【期刊名称】《科教文汇》

　　【年(卷),期】2017(000)019

　　【摘要】线性代数课程是高校理工科以及大多数专业的重要理论必修课,随着信息时代的到来和科学技术的飞速发展,线性代数课程对近代科学技术的影响愈加重要,它在培养学生的数学逻辑思维方面、提高学生数值计算方面的作用是不可替代的.本文首先对当下线性代数的课程教学进行了教学反思,进而结合教学经验和实践,探讨了新的人才培养模式下如何进行线性代数课程的教学改革,给出了线性代数课程改革的定位和改革思路.

　　【总页数】2页(P45-46)

　　【作者】王爱法;王丽丽;赵振华

　　【作者单位】重庆理工大学理学院重庆400054;重庆理工大学理学院重庆400054;重庆理工大学理学院重庆400054

　　【正文语种】中文

　　【中图分类】G642

　　【相关文献】

　　1.地方性高校线性代数课程教学反思和改革设想r——以玉林师范学院为例[J],凌征球;王培;马国栋;曾夏萍;覃思乾2.开放大学课程教学模式改革探索与实践——以线性代数在线开放课程为例[J],

　　李斌;范昌胜3.新工科背景下线性代数课程教学改革探索[J],杨赟;许丙胜4."新工科"建设背景下线性代数课程教学改革探索[J],马晓玢;陆芳龄;杨静5.“新工科”建设背景下线性代数课程教学改革探索[J],马晓玢;陆芳龄;杨静

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