谈数学建模的重要性

【摘要】数学建模是联系数学与实际问题的桥梁，是解决科学工程、经济、管理等实际问题的一种强有力的数学工具。可将杂乱无章的实际问题抽象为一个数学问题，从而通过数学的方法去得到所需的答案。本文举例：“工程的沉降计算”、“人力资源管理”、“创造思维”、“红绿灯时间差与减肥的数学模型”，只是实际生活、工作中的点滴。

【关键词】数学建模；工程计算；人力奖源管理

Discusses mathematics modelling the importance

HUANG Pei-hong

【Abstract】mathematics modelling is relates mathematics and the actual problem bridge，is the solution scientific project，the economy，the management and so on actual problem one powerful mathematical instrument.May the chaotic actual problem Abstract be a mathematics question，thus obtains the answer which through mathematics method needs.This article gives an example： “the project subsidence computation”，“human resources management”，“the creation thought”，“the traffic light time difference with the mathematical model which loses weight”，is only in the practical life，the work intravenous drip.

【Key word】mathematics modelling；Engineering calculation；Manpower prize source management

【中图分类号】：O22 【文献标识码】：B

【文章编号】：1009-9646(2008)03-0091-05

马克思说过，一门科学只有成功地运用数学时，才算达到了完善的地步。

数学，作为一门研究现实世界数量关系和空间形式的科学，在它产生和发展的历史长河中，一直是和人们生活的实际需要密切相关的。作为用数学方法解决实际问题的数学建模，自然有着与数学同样悠久的历史。两千多年以前创立的欧几里德几何，17世纪发现的牛顿万有引力定律，都是科学发展史上数学建模的成功范例。进入20世纪以来，随着数学以空前的广度和深度向一切领域渗透，以及电子计算机的出现与飞速发展，数学建模越来越受到人们的重视。

数学建模是联系数学与实际问题的桥梁，是数学在各个领域广泛应用的媒介，是数学科学技术转化的主要途径，因此数学建模已成为数学界、工程界和现代科技工作者必备的重要能力之一。

从科学、工程、经济、管理等角度看，数学建模就是用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并“解决”实际问题的一种强有力的数学工具。下面列举一些例子来看数学建模在现实世界中的重要意义。

1 在一般工程技术领域，数学建模大有用武之地

例1、工程的沉降计算

(1) 问题的提出：由于土的压强或地壳的流动变化，建在土上的建筑物将产生沉降。沉降的大小及均匀性危及建筑物的安全和正常使用。建筑物的沉降特征决定于上部结构与地基的相互作用。

如建筑工程地基的沉降即建筑物某点的下沉值。刚性建筑，当土层均匀时实测沉降一般比较均匀。计算沉降宜用多点计算值取其平均数，面积较小的独立基础则用基础中点计算沉降值。

(2) 问题的分析：地基中压力分布分为两类：①天然土体自重作用下的压力，它随深度而增加，用r(a+z)表示(图a)；②由基础传给地基的压力系按弹性的理论导出的。它有两个特性：当基础面积相等时，传到土中的压力随深度扩散逐渐减少。当压力不变时，基础面积愈大，压力扩散愈深，其值也愈大(图b)。该特性说明基础的沉降与基础面积大小有关。基底压力相同时，大基础沉降比小基础沉降大若干倍。这就是为什么要计算沉降的原因。

(3) 模型假设：某25层建筑的地下二层，埋深10米，基底平均压力为420KN/㎡。每层土的压缩模量如图(c)。基础中点沉降计算。

符号说明：

S——地基中点下沉量

Es——土的压缩模量

P0——附加压力

φs——沉降经验修正系数(见表1)

En——沉降计算深度

a——平均附加压力系数(见表2)

△Si——在计算深度范围内，第i层土不乘修正系数的沉降计算值

△Sa——由计算深度Zn向上取△Z厚度计算沉降值，△Z取0.4lnb

(6) 结果分析与模型评价：这种计算结果反映某些地质条件相同的高层建筑的沉降观测情况。

房屋沉降观测非常重要，特别对高层建筑意义更大。沉降观测可说明房屋的质量、安全性及可靠性；也可鉴定该地质勘察是否正确，地基处理效果与质量；可以及时发现问题从早解决。

建筑物的沉降起始于基础施工，在开始时，荷载很小，只有少量下沉。随着施工荷载的增加，沉降增加也是比较缓慢的。施工荷载全部完成时沉降速率有突然增加现象。大约半年以后，沉降速度逐渐趋于平缓，最后走到稳定。

2 数学建模在人力资源管理方面的效应

例2，在这个“PE公司”合理分配人力资源使得公司每天投资收益最大的问题中，我们利用题目中所提供的公司人员结构及工资情况、不同项目和各种人员的收费标准、各项目对专业技术人员结构的要求这些约束条件，建立了一个具有广泛适用性的人力资源安排的线形整数规划(见第6页)，并根据“每天直接收益最大”的原则，在这些约束条件下解得：

我们利用LINDO的API函数LMsolvem，在MATLAB中计算，并利用著名概率统计学软件SAS对上述结果进行验证。

之后我们用LINDO和SAS对灵敏度分析的强大功能，对模型的最优解作了合理的分析(见第10页)，分别讨论了收费和工资的变化以及项目对人员数目的不同，上述最优解仍然适用的变化区间。

最后我们对该模型进行了推广，通过对推广模型的目标函数的价值系数，约束条件的右端向量进行了扩展。依次分析了在不同价值系数和右端向量时最优解及最优基的变化，使得该模型解决实际问题，更具有可信性和可用性。

(1) 问题提出与分析：“PE公司”现有4类共41个专业技术人员，各级别专业技术人员有着不同级别的日工资标准。目前，公司承接有4个工程项目，其中2项是现场施工监理，分别在A地和B地，主要工作在现场完成；另外2项是工程设计，分别在C地和D地，主要工作在办公室完成。由于4 个项目来源于不同客户，并且工作的难易程度不一，因此，各项目的合同对有关技术人员的收费标准不同，为保证工程质量，各项目中必须保证专业人员结构符合客户的要求。我们从题目中的表3可以看到，各项目对专业技术人员结构的具体需求，而各项目客户对总人数都有限制。且C、D项目需每人每天50元的额外开支。4个项目最多需要人数是10+16+11+18=55，多于公司现有人数41人。因此要求通过建立合理的数学模型，来合理分配现有的人力资源。使公司每天的直接收益最大。对此模型进行适当的推广，可以作为今后论证人力资源的分配的合理性提供重要依据。

(2) 模型假设：①假设全国物价水平不在短时间内发生剧烈变化。以排除各种工程材料成本的剧烈波动。②假设4个工程同时进行，项目用人是同时输出的。③不考虑各专业技术人员因病、事假原因而不能工作。④不考虑天气、地震等外界因素对项目工程的影响。从而不影响工程进度而影响公司的收益。⑤假设在一段时间内，各专业技术人员的收费和工资不发生变化，保持相对稳定。⑥在一段时间内，公司不会再增加和减少各专业技术人员的人数。⑦假设各专业技术人员在短期内，不会因为考证及评比职称而晋级。⑧本级别的专业技术人员能从事比他级别低的技术人员的工作，不能从事比他级别高的技术人员的工作。⑨公司发放的工资按技术人员的级别来划分，同一级别工资相同。不考虑奖金、分红等额外收益。⑩在某天中，某技术人员未分配到工作，但公司还是要发放该员工该天的工资。

(3) 符号说明

②对于第i类技术人员从事比第i类技术水平更低的工作的合理性分析：

定理1：在第i类技术人员的需求≥第i类技术人员的总人数时，第i类技术人员从事比第i类技术水平更低的工作是不合理的：

证明：假设第i类比第i"类技术层次高，即第i类技术人员可从事第i类技术人员从事的工作。在第j个项目工程中，第i类技术人员的日工资为bi，第i"类技术人员的日工资为bi"，项目付给第i类技术人员的费用时wi，而第i"类技术人员的费用为wi"。若第i类技术人员从事第i类技术人员所分配的任务，则公司收益为Qi=wi-bi。若第i类技术人员从事第i"类技术人员的工作，则公司收益Qi"=wi"-bi，则△Q=Qi-Qi"= wi-wi"

由实际可知，高一层的技术人员的收费一般高于低层技术人员。则△Q>0，所以高层技术人员从事低层技术人员的工作不能满足公司每天直接收益最大的目的。

定理2：在第i类技术人员的需求<第i类技术人员的个数时，第i类技术人员从事比第i类技术水平更低的工作是合理的：

证明：第i类技术人员干第i"类技术人员的工作，则项目是按第i"类技术人员的支付标准向公司付费的，即第i类技术人员的费用为wi"。

所以是否让第i类技术人员从事比第i类技术水平更低的工作，应视具体情况而定。

通过以上的论述，我们对于此模型在人员分配方面涵盖多个方面，对此模型的应用的广泛性得到了很好的肯定。

3 数学建模可将初看起来杂乱无章的实际问题抽象为一个数学问题

在数学建模过程中，面对错综复杂的实际问题，充分发挥主观能动性。对问题进行探索、发现，创造性地用形式推理和非形式的推理，综合运用观察实验、类比、联想、归纳、想象、直觉和审美等多种思维方式，以达到解决问题的目的。

例3、如著名的菲波那契(Fibonacci)问题：兔子出生以后两个月就能生小兔，若每一次都只生一对(一雌一雄)，假如养了初生的一对小兔，试问一年后共有多少对兔子?经过分析，第一个月只有一对小兔，第二个月小兔子未成熟不会生殖，此时仍只有一对，第三个月这对兔子生了一对小兔，这样一共有两对兔子，至第四个月，成熟的兔子又生了一对小兔，而上月出生的小兔还未成熟，这时共有三对兔子。我们设{Fn}表兔子的对数，下标表示月份数，通过观察，不难发现，第n+1个月的兔子数可分为两类：一类是第n个月的兔子，另一类是当月新出生的小兔，而这些小兔恰好是第n-1个月的兔子数。这种规律也可利用计算机实验的手段帮助分析，最终得到数学模型：

Fn+1=Fn+Fn-1，n=2，3……，

通过模型可求出任意个月的兔子数目。

综观此例，我们是通过观察、实验和归纳等思维形式总结出一般的数学模型，这种数学建模过程本质上是创造性思维过程的体现。数学建模的教育价值在于通过数学建模的训练达到培养学者的创新意识和实践能力。

例4、红灯绿灯时间差

十字形的路口，东西、南北方向的行火车辆来来往往，车水马龙。为了不让双方挤在一起，红绿灯就应动而生，一个方向先过，另一个方向再过。

在江山大南门广场的十字路口，红灯和绿灯的持续时间是不一样的──红灯的时间总比绿灯长。即当东西方向红灯亮时，南北方向的绿灯要经过若干秒后才亮。这样方可确保十字路口的交通安全。

那么，如何根据实际情况设置红绿灯的时间差呢?

图d

如图d所示，假设十字路口是对称的，宽窄一致。设一个字路口长为m米，宽为n米。 当绿灯亮时最后一秒出来的骑车人A，不与另一方向绿灯亮时出来的机动车辆B相撞，即可保证交通安全。

根据调查自行车一般速度低于14km/h(即4m/s)，机动车速度不超过28km/h(即8m/s)。若红绿灯时间差为t秒，那么：

从C1C2线到FG线的距离为m-n2+n=m+n2，骑车人A从C1C2线到K处时另一方向绿灯亮，此时骑车人A前进距离为4t，K处到FG线距离为m+n2-4t。骑车人A从K处到达FG线所需的时间为：14(m+n2-4t)=m+n8-t

从D1D2线到EF线的距离为m-n2。机动车B从D1D2线到EF线所需的时间为18(m-n2)=m-n16。A通过FG线比B通过EF线要早一些方可避免碰撞事故，故m+n8-t≤m+n2即t≥m+3n16

即设置的时间差要满足t≥m+3n16时，才能使车人不相撞，如某市南区十字路口长约64米，宽约16米，理论上最少设置时间差为7秒，而实际设置时间差为8秒(8>7)，符合要求。

例5、“减肥的数学模型”

(1) 问题的提出：随着社会的进步和发展，人们的生活水平在不断地高。由于饮食营养摄入量的不娄改善和提高，“肥胖”已经成为全社会关注的一个重要的问题。无论从健康的角度还是从审美的角度，人信越来越重视自己形体的健美，从而导致目前社会上出现了各种各样的减肥食品(或营养素)和名目繁多的健美中心。

如何对待减肥的问题，我们可以通过组建模型，从数学的角度对有关的规律做进一步的控讨和分析。

(2) 背景知识：根据中国生理科学会修订并建议的我国人民的每是膳食指南可知：①每日膳食中，营养素的供给量是作为保证正常人身体健康而提出的膳食质量标准，营养素的需求量是指维持身体正常的生理功能所需要的数量低于这个数量，将使身体产生不利的影响。②人体的体重是评定膳食能量摄入适当与否的重要标志。③人体热能需要量的多少，主要决定于三个方面：维持人体基本代谢所需要的能量、从事劳动和其它活动所消耗的能量以及食物的特殊动力作用(将食物转化为人体所需的能量)所消耗的能量。④一般情况下，成年男子每一千克体重每小时平均消耗热量为4200焦耳。⑤一般情况下，食用普通的混合膳食，食物的特殊动力作用所需要的额外的能量消耗为6.3×10^6~8.4×10^6焦耳，相当于基础代谢的10﹪。

(3) 模型的假设：①由于人体的脂肪是能量的主要贮存和提供的方式，而且也是减肥的主要目标。我们不妨以人体脂肪的重量作为体重的标志。已知脂肪的能量转换率为100﹪，每千克脂肪可以转换为4.2×10^7焦耳/千克，称为脂肪的能量转换系数。②人体的体重仅仅看成是时间t的函数w(t)，这意味着在研究减肥的过程中，我们忽略了个体间的差异(年龄、性别、健康状况等)对减肥的影响。③无论是由于进食摄取能量导致体重的增加，还是由于体力活动消耗能量致使体重的减少都是一个渐变的过程。因此可以认为能量的摄 取和消耗都是随时发生的。体重随时间的变化w(t)是连续而且充分光滑的。④人体通过各种活动(劳动、体育等)来消耗自身的能量，从而一窍不通减肥的目的。不同的活动对能量的消耗是不同的。假设在单位时间人体的这种消耗与其体重成正比。记r为每1千克全重每小时某一种活动所消耗的能量。⑤单位时间内人体由于基础代谢和食物特殊动力作用所消耗的能量正比于人的体重。记b为1千克体重每小时所消耗的能量。⑥人体每天摄入的能量是一定的，记为A。

(4) 建模：建模的过程中，我们以1天(=24小时)为时间的计量单位。则以天为单位的基础代谢的能量消耗量为B=24b(J/日是)。由于人的活动一般不会是全天进行的，假设每天人体活动h小时，则一天内由于活动所消耗的能量应为R=rh(J/日是)。

按照假设3，我们可以在任何一个时间 段内考虑由于能量的摄入与消耗引起人的体重的变化。

按照能量的平衡原理，任何时间段内由于体重的改变所引起的人体内能量折变化应该等于这段时间内摄入的能量与消耗的能量之差。

在时间段内(t，t+△t)内考虑能量的改变：

体重改变的能量变化=[w(t+△t)-w(t)]D

摄入与消耗的能量之差= A△t-(B+R)w(t)△t

根据能量平衡原理，有[w(t+△t)-w(t)]D=A△t-(B+R)w(t)△t

以△(t)除等式两端并令△(t)→0取极限，可得

dwdt =a-dw (1)

其中a =A/D，d=(B+R)/D。如果把B理解为以减肥为目的的能量的消耗，则方程(1)就给出了一个减肥的数学模型。

(5) 模型的分析：

1) 求解：设t=0为模型启动的初始时刻，这时人的体重为w(0)=w0 。以此为初始条件不难求出方程(1)的解为w(t)=w0e-dt+ad (1-e-dt)(2)

在(2)中假设a=0，即假设停止进食，从而列任何能量摄入，这时体重的变化(减少)完全是由于体内脂肪的消耗而产生的，于是有[w0-w(t)]/w0=1-e-dt。

这表明在时间(0，.t)内体重减少的百分率由1-e-dt 给出，称之为(0，t)时间内的体重消耗率。自然e-dt应理解为(0，t)时间内体重的保存率，它表明在时间t保存的体重占初始体重的百分数。

a/d是模型中一个重要的参数。由于a=A/D表示由于能量的摄入而增加的体重，而d=(B+R)/D表示由于能量的消耗而失掉的百分数(每单位体重中由于基础代谢和活动而消耗掉的那部分)。于是a/d就表示通过能量的摄取对每1﹪的体重消耗所获得的体重的补充量。

基于上面的分析，由式(2)可以看出时刻t的休重是由两部分构成的。一部分是初始体重中由于能量的消耗被保存下来的那部分，另一部分则是由于 能量的摄取致使所消耗的那部分体重获得的补充量。这一个解释从直观理解上也是合理的。因此我们可以认为所组建的模型是成功的。

2) 模型的分析：

①容易证明，对于模型(1)来说，当且公当w*=a/d

于是我们有如下的结论：减肥的效果主要是由两个因素控制的：由于进食而摄取的能量以及由于活动而消耗的能量。从而减肥两个重要措施就是控制饮食和增加活动量，当然这也没有超出通常我们对减肥的认识。

②进一步讨论能量的摄取量A与消耗量R对减肥效果W*的影响。显有A=w*B+w*R，它是R-A坐标系中过(-B，0)点斜率为w*的直线。根据背景知识，我们知道任何人通过饮食摄入的能量不能低于用于维持人体正常生理功能所需要的能量。因此作为人体体重极限表明能量的摄入过低并致使无法维持他本人正常的生理功能的所需。这时减肥所得到的结果不能认为是有效的，它将危机人的身体健康，是危险的。我们称w1为减肥的临界指标。

另外人们为减肥所采用的各种体力活动对能量的消耗也有一个人体所能承受的范围，我们记为0

图e

这表明减肥的效果是有控制饮食和增加消耗综合作用、相互协调的结果。图中区域A表明能量的摄取量A高于体重为w0时消耗量w0(B+R)。这时体重不会从w0减少，我们称之为非减肥区。而当能量的摄取量A低于w1 (B+R)而落入区域C时，体重将减少到临界减肥指标以下，这时将危机人的身体健康，我们称C为危险减肥区。只有区域B所表示的A与R 的组合才能实现有效的减肥，故称B为有效的减肥区。图1还表明单限单一的措施减肥，无论是活动量不变，一味地节制饮食，还是保持饮食不变加大活动量都同样会产生不理想的减肥效果。饮食和消耗适度，相互的协调配合是非常重要的。

为了对减肥的过程有更具体的了解，下面给出几种活动的能量消耗值r(焦耳/小时.千克)

性别活动

男子女子办公室工作70006500烹调81507770走路(4.9千米/小时)1440013700伐木3255029820

实际上，减肥的过程比模型所描述的要复杂得多，这个模型只是为了总结出饮食和锻炼这两个主要因素与减肥的关系，有助于人们走出盲目减 肥的误区，树立科学健康减肥的观念。至于对减肥的更深入的分析还有赖于进一步构建更详细的模型。

现实世界中数学建模例子不胜枚举。

在高新技术领域，数学建模几乎是必不可少的工具。 无论是发展通讯、航天、微电子、自动化等高新技术本身，还是将高新技术用于传统工业去创造新工艺、开发新产品，计算机技术支持下的建模和模拟都是经常使用的有效手段。数学建模、数值计算和计算机图形学等相结合形成的计算机软件，已经被固化于产品中，在许多高新技术领域起着核心作用，被认为是高新技术的特征之一。

通过数学建模的训练，可使广大学者了解到用数学理论和方法去分析和解决问题的全过程，提高他们学习数学的兴趣和应用数学的意识与能力，使他们在工作中能经常性地想到用数学去解决问题，提高他们尽量利用计算机软件及当代高新科技成果的意识，能将数学、计算机有机地结合起来去解决实际问题。

随着数学向诸如经济、人口、生态、地质等所谓非物理领域的渗透，一些交叉学科如计量经济学、人口控制论、数学生态学、数学地质学等应运而生。一般地说，不存在作为支配关系的物理定律，当用数学方法研究这些领域中的定量关系时，数学建模就成为首要的、关键的步骤和这些学科发展与应用的基础。在这些领域里建立不同类型、不同方法、不同深浅程度模型的余地相当大，为数学建模提供了广阔的新天地。展望21世纪，数学建模必将大踏步地进入所有学科，数学建模将迎来蓬勃发展的新时期。

参考文献

[1] 施工项目技术知识.中国建筑工业出版社.1999

[2] 何坚勇.运筹学基础.北京：清华大学出版社.2000

[3] 徐全智 、杨晋浩.数学建模.高等教育出版社.2004

收稿日期：2008-03-16

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”

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