当前位置: 简表范文网 > 专题范文 > 公文范文 >

向量更深入,复数有提升

| 来源:网友投稿

主 讲:沈新权

浙江省数学特级教师,嘉兴市数学会副会长.

推荐名言

可以用一次的想法是一个诀窍,如果可以用两次以上,那它就成为一种方法了.

——乔治·波利亚 (匈牙利数学家,提出了组合数学的重要工具波利亚计数定理)

向量与复数兼具代数与几何的特征,既能进行代数形式的运算,又能进行几何形式的变换,这种“身份”使它们能作为数学工具,解决函数、几何等多种数学问题.其中,复数还是高等数学中复变函数的基础.因此在自主招生考试中,向量与复数出现的频率比较高.

一、向量问题

例1 (2010年北京大学自主招生考试第4题) ■,■的夹角为θ,■=2,■=1,■=t■,■=(1-t)■,■=f(t)在t=t0时取得最小值. 若0<t0<■,求θ的取值范围.

解析: 设g(t)=■2, ∵ ■,■的夹角为θ,■=2,■=1,又■=■-■=(1-t)■-t■, ∴ g(t)=■2=(5+4cosθ)t2-(2+4cosθ)t+1. ∵ 5+4cosθ>0,∴ g(t)的图象开口向上,g(t)的判别式Δ=16(cos2θ-1)≤0. ∴ g(t)≥0,∴ 当t=t0=■时,■=f(t)取得最小值. 由0<■<■解得-■<cosθ<0, ∴ θ∈■,■.

例2 (2008年南京大学自主招生考试问答题第2题) 在△ABC中任取一点O,用SA,SB,SC分别表示△BOC,△AOC,△AOB的面积,求证:SA·■+SB·■+SC·■=0.

解析:如图1所示,以O为原点、OC所在的直线为x轴建立直角坐标系,设■=x,■=y,■=z,∠AOC=α,∠AOB=β,∠BOC=γ,其中α+β+γ=2π.

SA·■+SB·■+SC·■=■yzsinγ·(xcosα,xsinα)+■xzsinα·[ycos(α+β),ysin(α+β)]+■xysinβ·(z,0)=■xyz[cosαsinγ+sinαcos(α+β)+sinβ],■xyz[sinαsinγ+sinαsin(α+β)].

∵ γ=2π-(α+β), ∴ cosαsinγ+sinαcos(α+β)+sinβ=-cosαsin(α+β)+sinα·cos(α+β)+sinβ=-sinβ+sinβ=0. 又sinαsinγ+sinαsin(α+β)=-sinαsin(α+β)+sinαsin(α+β)=0, ∴ SA·■+SB·■+SC·■=0.

利用例2的结论,我们还可以证明:若△ABC的边长为a,b,c,①当O为△ABC的重心时,■+■+■=0;②当O为△ABC的内心时,a·■+b·■+c·■=0;③当O为△ABC的外心时,sin2A·■+sin2B·■+sin2C·■=0;④当O为△ABC的垂心时,tanA·■+tanB·■+tanC·■=0.

二、复数问题

从代数角度看,解决复数问题的关键是把复数问题实数化.在复数问题实数化时,既可以借助复数的代数形式,也可以利用复数的三角形式,同时还可充分利用共轭复数及复数模的相关性质简化解题过程.从几何角度看,解决复数问题的关键在于合理利用复数运算(加减乘除)的几何意义,减小运算量.

例3 (2008年上海交通大学自主招生考试第4题) 复数z=1,若存在负数a使得z2-2az+a2-a=0,则a= .

解析:要解决例3,同学们须掌握复数z=a+bi的三角形式z=r(cosθ+isinθ) ,其中模r=a2+b2,辐角θ由tanθ=■和θ的终边所在的象限确定.当复数的模为1时,利用复数的三角形式解决问题会相对简单一些.

设z=cosθ+isinθ,则z2-2az+a2-a=cos2θ-2acosθ+a2-a+i(sin2θ-2asinθ)=0,可得cos2θ-2acosθ+a2-a=0 (①),sin2θ-2asinθ=0 (②).由①式得sinθ=0或a=cosθ. 当sinθ=0时,a=■>0,∵ a<0,∴舍去;当a=cosθ时,解得a=■. ∵ a<0, ∴ a=■.

解决例3的关键是利用复数相等的充要条件,把复数问题转化为实数问题来解决.

例4 (2011年“卓越联盟”自主招生考试第4题) i为虚数单位,设复数z满足z=1,则■的最大值为

(A) ■-1(B) 2-■(C) ■+1(D) 2+■

解析:我们先来了解复数加减法的几何意义.

复数加法的几何意义:设复数z1=a+bi, z2=c+di在复平面上所对应的向量为■,■,则■=(a,b),■=(c,d). 以■,■为邻边作平行四边形OZ1ZZ2,则对角线OZ对应的向量■=■+■=(a+c,b+d). ■就是复数z=z1+z2=(a+c)+(b+d)i在复平面上对应的向量.

复数减法的几何意义:设复数z1=a+bi,z2=c+di在复平面上所对应的向量为■,■,则■=■-■=(a-c,b-d). ■就是复数z=z1-z2=(a-c)+(b-d)i在复平面上对应的向量.

如果像例3一样设复数的三角形式,或直接用代数形式求解■,运算量会很大.我们可以先化简■. ∵ ■=■=■=z-(1+i), ∴ 问题转化为求z-(1+i)的最大值. ∵ z=1,∴ 由复数减法的几何意义可知,z-(1+i)的最大值为复平面中单位圆上的点到复数1+i所对应的点的距离的最大值, ∴ ■max=■+1. 选C.

例5 (2003年复旦大学自主招生考试第8题) 已知z1=2,z2=3,z1+z2=4 ,求■.

解析:解决例5时,我们会用到两个知识.一是公式z·■=z2;二是若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a,b,c为实数)的判别式Δ=b2-4ac<0,则方程的根为一对共轭的虚根x=■,韦达定理仍旧成立.

由题意可得z1·■=4,z2·■=9,z1+z22=16=(z1+z2)(■+■)=13+■+■. 令■=z,则9z+■=3,解得z=■±■i, 即■=■±■i.

例6 (2011年“卓越联盟”自主招生考试第10题) 设σ是坐标平面上的点按顺时针方向绕原点作角度为■的旋转,τ表示坐标平面上的点关于y轴的镜面反射.用τσ表示变换的复合,先做τ,再做σ;用σk表示连续k次σ的变换,则στσ2τσ3τσ4是

(A) σ4(B) σ5 (C) σ2τ(D) τσ2

解析:我们先来了解复数的乘除法的几何意义.

复数乘法的几何意义:设复数z1=r1(cosα+isinα),z2=r2(cosβ+isinβ),在坐标系中把复数z1所对应的向量■按逆时针(β>0)或顺时针(β<0)旋转β个角度,并将■的模长伸长(r2>1)或缩短(0<r2<1)到原来的r2倍,由此得到的向量所对应的复数就是z1·z2.

同理,复数除法的几何意义为:把复数z1所对应的向量■按顺时针(β>0)或逆时针(β<0)旋转β个角度,并将■的模长伸长(0<r2<1)或缩短(r2>1)到原来的■倍,由此得到的向量所对应的复数就是■ (z2≠0).

要解决例6,我们先设复平面上的点所对应的复数为z=r(cosθ+isinθ),记σz为复数z对应的点做一次σ变换后得到的点所对应的复数,记τz为复数z对应的点做一次τ变换后得到的点所对应的复数,由复数除法的几何意义可得,σz=rcosθ-■π+isinθ-■π,τz=r[cos(π-θ)+isin(π-θ)],由此可得复数对应的点每次变换后所对应的辐角.根据题中定义的变换规则,στσ2τσ3τσ4后,z所对应的辐角变化依次为θ ■ θ-■π ■ ■π-θ ■ ■π-θ ■ ■π+θ ■ θ-■π ■ ■π-θ ■ ■π-θ. 同理, 经过A、B、C、D选项的变换,复数z对应的点所对应的复数的辐角分别为θ-■π,θ-■π,■π-θ,■π-θ. 选D.

【下期预告】

在自主招生考试中,对数列内容的考查达到了怎样的程度·极限问题的考查重点又在哪里·在下一讲中,我们将就这两个问题展开讨论.

推荐访问:复数 向量 更深入 提升

热门文章

2022年大学生档案自我鉴定300字10篇

2022年普通大学生个人社会实践实习报告精选服务社会做好思想准备和业务准备,公司内部电脑系统都是统一英文系统,就要求自己以职场……[详细]2022年党员思想汇报例文两篇【完整版】所以在以后的学习和生活中,经历过苦难的中国,工作以及生活中,特别是通过学习党章党纪……[详细]企业员工服务意识培训心得体会

追梦筑梦圆梦演讲稿

最近发表了一篇名为《追梦筑梦圆梦演讲稿》的范文,感觉很有用处,这里给大家转摘到。演讲稿特别注重结构清楚,层次简明。在日新月异的现代社会中,在很多情况下需要用到演讲稿,如何写一份恰当的演讲稿呢?下面是小编为大家整理的追梦筑梦圆梦演讲稿,希望能够帮助到大家!追梦筑梦圆梦演讲稿1尊敬的

《********大宣讲特别节目》直播观后感

最近发表了一篇名为《2022《********大宣讲特别节目》直播观后感【精选】》的范文,感觉写的不错,希望对您有帮助,希望对网友有用。,安全,在学校里,在校外,安全这个词恐怕是再熟悉不过了吧,让将安全铭记心中,时进刻刻都做到安全,让父母不再操心,让长辈不再担心,让安全从我做起,从身边

2022年度有关安全学习心得合集(2022年)

本页是最新发布的《有关安全学习心得》的详细范文参考文章,感觉很有用处,看完如果觉得有帮助请记得(CTRL+D)收藏本页。有了一些收获以后,可以记录在心得体会中,这么做能够提升的书面表达能力。相信许多人会觉得心得体会很难写吧,下面是小编为大家收集的有关学习心得,供大家参考借鉴,希望可以帮

2022员工培训学习心得体会范本合集(范文推荐)

最近发表了一篇名为《员工培训学习心得体会范文》的范文,感觉写的不错,希望对您有帮助,为了方便大家的阅读。培训能让员工不断的提高,并清楚的意识到自己的缺点。经过员工培训,你一定有许多的收获,不妨来写一篇员工培训心得。你是否在找正准备撰写“员工培训心得体会范文”,下面小编收集了相关的素材,

2022年度中考优秀作文素材别样美三篇

最近发表了一篇名为《中考优秀作文素材别样的美精选三篇》的范文,好的范文应该跟大家分享,看完如果觉得有帮助请记得(CTRL+D)收藏本页。雨过天晴,花坛边上,几只蜗牛缓缓的爬行着,留下一道彩虹般的痕迹,那柔软的外面,是坚硬的外壳,那也是一道的美丽。下面是小编为大家收集整理的关于素材别样的美精

2022不期而遇作文600字初中记叙文

《不期而遇作文600字初中记叙文》是一篇好的范文,感觉很有用处,希望对网友有用。,美词,像是袭袭的寒风慢慢轻掠大地,刺刺的,一缕****的阳光下有一小缕的橘红色静静的生长。下面是小编为大家收集整理的关于不期而遇600字初中记叙文,一起来看看吧!不期而遇作文600字篇一苏轼有语人间有味是清欢,或许正是

2022年度幼儿园清明节主题活动总结范本

《2022幼儿园清明节主题活动总结范文【精选】》是一篇好的范文,感觉很有用处,为了方便大家的阅读。,又称踏青节、行清节、三月节、祭祖节等,节期在仲春与暮春之交。清明节源自上古时代的祖先信仰与春祭礼俗,以下是小编整理的2022园清明节主题总结,希望可以提供给大家进行参考和借鉴。2022幼儿园清明节

建团百周年活动策划

《2022建团百周年活动策划【精选】》是一篇好的范文,感觉很有用处,希望大家能有所收获。党的领导是共青团顺利发展的关键所在,无论是中国早期青年团的建立,还是中国共青团的正式成立,都离不开党的领导。下面小编为大家整理了2022建团百周年策划【精选】的相关内容,以供参考,希望给大家带来帮助!20

以小见大作文500字范本(范文推荐)

最近发表了一篇名为《以小见大作文500字范文【精选】》的范文,感觉写的不错,希望对您有帮助,重新编辑了一下发到。一件事情的发生,离不开时间、地点、人物、事情的起因、经过和结果这六方面,即常说的六要素,只有交待清楚这几方面,才能使读者对所叙述的事,有个清楚、全面的了解。这里小编

大一暑假社会实践报告(精选文档)

本页是最新发布的《2022大一暑假社会实践报告》的详细范文参考文章,感觉写的不错,希望对您有帮助,希望大家能有所收获。这个暑假过得是否充实呢,有些小伙伴在假期中参加了实践,那么如何做一份报告呢?下面是小编整理的2022大一暑假社会实践报告,仅供参考,希望能够帮助到大家。2022大一暑假社会

小学品德教师期末工作总结范本合集

最近发表了一篇名为《小学品德教师期末工作总结范文》的范文,感觉很有用处,重新整理了一下发到这里[http: www fwwang cn]。时光飞逝,如梭之日,回顾这段时间的工作,一定有许多的艰难困苦,是时候在工作总结中好好总结过去的成绩了。下面小编在这里为大家精心整理了几篇小学教师期