偏微分方程的代数方法

本书是一部以代数方法研究偏微分方程求解及其性质的专著，作者介绍了大量求解偏微分方程精确解的代数技术，以及作者近年来发展的新技术。

偏微分方程是数学、自然科学和工程领域中重要的基本工具。很多学科中最本质的数学模型本身就是偏微分方程（组），如电动力学的基本规律由麦克斯韦（Maxwell）方程组来控制，激光束在克尔（Kerr）非线性介质中传播特性由非线性薛定谔方程（Schrdinger）来刻画，而纳维-斯托克斯（Navier-Stokes）方程是流体力学的基本方程。求解偏微方程大致有3种途径：1.解析方法研究偏微分方程精确解的存在性和唯一性以及其他数学性质；2.数值方法寻找偏微分方程的数值解；3.代数方法研究偏微分方程的对称性、守恒律、精确解和完全可积性等。本书的方法归属于第3种途径，介绍了近年来作者所发展的代数方法，求解偏微分方程的精确解，物理方程重点在于，诸如：量子多体系统的Calogero-Sutherland模型、麦克斯韦方程组、自由狄拉克（Dirac）方程、广义声方程、KdV方程、KP方程、超声速气流方程、短波方程、非线性声学、地球引力势预测方程、非线性薛定谔方程、光学耦合非线性薛定谔方程、表面波包络的戴维-斯蒂瓦特森（Davey-Stewartson）方程、海洋动态对流方程、地球物理学中的波辛内斯克（Boussinesq）方程、纳维-斯托克斯方程和经典边界层方程。

作者指出，从代数方法入手，双曲型偏微分方程要比椭圆型方程更容易得到精确解，这是代数方法的优点。对于线性偏微分方程，作者专注于寻找所有多项式型的解和初始值问题的求解。而对于非线性偏微分方程，作者引进了对称变换方法，给出了含有多个参数的解，很大程度上简化了求解的过程。此外，作者还引进了多种技术：梯度技术、矩阵微分算子、非线性项的稳定范围、移动框架、对称假设、对称变换、线性化技术和特殊函数等。

全书分为两大部分，共10章：第1部分 常微分方程：1.一阶常微分方程；2.高阶常微分方程；3.谱函数。第2部分 偏微分方程：4.一阶/线性偏微分方程；5.非线性标量偏微分方程；6.非线性薛定谔方程和戴维-斯蒂瓦特森方程；7.海洋动态对流问题；8.地球物理学中的波辛内斯克方程；9.纳维-斯托克斯方程；10.经典的边界层问题。

本书内容丰富，而且是自相容的，阅读只需要最基本的微积分和线性代数知识。适合于数学、自然科学和工程技术领域的读者，也可以作为高年级本科生和研究生的教材。

陈涛，助教

（中国传媒大学理学院）