提高高等数学教学质量的几点思考与实践
体会，以期对提升高等数学课程的课堂教学质量提供有益借鉴和参考.
二、高等数学课程的课堂教学现状分析及改进
高等数学作为普通高校大多数专业学生的必修课之一，具有重要的基础性地位.但该课程知识高度抽象且有着严密的逻辑性，致使许多学生未能通过期末考试而不得不参加重修.就中国民航大学2016—2017学年度第一学期而言，一年级本科生应考人数为3 478人，参加重修的高年级学生的应考人数为1 092人.重修人数占到新生人数的31.40%，虽然较2015—2016学年度第一学期的34.83%及2015—2016学年度第二学期的40%有所下降，但重修率依然很高.因而，不断提高高等数学授课教师的课堂教学质量不仅是教学本身的需要，也是降低重修率的主要途径之一.本文将结合高等数学试卷知识点的得分率来分析该课程课堂教学中应注意的事项，并讨论多年教学实践中的思考和改进措施.由于高等数学历年出题结构类似，本文仅以2016—2017学年度两学期的期末试卷的得分点为例进行分析.
2016—2017学年度两学期试卷计算题中单题最高分为8分，依次为7分和6分.本文把得0～2分视为学生未掌握该知识点，得3～4或者3～5分视为基本掌握，得5～6分或6～7分或6～8分视为掌握良好.知识点及得分情况如下：
由上述两表可以看出，70%以上的一年级学生对微分学的直接计算问题掌握良好.在一元函数微分学的直接应用上也表現不错，掌握良好的占到了75.28%.但在多元函数微分学的应用方面得分较差，未掌握的学生达到40.96%，掌握该部分内容的学生仅有25.33%，反映出学生综合应用知识解决问题的能力有待提高.在不定积分与定积分的计算及应用方面得分情况差异较大，得分情况表明对于简单的直接计算，学生学习良好；但对于一些稍微有点技巧的题目和定积分的应用上，学生失分严重，掌握良好的学生仅分别占到53.05%及23.52%，这在很大程度上反映出学生对一些基本的计算技巧不熟练，计算能力不强.对应的多元函数积分学的相关内容，学生掌握良好的仅占一半左右.一方面，是由于部分学生未对定积分的内容很好掌握，阻碍了其进一步的学习；另一方面，也源于学生对抽象出重积分，线面积分概念的具体物理问题理解不深，从而对概念缺乏足够的认识，影响了对计算方法的掌握.学生在空间解析几何、级数和微分方程的答题方面也反映出类似的问题.
综上所述，针对学生的答题及得分情况反映出的对数学的概念理解不深、计算能力有待提高，综合解决问题的能力还需要进一步培养等问题及多年的教学实践，本文拟从高等数学课程课堂教学的教与学、数学概念的教学、计算能力的培养、理论课教学和习题课教学以及作业和答疑六个方面进行分析，提出笔者的见解并讨论改进措施.
（一）课堂教学的教与学
课堂教学过程包括教师的教和学生的学两方面的活动过程.教师不仅要教会学生知识，还要在这个过程中培养学生的各种能力，尤其是让学生学会学习的能力.引导学生自学部分内容并在学生精力允许的条件下为其提供一定量的参考书便于学生更好地理解和领会知识，是促进学生从学会知识到会学知识的良好途径.目前大部分的数学课堂教学基本省略了让学生自学的步骤，而采取教师全堂讲授和偶尔学生练习相结合的教学形式.笔者近年来在课堂教学中对一些需要深刻理解的内容采取了做提示、列问题，让学生带着问题自学的形式.例如，学习定积分的定义时，在讲授了曲边梯形面积的计算方法和步骤后，让学生自学非均匀细长型构件的质量的计算.同时，提出如下问题：
A.非均匀细长型构件的质量的近似计算步骤是什么？
B.如何得到非均匀细长型构件的精确质量？
C.比较非均匀细长型构件的质量计算与曲边梯形面积的计算方法与步骤的异同.
D.若知道非匀速直线运动物体在任一时刻的速度，可以计算其在一个时间段内行驶的路程吗？如何计算？哪些物理量的计算也可以采取这样的方法和步骤？
学生带着问题学习增加了学习的目的性，也提高了探索的兴趣，同时对哪些实际问题可以用定积分来解决有了初步的认识，对相应的解决方法和步骤有了进一步的了解.这样的做法让学生对特定概念的理解更深刻，有利于促进学生从学会到会学的转变.但需要指出的是教师在遴选让学生自学的内容时要注意考虑到大多数学生的学习水平和能力，如果在一开始就让学生自学定积分的定义，可能达不到预期的效果.
（二）数学概念的教学
学生对数学概念的理解不深刻、不透彻，解决实际问题的能力不强，与教师没有重视具体问题的引入有关.数学中的很多概念都是从具体的物理问题和几何问题中抽象出来的，例如，向量的数量积和向量积、导数、定积分、重积分、线面积分、散度、旋度等.要让学生较好地理解和掌握这些概念，明确这些概念的内涵和外延，教师就必须弄明白相应的物理和几何模型，讲清楚用数学表达式解决这些问题的思想、方法和步骤.只有这样，学生才能对抽象的数学概念有比较深刻的认识，也才能熟练地运用概念去解决更为复杂的物理和几何问题.例如，在讲第二类曲面积分时，教师首先解释清楚流量的概念，通过作图或应用动画表现出单位时间内不可压缩流体流经某一曲面指定方向的流量的计算思路，让学生对具体的物理问题有一个感性的认识和清晰的认知，再推导第二类曲面积分所需要的形式.这样学生对第二类曲面积分定义的理解会更深刻一些，再用同样的方法解决磁通量、电通量或其他应用问题时就不会感觉到困难.
（三）计算能力的培养
所以，要想培养学生良好的计算能力和熟练的计算技巧，需从深刻理解基本概念入手，并要求学生在理解的基础上正确记忆数学公式和定理.反过来，对练习题目的计算又可以加深对数学基本概念的理解，对数学公式和定理的记忆和掌握.
（四）可视化的理论课教学
高等数学的知识高度抽象，而体现一个抽象现象或过程的最好办法之一是赋予它直观而现实的意义.可视化教学是利用图形和动画等可视化信息把抽象的概念、逻辑严密的证明、难以想象的空间图像借助多媒体课件直观化、具体化的一种教学方式.可视化教学能把众多可视化的信息集于一体，向学生提供一个丰富多彩、生动友好、方便灵活的界面，使学生的各个感官能够同时接收到教学信息，从而起到良好的教学效果.
在讲授三重积分的计算中，常常需要画出积分区域的图形.例如，求球面x2+y2+z2=a2与圆柱面x2+y2=ax（a>0）所围成的体积（指含在圆柱面内的部分）.大多数学生见到这个问题一筹莫展，原因在于想象不出、画不出积分区域的图形，因而，无法确定各个变量的积分上下限，也无法利用三重积分计算该立体的体积.这就需要通过图形和动画来提供感性材料，丰富学生的感性认识和图形思维.笔者用数学动画来展现球面和圆柱面相交后交线及交面的形成过程，引来学生一片惊叹声.教学过程随后得以顺利进行.图1与图2为球面和圆柱面相交的动画截图.
在高等数学的教学中，合理运用图形和数学动画使“不可见对象变为可见对象”，不仅可以丰富学生的感知，加强学生动态想象的基础，也为更高级的抽象提供条件，更为抽象思维准备了足够的感性材料.在积累运动与变化的感性资料方面，数学动画有不可替代的独特地位.从教学效果而言，也提高了教学质量和效率.
（五）习题课教学
高等数学的教学内容多、课时少，教学计划中没有安排单独的习题解答课.教师通常在每一章教学内容结束之后总结本章的内容时给学生系统地讲解部分典型的重难点习题，当课堂教学时间紧张时，这样的教学时间还可能被压缩掉.但不少学生认为习题课教学很必要和重要，并喜欢上习题课.因而，教师需要处理好理论课教学和习题课教学的时间分配，并保证习题课教学的时间.
教师在理论课教学中应主要讲授新知识、新思想和新方法，但讲授习题课时就应该把精力放在理论知识和方法的总结、归纳和提高上来，而不是简单复述和罗列一章的概念、公式和定理，也不是随意让学生在课堂上做一些练习题.习题课教学应是理论课教学的重要补充和完善.例如，在讲级数中数项级数部分的习题课时，判别数项级数的敛散性是重点，针对具体的级数选取恰当的敛散性判别法是关键.但学生初学之后往往不能根据所给的级数很好地选择适当的审敛法，这就降低了学生解题的速度和正确程度.对于这种情况，教师在复习常数项级数的审敛性方法时要重点强调适用不同审敛法的级数的特点，例如，遇到连乘、连除时，特别是级数通项中含有阶乘项时考虑比值审敛法，级数通项含有乘方时考虑根值审敛法，正项级数各项有递减性质时考虑积分判别法等等.再如，上微分学的应用中凹凸性部分的习题课时，要把重点放在结合例题归纳总结利用凹凸性、极值、单调性、中值定理、泰勒公式、极限等证明不等式的方法上来.这样学生既巩固了已学的知识，又学习了新的知识，还能进一步理清各章节之间的联系.习题课教学的有无和好坏也是影响高等数学教学质量的一个重要因素.
（六）作业和答疑
作业是学生巩固知识、掌握技能，是教师检验学生学习情况的重要途径，更是保证教学质量的重要手段.高等数学每次课堂教学后都有一定量的作业用于学生练习和巩固所学知识，笔者一般通过批三分之一量的作业来了解学生的学习情况，及时发现学生掌握不太好的内容和课堂讲得不清楚的地方，從而能够在下次上课时及时补充和完善.另有三分之二的作业由助教协助完成，以保证每次作业都能够及时得到批改.但由于作业要照顾到大多数学生的学习基础，在作业数量和难度方面倾向于所讲知识点的直接巩固.所以，对于一些学习底子好，学习兴趣浓的学生，这样的作业量和作业水平可能无法满足其需求，往年笔者采用了增加思考题的方式供学有余力的学生练习.笔者还考虑将在某些作业的后边增加对应学习内容的应用性思考题，特别是高等数学在其他课程中的应用的相关题目.
此外，笔者每周都安排了固定的答疑时间和地点，但平时来答疑的学生屈指可数.为更好地解决学生学习过程中的问题和困难，笔者借用微信的便捷平台，与学生通过微信群的方式相互讨论与解答问题，同时也鼓励学生之间互帮互助.通过一个学期的实践，反响很好，微信群内学习气氛热烈.对于问题，会解决的学生上传自己的解答过程，对解答有疑惑的学生就会提问，然后大家讨论，讨论无法解决时笔者再做出提示或解答.对于涉及重要知识点或难理解的题目，笔者通常采用录制微型视频的形式，在视频解答的过程中，重点指出每个步骤的原因.建立微信群的方法不仅有助于服务到大多数有问题但不爱提问的学生，同时也让一些问题越辩越明，加深了学生对数学知识的理解和巩固.
三、其他影响课堂教学质量的可能因素和建议
以下就可能影响课堂教学质量的两点因素提出建议，希望能引起相关部门和领导的关注，进而提出有效的改进措施.
（一）建议排课更均衡些
高等数学课程针对大学一年级学生开设，教学周期为一年.教学时间的安排相对固定，使学生能在特定的时间和地点接受特定的教学内容，这样的安排有助于建立和加强学生大脑中特定的神经联系，巩固数学知识的记忆.第一学期大多数学生表现良好，作业按时完成，期末成绩基本符合预期.以上学期为例，2016—2017学年度第一学期笔者授课班级的期末平均分为87.24，不及格率为3.97%.但第二学期的数学教学情况通常比第一学期差.学生按时完成作业的情况也不理想，一些学生甚至出现了抄袭的现象.除课程内容本身难度大之外，一些学生还反映说第二学期课程排课较满，没有时间及时消化吸收课堂教学内容，长此以往，数学就慢慢掉队.经查看部分学生的课表，有的几乎从早到晚，从周一到周五都排满了课，这样的作息课表让学生疲于上课，甚至对学习产生倦怠情绪，很大程度上影响了教学效果.但学生反映第一学期的课程很少，有时都到了无所事事的地步.所以，期望相关部门在课程的安排上再多些考虑，使每学期的课程数更为均衡些.课程安排的恰当将为教学质量的提高提供有力保障.
（二）建议限定学生重修次数或重修课修习资格
学校从帮助学生学习的角度出发，允许学生反复重修同一门课，愿想是良好的.但在实施的过程中也要及时看到这样的方式带来的问题和弊端.笔者连续多年代重修班的高等数学课程，并每次考勤，基本情况是120人的班容量，到课率徘徊在50%～70%之间，而上学期重修生期末的缺考率高达35%，远高于正常班学生的0.2%.此外，重修的学生数基本占到正常班学生数的近三分之一.高重修率、低到课率、高缺考率，体现出学生对重修课的随意性态度.这无疑是教学资源的极大浪费.同时，由于需要大量教师参与重修课教学，这又进一步挤压了高负荷下相关教师的备课和思考时间.因此，建议限定学生重修次数或重修课修习资格.
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