关于微分方程教学改革的思考

摘要：微分方程课程以数学分析和高等代数为基础，是微分几何、泛函分析、拓扑学、动力系统等课程的预备知识，既具有很强的应用背景，又具有丰富的理论体系，从课程体系设置、教学内容的全面性和教学过程的互动三方面阐明了微分方程本科教学改革中需要注意的问题，并提出改革建议。

关键词：微分方程；课程体系；教学内容；教学过程

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）46-0154-03

微分方程课程以数学分析和高等代数为基础，是微分几何、泛函分析、拓扑学、动力系统等课程的预备知识，既有很强的应用背景，又有丰富的理论体系。由于其内容丰富多样、知识量大且常被用于解决实际问题，而学生层次各不相同且课时安排有限，因此，往往出现课堂整体教学效果良好，但学生考试成绩不理想和不会实际应用的状况。本文针对这些问题，结合实际教学经验，从课程体系设置、教学内容的全面性和教学过程的互动三方面阐明了微分方程本科教学中需要注意的问题，并提出改革建议。

一、注重微分方程课程体系的设置

传统的微分方程教学受到前苏联教育体系的影响，更注重课程知识的传授、知识的系统性和独立性，在课程设置上除了在本科第三学期开设《常微分方程》之外，后继课程缺少与之衔接的内容，单一的课程设置使得其涉及的内容较深，知识量较大，理论性过强，忽视了微分方程的应用性，忽视了学生群体的层次性和在学习过程中的主体地位，学生接受困难。

与之相比较，目前流行的欧美的微分方程教学强调理论知识基础上的建模和应用，通过将课程分层次设置，使得微分方程的理论、方法、建模思想和应用相互渗透与补充，不同的学生群体可以寻找到适合其学习的不同的课程组合搭配，使其不仅受到严格的数学思维方式的训练，而且体会到数学在解决实际问题中的重要作用。以麻省理工学院的微分方程课程设置为例，由于麻省理工学院以理工科著称，因此课程设置为理工科学生服务，包括八门课程，由浅入深，由单变量到多变量，由理论分析到数学表达，细致而全面，使学生清楚地了解每门课程的研究内容，有的放矢。《微分方程》主要介绍单变量函数的微分方程解的性质，包括一阶常微分方程和线性微分方程等。《高等微分方程》的内容与《微分方程》相同，但更多地强调深入的理论。《偏微分方程引论》介绍了常微分方程和一维空间中的热力学和波动方程的初值和边界值问题，刻画了从时间和空间两方面对客观规律的认识。《线性偏微分方程》介绍一些经典的偏微分方程及其解法。《应用数学原理》以微积分和微分方程作为基础，主要介绍非线性偏微分方程及其应用。《数值分析引论》介绍科学和工程领域问题的有效数值解的方法，如求根、插值和迭代等。《非线性动力学I：混沌》介绍耗散系统中非线性动力学和混沌的理论与现象，面向各理工科领域本科生。《数学表达》提供有关数学表达的技巧，使用通常的数学课程材料作为写作和口头报告的基础。从中看出，各门课程具有各自独立的内容体系，当选择其中的基础部分和应用部分适当搭配，则可以形成适用于不同学生群体的课程体系，真正做到因材施教。

随着知识经济、信息时代的来临，社会需要的数学人才不仅需要具有数学的逻辑思维能力、运算能力和空间想象力，而且还要具有数学意识、问题的解决能力和信息交流能力。只有合理设置课程体系，对学生的培养才能具有系统性。因此，注重微分方程课程体系的合理设置是微分方程课程教学改革的需要，也是高等学校本科数学专业培养应用创新型人才的需要。在这个过程中建议做到以下几点：

1.结合学校及学院整体教学特点进行微分方程的课程设置。

2.将课程进行模块化设置，由浅入深，适合各层次的学生。

3.课程设置需要考虑到理论与应用两个方面。

二、注重教学内容的全面性

（一）理论分析的多维性

微分方程的理论性强，涉及到求解方程的内容丰富多样，如方程解的适定性、稳定性、定性理论，方程求解的解析法、定性分析法、数值解法等。传统的理论分析主要集中于解析解法，忽视定性分析法及数值解法。然而，实际应用中，方程的解析解法往往很难获得，因此，定性分析法和数值解法及其背景理论依据需要得到重视。依托于黑龙江省精品课《常微分方程》，结合国际公认的波士顿大学的优秀教材《Differential Equation》，我们将平面自治线性常微分方程组的定性分析引入到本科常微分方程的教学中，引导学生在进行常微分方程建模后使用定性分析的方法掌握解的变化规律，并对解的动态行为进行解释，增强学生对定性分析法的认识。以质点运动为例，将质点振动抽象成二阶齐次（非齐次）线性常微分方程模型，引导学生采用多种方法求解，如采用解析法，可以利用欧拉待定指数函数法先得到齐次方程的通解，然后利用比较系数法得到非齐次方程的特解，从而利用线性原理得到方程的通解；采用定性分析法，将方程化为一阶方程组，进行相图分析，给出平衡点类型，给出解的单调性、周期性及渐近行为，并运用Matlab数学软件对方程的解轨线进行模拟，使得利用数学模型解释物理现象的过程更加直观；在仿真过程中，将有阻尼自由振动根据参数的不同分为小阻尼、大阻尼和临界阻尼三种情形，不同情形解的表达式不同，描述的物理现象更接近实际情况。

通过数形结合、公式与图形结合，利用解析法、定性分析法、数值解法求解模型，并实现可视化的表达的多角度、多维度对启迪学生的数学思维起到了良好的效果，使学生容易掌握课程的核心内容和数学内容的本质，达到全面理解、熟悉掌握的目的。

（二）建模思想的渗透

日本数学家米山国藏曾经说过，在学校学的数学知识，毕业后若没什么机会去用，一两年后，很快就忘掉了。然而，不管他们从事什么工作，唯有深深铭刻在心中的数学精神、数学的思维方法、研究方法、推理方法和看问题的着眼点等，却随时随地发生作用，使他们终生受益。微分方程是对现实世界各种不同系统的数学描述，广泛应用于物理、生物、化学、经济等领域，用于研究机械理论、电学系统，生命科学中的物种的相互竞争与依赖关系、医学方面的传染病模型、经济和金融波动规律的量化和精确化描述、航空航天技术的开发以及星际探索等问题，是数学理论联系实际的一个重要触角。另外，数学建模竞赛中经常出现可以利用微分方程进行建模解决实际问题的题目，如1996年的最优捕鱼策略问题，2003年的SARS传染病传播问题，2005年的长江水质预测问题，2007年的中国人口预测问题。因此，在教学过程中融入建模思想，突出讲解常微分方程的现实背景和它的实际应用，即现实问题—合理假设—抽象数学化—解决数学问题—合理解决现实问题的过程能够使学生更加理解常微分方程“从实践中来，到实践中去”的含义，加深对数学思想数学方法的体会和理解，变枯燥无味的教学为生动有趣，激发学生的学习兴趣。

中国科学院院士李大潜指出：“数学建模思想的融入宜采用渐进的方式，力争和已有的内容有机的结合，充分体现数学建模思想的引领作用”。例如，人口随时间变化的预测可以用常微分方程模型进行建模，在不同的假设条件下可以得到不同的模型。首先，在仅假设人口增长率与人口总数成正比的情况下得到马尔萨斯（Malthus）模型；接着，改进Malthus模型，加强假设约束条件为：（1）当人口数很小时，增长率与人口数成正比；（2）当人口数很大，达到资源和环境不能承受时，人口数开始减少，即增长率为负的，则得到Logistic人口模型，此时增长率由原来的常数变为人口的函数，模型比Malthus模型更复杂。在Logistic模型基础上进一步增强约束条件，加强假设为：（1）当人口数很大时，增长率为负的；（2）当人口数很小时，增长率也为负的；（3）当人口数为0时，增长率为0，则得到具有Allee效应的Logistic模型。通过一步一步地假设，改进原有模型，使得对应的数学模型随之发生变化。这三个模型都是变量分离方程，都可以采用解析的方法得到方程的解析解，但第三个模型的求解相对复杂。如果仅想了解解的变化形态，可以通过定性分析的方法，借助Matlab、Maple、Mathematics数学软件绘制方程的相图。

三、注重教学过程中的互动

传统的微分方程教学是以教师讲授为主，学生只是被动接受知识。然而，填鸭式的教学使得学生读死书、死读书，留在头脑中的只是零星散落的知识，没有形成系统的理论框架，缺少对知识的真正理解，更谈不上对知识的活学活用。当在已有的教学内容中注入了建模思想的新活力后，教学过程中的师生角色发生了相应的改变。在这个过程中，教师在备课的过程中需要查阅大量与知识模块有关的资料，吸收或编写合理适用的例子用以激发学生兴趣，引导学生分析问题与所用理论知识的联系；教师起到启发和引导作用，而不是简单直接地告诉学生解法；学生是教学过程中的主体，教学模式的改变使其学习观念变被动为主动，在教师帮助下对已有问题进行分析，发挥主观能动性，通过独立思考和相互交流捕捉相应的理论知识，建立已有问题与知识的联系，并经过缜密地思考提出解决问题的方案。学生间的交流和师生间的互动使教学过程生动起来，从注重知识变为注重解决问题的能力。

教学过程的互动对教师和学生也提出了更高的要求，要给学生一杯水，教师必须要有一桶水。因此，要求教师做到以下几点：

1.除了具备扎实的数学分析和高等代数基础外，必须及时了解学科前沿，把最新的科研成果和教学成果带入教学。

2.教师需要把握教学过程由浅入深的度，选择好具有代表性的建模实例。

3.做好整个教学过程的设计，使得学生能快速理解到应用理论解决问题的建模思想的精髓，得到良好的教学效果。

四、结束语

微分方程是对微积分和线性代数最直接的应用，是理论联系实际的重要渠道，需要教师在有限课时内完成理论知识的传授与应用思想的渗透。为了提高教学效率，可以利用现代化的教学手段辅助教学，将基本理论和原理、基本思想、教学案例内容、数学软件命令等通过CAI课件进行展示，以达到更好的效果。

参考文献：

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基金项目：黑龙江省高等学校教改工程项目（JG2013010358）。

作者简介：贾诺（1978-），女，蒙古族，辽宁康平人，博士，副教授，研究方向：微分方程与控制论。

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