不动点原理与递推\迭代数列的极限探析

摘要不动点原理在数学中具有极其重要的地位，如能加以灵活运用，可以解决诸多问题。本文从不动点的定义及定理出发，介绍不动点在递推、迭代数列极限中的应用，得出有些数列用数学分析中的方法求是比较繁琐的，而用我们的不动点原理解则很简洁。

关键词不动点 压缩映射 极限 通项公式

中图分类号：O13文献标识码：A

Fixed Point Theorem and Limit Analysis of

Recurrence and Iteration Progression

HUANG Jinping

(Mathematics School, Chongqing Normal University, Chongqing 400047)

AbstractFixed point theorem has very important position in mathematics, it can solve many problems if be well and flexible used. Tis paper start from the definitions and theorems of fixed point, introduces the its application in recurrence and iteration progression, reults that Some mathematical analysis method in the sequence is much tedious, but fixed point theorem is very simple.

Key wordsfixed point; contraction map; the limit; general term formula

极限的存在与计算问题是数学分析中的重要问题。数学分析中求极限的方法很多，一般的求递推数列的方法是用单调有界原理，但有些递推数列并不单调，不能用单调有界定理求解，如本文的例1。迭代数列的极限问题用不动点定理来解决，不仅体现了数学分析求极限的方法多，而且也为泛函分析的学习打下了基础。如本文中的例2。两种数列都使用不动点原理来求，体现了其方法的优越性。

1 不动点定义及相关定理解读

定义1设f (x)在[a,b]上有定义，则称方程f (x) = x在[a,b]上的解为f (x)在[a,b]上的不动点。

定理1设f (x)是区间[a,b]到自身的一个映射，若x,y∈[a,b]且x≠y，有|f (x) - f (y)|＜|x - y|，若x0∈[a,b],xn+1 = f (xn),n = 0,1,2,3,……则{xn}必收敛。且xn = x0满足x0 = f (x0)，即是映射在区间[a,b]上的唯一不动点。

证明：先证不动点的唯一性。设x0，y0∈[a,b]是f (x)的不动点，且x0≠y0，则有x0 = f (x0)，y0 = f (y0) ，由已知条件有|x0 - y0|=|f (x0) - f (y0)|＜|x0 - y0|，得出矛盾，故不动点是唯一的。

再证不动点的存在性，即证xn+1 = f (xn)收敛。由已知

x,y∈[a,b]且x≠y，有|f (x) - f (y)|＜|x - y|，从而知f (x)连续，且a≤xn≤b(有界)，记

若，使得xN - xN-1 = 0，则有xN+1= f (xN) = f (xN-1 ) = xN，可得xN+1= xN = xN-1 ，有xN+P= xN--1，P = 0,1,2,…,故xn = xN，因此，以下均假设，对任给的n＞1，xn≠xn-1。

当＜1时，此时式(1)对数列{xn}成立，(取 = )，与不动点定理的证明类似，易证{xn}为柯西点列，从而收敛。

当=1时，若，则与已知条件

|f (x) - f (y)|＜|x - y|矛盾。

故xn的子列{xn}， (2)

因为{xn}有界，由致密性定理知，{xn}有收敛子列，不妨仍记作，且，又因为f (x)连续，故

现证明f (x0) = x0，否则，将上述极限代入式(2)，得

从而与已知条件|f (x) - f (y)|＜|x - y|矛盾，故

(3)

记yn = |xn+1 - xn|，由已知条件得yn 单调递减，且有下界，从而yn 收敛，又由式(3)可知，故yn→0，设{xnj}为{xn}的任一收敛子列，且xnj = y0，因为f (x)，故xnj+1 = f (xnj) = f (y0)，又ynj= |xnj+1 -xnj |→0，可得f (y0) = y0。由不动点的唯一性可知y0 = x0，从而{xn}收敛，定理1证毕。

2 不动点定理的应用分析

定理1在解决递推数列极限的存在性和计算问题上有着十分重要的作用，并且其解法显得更加简洁。

例1设x0 = 1, xn+1 = 1+ 设，求xn

易知数列{xn}不是单调的，不能直接用单调有界定理。而通常是用归纳法求出偶数项是单调增的，奇数项是单调减的，再判断偶数项的极限与奇数项的极限一样，最后得出数列的极限。此比较繁琐，因此我们考虑用不动点的定理1解决。

解：因为函数f (x) = 1+ ,x∈[1,2]是单调的函数，可以得出是上到自身的映射。又因为x,y∈[1,2]且x≠y，有

。

因为x,y∈[1,2]，故||＜1

即|f (x) - f (y)|＜|x - y|。故f (x)是[1,2]到自身的压缩映射。由定理1得递推数列：xn+1 = 1+= f (xn), x0 = 1收敛。其极限为x = f (x)1+ 的解 ，解得xn = 。故此递推数列的极限为。

定理2已知数列{xn}满足xn = f (xn-1)，f (x) = ，其中c≠0，ad - bc≠0，设p是f (x)唯一的不动点，则数列是一个等差数列。

例2 设数列{xn}满足，xn+1 = 4 - ，x1 = 4证明数列{xn}收敛并求极限。

证明：构造函数f (x)= 4 - ，易知f (x)有唯一的不动点p = 2，且f (x)可变形为f (x) = ，据定理2知

=+

即数列是以首项为，公差为的等差数列，则对应的通项公式为 =+ (n-1) = ，解出xn

得xn = 2 + ，易知xn = 2

3 结语

综言之，本文应用了不动点的基本定理，求出了两类数列的极限，应用定理1要注意找到满足条件的闭区间[a,b]，并构造相关的压缩映射，这是解决问题的关键所在。定理2则是借助不动点构造新数列，求通项公式，再判断其极限存在否，此时只要满足f (x) = 的形式，且f (x)有唯一的不动点即可。

显然，应用不动点原理来求解这两类关于递推、迭代数列的极限时很方便。

参考文献

[1]龚怀云.应用泛函分析（第一版）[M]西安:西安交通大学出版社,1985.

[2]张学山，刘裕维.高等数学辅导与测试[M].北京:高等教育出版社,2004.

[3]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社,2006.

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