泰勒展式的巧妙运用

摘 要:泰勒展式适用于函数具有二阶或二阶以上连续导数的命题。例如,泰勒展式可以来近似计算与估计误差,解决极限问题,证明不等式,证明中值定理,估计不等式的界等。本文,我们对泰勒展式应用的方法归纳整理,并配有相应的例题。以期举一反三,使我们对泰勒展式有更深刻的认识。

关键词:泰勒展式 泰勒公式 麦克劳林公式 函数极限 中值定理 达布定理

1.前言

1.1泰勒公式:设函数f(x)在点x0处的某邻域内具有n+1阶导数,则对该邻域内异于x0的任意点x,在x0与x之间至少一个,使得f(x)=f(x0)+f(x0)(x-x0)+f n(x0)(x-x0)2+…+f(n)(x0)(x+x0)n+Rn(x) (1)

其中,Rn(x)=xn+1,(在0与x之间),称为f(x)在x0处的n阶泰勒余项.令x0=0,则n阶泰勒公式:f(x)=f(0)+f′(0)x+fn(0)x2+…+fn(0)xn+Rn(x) (2)

其中,Rn(x)=,(在0与x之间),上式(2)称为麦克劳林公式.

1.2 小注:①将(1)式的Rn(x)记作O(x-x0)n,(2)的Rn(x)记作O(xn),则公式(1),(2)就称作带皮亚诺余项的n阶泰勒公式.

②若f(x)具有n阶导数,则f(x)只能展成n+1阶泰勒公式.

2.泰勒展式的应用方法举例

注:泰勒展式法适用于函数f(x)具有二阶或二阶以上连续导数的命题.

2.1泰勒展式法近似计算与估计误差

说明:泰勒公式对已知的函数在给定点的附近用多项式近似表达所给函数的公式.例如:ex,sinx,cosx,ln(x+1),(1+x)n等几个常用的基本初等函数在x=0点的展开式,(泰勒展式).因此,我们可以对其式在误差允许的范围内进行近似计算并进行误差估计.

例2.1.1 计算

分析:我们把改写成==7,先计算,为此,先求函数f(x)=的展开式,若展开到x的一次项:f(x)=f(0)+f′(0)+R2(x),这里R2(x)=x2,(c在0与x之间)

因为,f(x)=,f(x)=,f(x)=-(1+x)-2/3,f(0)=1,f′(0)=1/2

P1(x)=f(0)+f′(0)x=1+x

所以,≈P1(x)=f(0)+f′(0)x=1+x;≈1+.=1.010204;

有了上式的讨论,我们来估计误差:R2(x)=x2=-(1+c)-2/3x2,(c在0与x之间);

R2=(1+c)-2/3≤.≤0.0001=10-4

如果要求误差不超过0.01或0.001.则上述近似公式已达到了要求,如果要求误差不超过10-5,则不能使用上述公式了,还需进一步把f(x)多展开几项,

例如,展开到含有x的二次项:

f(x)=f(0)+f′(0)x+x2+R3(x);R3(x)=,(c在0与 之间)

再进一步算出:

f∥(0)=-1/4,fm(x)=(1+x)-2/3,P2(x)=1+x-x2

由此得≈1+x-x2,≈1+.-.=1.010151

R3(x)==x3=(1+c)=-2/3x3=R3=(1+c)-2/3.≤.≤10-5

因而如果要求误差不超过10-5,则用P2(x)作近似就行,把算出的近似值乘上7就得的近似值.

一般的,如果预先给定一个精确度的要求,例如要求误差不超过正数,则需要考虑不等式Rn(x)=(x-x0)n<=,(例中x0=0).为了达到上述要求,通常这样考虑:如果x预先给定(例1,x=).则需要确定n,使保证上述不等式成立,一般说来,n越大,精确度越高,但计算也较复杂(因为对应的多项式次数也较高).通常在保证满足精确度的要求下,尽量的把n取小些;如果预先已确定n,即预先限定用多少次多项式作近似,则为了能达到所要求的精确度,需从上述不等式确定x的适用范围.

2.2泰勒展式法求函数极限

说明:有些类型的不定型,可以将其中的某些式子利用泰勒公式展开,消去一些项转化为易于求出极限的不定型.

例2.2.1 =

分析:因为分母的次数为4,所以只要把cosx,c-x2/2展开到出现x的4次幂即可.

cosx=1-x2+x4+0(x4);e-x2/2=1-++-+0(x4)

故极限==-.

例2.2.2 设=2005,试求α,β.

解:===;显然由条件β≠0,而-=∞,α-β+1>0,α-β+1=00,α-β+1<0.因此而α-β+1=0;且=2005;

故α=-,β=.

例 2.2.3求limx[1+x-e]

分析:先用洛必达法则,再用泰勒公式.解,略.答案:-.

例2.2.4 设f是x0的附近有n+1阶连续,且:fn+1(x0)≠0,

f(x0+h)=f(x0)+f1(x0)h+…+hn-1+hn+1,0< <1.

证明:θ=1/(n+1)

分析:因为函数f(x)具有二阶或二阶以上连续导数的命题,我们常常想到泰勒展式,所以f(x0+h)的泰勒展式可以求出;又由题中关于f(x0+h)的等式;我们可以发现列出另一关系式来,再由中值定理,通过变形可以得出结果.

证明:因为函数f(x0+h)在x0点的泰勒展式:

f(x0+h)=f(x0)+f(x0)h+…+hn+hn+1,0<θ1<1;

所以,f (n)(x0+θh)=fn(x0)+hn+1;

f (n+1)(x0+θh)-fn(x0)=h;

=f (n+1)(x0+θ2θh)θh=h;

θ=•→(h→0).

思考:设f(x)在(x0-,x0+)内n阶连续可导,f (k)(x0)=0,k=2,3,…n-1且f(n)(x0)≠0,当0

提示:把f(x0+h)在点x0泰勒展开,再对f(x0+h)的展开式求一阶导数,联立两式得关系式,再通过变形可得证.

例2.2.5 证明:设f(x)、g(x)、p(x)有连续的二阶导数,求

f(x) g(x) p(x)f(x+h)g(x+h)p(x+h)f(x+2h) g(x+2h) p(x+2h)

分析:把(x+h),g(x+h),p(x+h),f(x+2h),g(x+2h),p(x+2h)分别在点x处泰勒展开.代入原式,并由行列式的性质易得.证,略.

2.3 泰勒展式法证明中值定理

说明:泰勒公式法证明中值定理适用于函数f(x)具有二阶或二阶以上连续导数的命题.首先,将函数在所需点处进行泰勒展开(一般是根据右边表达式确定展开点);然后,对泰勒余项进行适当处理(一般是利用介值定理).

例2.3.1 设f∈c[a,b],在(a,b)内二阶可导;

证明:c∈(a,b)使f(a)-2f()+f(b)=f∥(c);

分析:函数f(x)具有二阶或二阶以上连续导数的命题,想到泰勒展开.首先,将函数f(x)在所需点处进行泰勒展开;然后,处理如下:将a,b分别代入泰勒展式,得式1,2.最后用达布定理处理余项.

证明:将函数f(x)在点处进行泰勒展开,并代入a,b得:

f(a)=f+f′a-+a-2 其中,a

f(b)+f+f′a-+b-2其中,

上述两式左右相加得f(a)+f(b)-2f=f∥(c).

例2.3.2 设函数f(x)在(a,b)上具有连续的二阶导数;证明:在(a,b)内存在一点,使∫abf(x)dx=(b-a)f+(b-a)3f∥()

分析:定积分的证明,应先作辅助函数F(x)=∫axf(t)dt,再按上述说明的步骤进行展开与处理.证明.

证明:令F(x)=∫axf(t)dt,则有f(a)=0,F/(x)=f(x),F∥(x)=f/(x),F///(x)=f(x)

F(x)在点x0=处的二阶泰勒公式为:

F(x)=F+F/x-+Fx-2+F///()x-3

=F+fx-+x-2f/+F//()x-3;

(其中,在x与之间);分别将x=b,x=a代入上式,并相减,则得:F(b)-F(a)=(b-a)f+(b-a)3;(其中,1,2分别在与b,a与之间);不妨设f∥(1)

故∫abf(x)dx=F(b)-F(a)=(b-a)f+(b-a)3f∥().

例2.3.3 设f(x)在(a,b)上二次连续可导证明:x∈(a,b),∈(a,b)使

-=f∥()(x-b)

证明:令F(x)=,x∈(a,b),则F在(a,b)上可导,

由Lagrange定理,F(x)-F(b)=F/(η)(x-b),η∈(a,b),

F/(η)=;f(a)=f(η)+F/(η)(a-η)+f∥()(a-η)2

∴-=f∥()(x-b).

2.4泰勒展式法证明不等式

说明:用泰勒展式证明不等式,适用于题设中函数f(x)二阶和二阶以上可导,且最高阶导数的大小或上下界可知的命题.首先,写出比最高阶导数低一阶的函数的泰勒展式;然后,恰当选择等式两边的x与x0(不要以为展开点一定以x0为最适,有时以x为佳);最后,根据所给的最高阶导数的大小或上下界对展开式进行放缩)

例2.4.1 证明:对(a,b)内的任何n个实数,xi(i=1,2,…n),ki>0,ki=1;有fkixi≥kif(xi)

分析:将f在x0=kixi展开,并代入xi;f(xi)=f(x0)+f/(x0)(xi-x0)+(xi-x0)2≤f(x0)+f/(x0)(xi-x0);(其中,ci在x0与xi之间;等号成立x0=x1);

所以,kif(xi)≤kif(x0)+f/(x0)ki(xi-x0)=f(x0)+f/(x0)ki(xi-x0)

=f(x0)+f/(x0)kixi-x0=f(x0);所以,fkixi≥kif(xi).

例2.4.2 设=1,且f//(x)>0,证明:f(x)>x

证明:由=1,可知f(0)=0;又f(0)=1,f(x)二阶可导,

所以,f(x)在点x=0处可展成一阶泰勒公式:f(x)=f(0)+f/(0)x+f//();

由于f//(x)>0,所以,f//()>0;于是,f(x)>f(0)+f/(0)x=x;即f(x)>x.

例2.4.3 设f//(x)∈c(a,b),f//(x)<0,则∫abf(x)dx≤(b-a)f()

分析:x∈(a,b),f(x)=f+f/x-+x-2≤f+f/x-,

∫abf(x)dx≤(b-a)f+∫abf/x-dx=(b-a)f.

2.5泰勒展式法估计不等式的界

说明:类似不等式的证明

例2.5.1 设f(x)在(0,1)上二次可导,且f(1)=f(0)=0,f(x)=-1,则∈(0.1),使f//(x)≥8

证明:∵f∈c(a,b),f(1)=f(0)=0,f(x)=-1

∴η∈(0,1),使f(η)=f(x)=-1,f/(η)=0

将f在η处展开,并代入0,1得:f(0)=f/(η)(-η)+(-η)2+f(η);

f(1)=f/(η)(-η)+(-η)2+f(η)(0<1<η<2<1);

f/()=;f∥(2)=;(0<η<1);

当0<η<时,f∥(1)=≥8,=1;

当<η<1时,f∥(2)=≥8,=2;∴f∥()≥8.

例2.5.2 设f(x)在(a,b)上二阶可导,f/(a)=f/(b)=0;证明:∈(a,b)使f∥()≥f (b)-f (a)

证明:将f在a,b点展开,可得

f=f(a)+f/(a)-a+-a2,a<1<

f=f(b)+f/(b)-b+-b2,<2

上两式相减得f(b)-f(a)=(f(1)-f(2))(b-a)2f(b)-f(a)≤≤max](1),f∥(2)=f∥()

3.结束篇

“会当凌绝顶,一览众山小”。相信巧妙地掌握了泰勒展式的以上几种方法,等于站在高的起点上,再遇到类似的题目解起来一定会游刃有余。

参考文献:

1.刘一鸣,周家云,解际太.《数学分析》上册.山东大学出版社.1993年版

2.刘立山等.《数学分析辅导讲义》.2004年版

3.陈文登,黄先开.《高等数学复习指南》,世界图书出版公司.2004年版

4.钱吉林等《数学分析解题精粹》.崇文书局.2003年版

5.华东师范大学数学系.《数学分析》上册.第二版.高等教育出版社.1991

6.周性伟、刘立民,《数学分析》上册.南开大学出版社.1991

7.游兆勇《高等数学的解题方法和技巧(1)》陕西科学技术出版社.2002

8.复旦大学数学系.《数学分析》.高等教育出版社(第二版).1992

9.邓东皋,尹小玲编著.《数学分析简明教程》上册.高等教育出版社.2003

10.同济大学数学系编著.《高等数学》上册.同济大学出版.2003

作者单位:山东日照广播电视大学