大物作业（完整）
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©物理系_2015_09 理 《大学物理 AII 》作业
No.10
平衡态的气体动理论
班级 ________ 学号 ________ 姓名 _________ 成绩 _______
一、判断题：
：（ （用“T”表示正确和“F”表示错误 ）
[
F F
]
1．温度的高低反映物质分子运动的剧烈程度，温度高说明每个气体分子运动的速率大。
解 ：温度是个统计概念，是大量分子热运动的集体表现。把一个具有统计意义的概念同单个分子的运动对应起来是错误的。
[
F F
]
2．若系统处于某温度不变的平衡态，各气体分子的热运动速率趋于同一值。
解 ：根据麦克斯韦速率分布律，平衡态时气体分子热运动速率从 0-∞都有可能。所以上述描述错误。
[
F
]
3． 21d ) (vvv v vf ，表示在速率v 1 ～v 2 区间内分子的平均速率。
解：2 1 ~ vv 区间的分子数为
v v f N Nvvv vd212 1 ~
该区间内分子速率之和为 N N v d v v vfvvd21，所以该区间分子的平均速率为
212121212 1 dddddvvvvvvvvv v v v fv v vfv v f Nv v vf NNN v
[
F F
]
3．若 ) (v f 为气体分子速率分布函数，N 为分子总数，则 21vvv ) v ( Nf d 表示在速率 v 1 ～v 2 区间内的分子出现的概率。
[
T
]
4．有两种组成成分和状态不同的理想气体，若它们的平均速率相等，则它们的最概然速率和方均根速率也相等。
解：根据三种速率的定义可以判断。P265 [
F
]
5．在气体动理论中，有时视理想气体分子为有质量而无大小的质点，有时视为有一定大小(体积)的刚性小球，这主要取决于组成气体分子结构的不同。
解：选择模型不同主要取决于所研究的问题。
二 、 选择题：
：
1．对于麦克斯韦速率分布中最概然速率的正确理解，应是：
.
[ D ] (A)
最概然速率为分子速率分布中大部分气体分子具有的速率 (B)
最概然速率为分子速率分布中速率的最大值 (C)
最概然速率为分子速率分布函数的极大值
(D)
最概然速率附近单位速率区间内的分子数最多 ：
解：“最概然”的意思是发生的可能性最大。如果吧整个速率区间范围分成许多相等的小区间，则分布在最概然速率所在区间的分子比率最大。而分子速率分布中的最大速率应为无穷大。因此答案为 D。
2．n mol 单原子分子的理想气体内能为：
[ B ] (A)
kT23n
(B)
RT23n
(C) kT21n
(D) RT21n
解：
：1mol 理想气体内能是：
RTi2，对于单原子气体而言，i=3，且是 n mol，所以 B正确。
3．麦克斯韦速率分布曲线如图所示，图中 A、B 两部分面积相等，则该图表示 [ D ] (A)
0v 为最概然速率 (B)
0v 为平均速率
(C)
0v 为方均根速率(D)
速率大于和小于0v 的分子数各占一半
解 解：因为
v v fNN vvv vd212 1 由题意
v v f v v fvvd d000 ， 说明
N N Nv v210 00
4. 下列各图所示的速率分布曲线，哪一图中的两条曲线是同一温度下氮气和氦气的分子速率分布曲线？ 0vA v fBOv
.
[
B
]
解：由归一化条件 1 d0v v f ，说明f (v)曲线下面积都等于1。若pv 大，则pv v 的 ) (v f将减小。而在同一温度下，氮气和氦气的pv 不等，所以(D)不对。
(A)、(C)中pv 大 ) (v f没有减小，所以(A)、(C)都不对。
5．在一个容积不变的容器中，储有一定量的理想气体，温度为0T 时，气体分子的平均速率为0v ，分子平均碰撞次数为0Z ，平均自由程为0 。当气体温度升高为04T 时，气体分子的平均速率为 v ，平均碰撞次数 z 和平均自由程 分别为：
［
B
］ (A) 04v v ，04Z Z ，04
(B) 02v v ，02Z Z ，0
(C) 02v v ，02Z Z ，04
(D) 04v v ，02Z Z ，0
解：理想气体体积不变时其分子数数密度 n 不变，而平均速率 v ∝ T ，则由平均自由程公式n d221 和平均碰撞频率公式 v n d z22 知：选 B
三 、 填空题：
：
1． 可视为刚性单原子分子和刚性双原子分子的两种气体，在相同的温度、压强下，它们分子的平均动能
不相等
，平均平动动能
相等。（填：相等、不相等）
解：分子的平均总动能为：
kTiK2 ，而分子的平均平动动能为：
kTtt2 ，对于刚性单原子分子和刚性双原子分子而言，平动自由度都是 3 t ，而对于总的自由度而言，单原子分子的 3 t i ，而刚性双原子分子 5 r t i ，所以，他们的平均总动能不相等，而平均平动动能是相等的。
.
2．在标准状态下, 若氧气（视为刚性双原子分子的理想气体）和氦气的体积比为21，求其内能之比
5:6
。
解：理想气体的内能为：
RTiMmE2. ,根据理想气体的状态方程：
RTMmpV ， pViRTiMmE2 2.
氧气是双原子分子， 5 i ，而氦气是单原子分子， 3 i ，标准状态下，二者压强相等，于是：6521.35.2 2 2 HeOHeOHeOVViiEE 3.在一容积不变的封闭容器内理想气体分子的平均速率若提高为原来的 2 倍，则温度为原来的
4
倍，压强为原来的
4
倍。
解：理想气体分子的平均速率为：mkTv8 ，如果平均速率提高为原来的 2 倍，则温度为原来的 4 倍；根据理想气体状态方程：
nkT p ，分子数密度 n 不变，那么压强也变为原来的 4 倍。所以选 D。
4．图示的曲线分别表示了氢气和氦气在同一温度下的分子速率的分布情况．由图可知，氦气分子的最概然速率为_____________，氢气分子的最概然速率为_______________。
解 解：因
m mkTv p1 2 ，氦气分子质量大于氢气分子 2 倍 故氦气分子最概然速率为 1s m 10002 氦mkTv p
氢气分子最概然速率为 12s m 1414 2 10002 2 氦氢mpkTmkTv
再由归一化条件 1 d0v v f ，说明题图左边曲线为氦气分子速率分布曲线，右边曲线为氢气分子速率分布曲线。
5．在容积 V = 4×103 m 3 的容器中，装有压强 p = 5×102P a 的理想气体，则容器中气体v (m/s) f(v)O1000
.
分子的平均平动动能总和为
3
J。
解：根据理想气体的状态方程：kTpVN kTVNnkT p
容 器 中 气 体 分 子 的 平 均 平 动 动 能 总 和 为 ：J 3 10 4 10 5232323.3 2 pV kT N Nt
.
四 、计算题：
：
1．设 N 个粒子系统的速率分布函数为：
（1）画出分布函数图； （2）用 N 和v定出常量 K； （3）用v表示出算术平均速率和方均根速率。
解 解：（1）由 v NNv fdd得：
分布函数 v vv vNKv f00，分布函数图如 （2）由归一化条件 1 d0v v f有
1 d 0 d0 vvv vNK
即有vNK （3）算术平均速率 vv v fvvvv v f Nv v vf NNN vvv 21dd1dddd000000 由 2002002002231dd1ddddvv v fvvvv v f Nv v f v NNN vvv 有方均根速率 v v v 31312 2
2. 一容积为 10 cm 3 的电子管，当温度为 300 K 时，用真空泵把管内空气抽成压强为 5×10 -6
mmHg 的高真空，问此时管内有多少个空气分子？这些空气分子的平均平动动能的总和是多少？平均转动动能的总和是多少？平均动能的总和是多少？(已知 760 mmHg＝1.013×10 5
Pa，空气分子可认为是刚性双原子分子，波尔兹曼常量 k =1.38×10-23
J/K)
) ( 0 d) , 0 ( d dv v NK v v v K Nvv 为常量 v fvvNK
.
解：设管内总分子数为 N 。
由状态方程 kTVNnkT p
有
(1) 管内空气分子数为
12236 5 610 61 . 1300 10 38 . 110 10 760 / 10 013 . 1 10 5 kTpVN
个 由能量均分定律有 (2) 分子的平均平动动能的总和 J 10 00 . 1 300 10 38 . 1 10 61 . 123238 23 12 kT N E t
(3) 分子的平均转动动能的总和
J 10 67 . 0 300 10 38 . 1 10 61 . 122228 23 12 kT N E r
(4) 分子的平均动能的总和 J 10 67 . 1 300 10 38 . 1 10 61 . 125258 23 12 kT N E k
3．今测得温度为 C 151 t ，压强为 m 76 . 01 p 汞柱高时，氩分子和氖分子的平均自由程分别为：
m 10 7 . 68Ar 和 m 10 2 . 138N e ，求：
(1) 氖分子和氩分子有效直径之比 Ar Ned / d ? (2) 温度为 C 202 t ，压强为 m 15 . 02 p 汞柱高时，氩分子的平均自由程Ar ?
解 解：(1) 由平均自由程公式 p dkT22 ，得 氖分子和氩分子有效直径之比 712 . 010 2 . 1310 7 . 688NArArNe edd (2) 氩分子的平均自由程 m 10 45 . 3 10 7 . 615 . 0 28876 . 0 2937 8Ar2112Ar ppTT
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