解三角形大题及答案（2022年）
下面是小编为大家整理的解三角形大题及答案（2022年）,供大家参考。
解三角形大题及答案
BA
BC
a
1 1
． （
2013
大
纲
）
设
ABC 的内角
A, B, C 的对边分别为
a , b , c , , ( a
b
c )( a
b
c )
ac . .
(I)
求B
(II)
若sin A sin C , , 求 C . .
4
2 2
． ． （
2013
四川）
在 ABC
中, , 角
A ,
B ,
C
的对边分别为
a ,
b ,
c
, , 且
A B 3 . .
2cos 2
cos B
sin( A
B )sin B
cos( A
C )
2
5
(Ⅰ) 求 cos A 的值; ;
(Ⅱ) 若 a
4
, , b
5
, , 求向量 u
ur
在uuru 方向上的投影. .
3 3 ． ． （ 2013
山东 ）
设 △
ABC
的内角 A , B , C
所对的边分别为 a , b , c
, ,
且 a
c
6 , , b
2 , cos B
7 . .
9
(Ⅰ) 求 a , c
的值; ;
(Ⅱ) 求 sin( A
B )
的 值. .
在
中, , 角
, ,
, ,
对应的边分别是
, ,
, ,
. .
4 4 （ ． 2013
湖北）
已知 cos2 A 3cos B C 1 . (I) ) 求角 A 的大小; ;
(II) 若 ABC 的面积 S 5
, , b
5 , , 求 sin B sin C 的值. .
知
(Ⅰ)求
; (Ⅱ)若
. .
, , 求 △
面积的最大 值. .
6 6 ． ． （ 2013 3 新课标 1 1 ）
如图, , 在 △ABC
3 1
2
3
5 5 ． ． （ 2013
新课标）
△
在内角
的对边分别为
, , 已
ABC A , B , C a , b , c
BA
BC
5
在
中, , 角
的对边分别为
, ,
4 4 （ ． 2013
年高考四川卷 （理）
）
）
2cos 2
A
B cos B
sin( A
B )sin B
cos( A
C )
3 . .
2 5
(Ⅰ) 求 cos A 的值; ;
(Ⅱ) 若 a
4
, , b
5
, , 求向量 u
ur
在uuru 方向上的投影. .
【答案】
解: : 由
2cos 2
A B
cos B
sin
A B sin B
cos
A C 3 , , 得
2 5
cos
A
B 1
cos
B
sin
A
B sin
B
cos
B
3
, ,
即cos A B cos B sin A B sin B 3 , ,
5
则cos A
B
B
3
5
, , 即 cos A 3
5
由cos A 3 ,0 A 5
, , 得 sin A 4 , ,
5
2
且
2
1
cos 2 B
4 2
9
2
1 sin 2 A 4
7
2
1
由正弦定 理, , 有
a b , , 所以, , sin B b sin A
. .
sin A sin B a
2
由题知 a
b , , 则A
B , , 故B
. .
4
根据余弦定理, , 有 2
3 , ,
5 2
c 2
2
5 c
5 解得 c
1 或c
7 ( ( 舍去 ).
故向量 u
ur
在uu r u 方向上的投影为
u
u r
BA BC BA cos B 2
3 35 5 ． ． （ 2013
年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案）
）
）
设 △
ABC
的
内
角
A , B , C
所
对
的
边
分
别
为
a , b , c , 且
a
c
6 , , b
2 , ,
cos B
7 . .
9
(Ⅰ) 求 a , c
的值; ;
(Ⅱ) 求 sin( A
B )
的 值. .
解 :(Ⅰ) 由余弦定理
【
答
案
】
b 2
a
c 2
2 ac (1
cos
B )
, ,
b 2
a 2
c 2
2 ac cos B , 得
又 a
c
6
, , b
2
, ,
cos B 9
, , 所以
ac
9
, , 解得
a
3 , ,
c
3 . .
(Ⅱ) 在 △
ABC
中, , sin B , ,
由正弦定理得
sin A a sin B
, ,
b
3
因 为 a
c
, , 所 以A 为锐 角, , 所 以cos A 3
sin( A B) sin A cos B cos A sin B 10
27
已知函数
3 36 6 ． ． （ 2013
年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（ 纯 WORD
版）
）
）
2
2
2
因此
. .
2
4
f (x) 4cos x sin x ( 0) 的最小正周期为 . .
(Ⅰ) 求
的值; ;
(Ⅱ) 讨论
f (x) 在区 间 0,2 上 的单调 性. .
解
: :
【
答
案
】
(Ⅰ)
2 cos x (sin x
cos x )
2(sin 2 x
cos 2 x
1)
2 sin(2 x
) 4
2
1 . . 所以
f ( x )
2 sin(2 x
) 2,
1
2 (Ⅱ) 当 x 4
[0,
] 时， (2 x
)
[
,
] ，令 2 x
解得 x
；
2 4 4 4 4 2 8
所以
y
f ( x )在[0,
]上单调递增；在[
，
]上单调递减.
8 8 2
已知函数
3 37 7 ． ． （ 2013
年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（ 纯 WORD
版）
）
）
标伸长为原来的
2 倍( ( 纵坐标不变 ), 在将所得图
种顺序成等差数列? ? 若存在, , 请确定
的个数; ; 若不存在, , 说明理由
2
的周期为
, , 图像的一个对
像向右平移
个单位长度后得到函数
的图像. .
称中心为
, , 将函数
图像上的所有点的横坐
(1) 求函数
与
的解析式; ;
(2) 是否存在
, , 使得
按照某
(3) 求实数
与正整数
, , 使得
在
内恰有
2013 个零点. .
【答案】
得
解 :(Ⅰ) 由函数
的周期为
, ,
, ,
将函数
图象上所有点的横坐标伸长到原来的
倍( (
纵坐标不变
) )
后可得
的图象
, ,
再将
所以
有解
设
, ,
则
因为
, , 所以
, ,
在
内单调递增
又
, ,
又曲线
的一个对称中心为
, ,
故
, , 得
, , 所以
的图象向右平移
个单位长度后得到函数
(Ⅱ) 当
时, ,
, ,
问题转化为方程
在
内是否
且函数
的图象连续不断
, , 故可知函数
在
(Ⅲ) 依题 意, ,
, , 令
当
, , 即
时, ,
, , 从而
不是
方程
的 解, , 所以方程
等价于关于
的
现研究
时方程解的情况
则问题转化为研究直线
的交点情况
与 曲 线
在
当
变化 时, ,
和
变化情况如下表
当
且
趋近于
时 , 当
且
趋近于
时 , 当
且
趋近于
时, ,
趋向于趋向于趋向于
内存在唯一零点
, ,
即存在唯一的
满足题意
方程
, ,
令
, ,
, , 令
, , 得
或
a b 【
答
案
】
当
且
趋近于
时, ,
趋向于
故当
时, , 直线
与曲线
在
内有无交
点, , 在
内有
个交点; ;
当
时, , 直线
与曲线
在
内有
个交
点, , 在
内无交点; ;
当
点, , 在
时, , 直线
与曲线
在
内有
个交点
内有
个交
线
在
内总有偶数个交 点, , 从而不存在正
整数
, , 使得直线
与曲线
在
内恰有
恰有
个零点
3 38 8 ． ． （ 2013
年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）
）
（已校对纯
WORD
版含附加题）
）
）
本
小
题
满
分
14
分
. 已
知
r a＝(cos ,sin r
) ， b
(cos
,sin
) , , 0
. .
(1)
若
r r | a b |, , 求 证: :
r r
r c
(0,1)
r r r a b c , 的值. .
解
:(1)∵
| a b | ∴ | a b | 2 2 即
2 2 2 , ,
a b a 2ab b 2 2
2
由函数
的周期性, , 可知当
时, , 直线
与曲
个交点 ; 当
时 , 直线
与曲线
在
内有
个交点, , 由周期性, ,
, , 所以
综上, , 当
, ,
时, , 函数
在
内
;(2) 设
, , 若
, , 求
∵ ∴
∴
, ,
∴ 2
又
a | a | 2
cos 2
sin 2
1
ab
0 a
b
b | b | 2
cos 2
sin 2
1 2
2 ab
2
(2)∵
a
b
(cos
cos ,sin
sin )
(0,1) ∴
cos
cos
0
即 cos cos sin
sin
1
sin
1
sin 两 边 分别平方再
相加得
: :
1 2 2 sin ∴
sin 1
2
∴sin
1
2
∵ 0 ∴ 5 ,
1 6 6
已知函数
3 39 9 ． ． （ 2013
年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（ 纯 WORD
版）
）
）
, ,
. .
f ( x ) cos x x R
12 f
cos
3 , ,
3 , 2 , , 求
. .
5
2 f
2 3 【答案】
(Ⅰ)
f
1 ; ;
(Ⅱ)
cos 2
sin 2 f
2 3 cos
2
3
12 cos
2 4 因为 cos
3 , ,
3 , 2
, , 所以 sin
4 , ,
5
2
5
所以 sin 2
2sin
cos
24 , , cos 2
cos 2
sin 2
7
25 25
所以
cos2
sin 2
7
24
17 . .
f
2 3
25
25
25
2
2
2
(Ⅰ)
求
的
值
; ;
(Ⅱ)
若
6
2 cos
2 cos 6
2 cos
6 12 4
4
3
3
3
4
C
C
C
C
AC 50 m / min
已知函数
4 40 0 ． ． （ 2013
年高考湖南卷（理）
）
）
f ( x )
sin( x
)
cos( x
). g ( x )
2sin 2
6 3 2
(I)
若 是第一象限角, , 且
f (
) 3 3 . . 求g (
) 的值; ;
5
(II)
求使
成立的
x x
的取值集 合. .
f ( x ) g ( x )
解
: :
【
答
案
】
(I)
f (x)
3 sin x
1 cos x
1 cos x
3 sin x 3 sin x f ( ) 3 sin
3 . .
2 2 2 2 5
sin
,
(0, )
cos
,且 g ( )
2sin 2
1
cos
5 2 5 2 5
(II)
f ( x )
g ( x ) 1
1
3 sin x 1 cos x sin x
cos x sin(x
)
2 2 6 2
x [2k ,2k 5 ] x [2k ,2k 2 ], k Z 6 6 6 3
4 41 1 ． ． （ 2013
年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）
）
（已校对纯
WORD
版含附加题）
）
）
本小题满分
16
分. . 如图, , 游客从某旅游景区的景
点
处下 ft 至
处有两种路径. . 一种是从
沿直线
A A
步行到
, , 另一种是先从
沿索道乘缆车到
, , 然
A B 后从
沿直线步行到
. . 现有甲. . 乙两位游客从
B A 处下 ft, 甲沿
匀速步 行, , 速度为
. . 在甲出
发
后, , 乙从
乘缆车到
, , 在
处停留
后, , 再
2 min A B B 1min
从匀速步行到
. . 假设缆车匀速直线运动的速度为
130m / min , ft
路
AC 长
为
1260m , 经
测
量, , cos A 12 , , cosC 3 . .
13 5
(1)
求索道 AB 的长; ;
x . .
(2)
问乙出发多少分钟后
, , 乙在缆车上与甲的距
离最短? ?
(3)
为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3
分钟, , 乙步行的速度应控制在什么范围内? ?
A A
B B
C C
解 :(1)∵
cos A 12 , , cosC 3
【答案】
13 5
∴
A、C ∴ sinA 5 , , sinC 4
（0， ）
2 13 5
∴sin B
sin
（ A
C ）
sin （ A
C ）
sin A cos C
cos A sin C
63
65
根据
AB AC 得AB AC sin C
1040 m
sinC sinB sinB
(2)
设乙出发
t t
分钟后 , 甲 . 乙距离为
d,
则
d 2
(130 t ) 2
(100
50 t ) 2
2 130 t
(100
50 t )
12
13
d 2
200(37 t 2
70 t
50)
∵ 0
t
1040 即0
t
8
130
∴ t
35
37
时, , 即乙出发 35
37
分钟后, , 乙在缆车上与甲的
距离最短. .
(3) ) 由正弦定理
BC
AC 得BC AC
sin A 1260 5
500 (m)
sinA sinB
sinB
63 13 65
∴
500
v
710
50
乙从
B 出发时, , 甲已经走了
50(2+8+1)=550(m),
还需走
710
m m
才能到达
C C
设乙的步行速度为
V V
m / min , , 则
3
∴
3
500
710
3 ∴ 1250
v 625
v 50 43
14
∴ 为使两位游客在
C 处互相等待的时间不超过
3
分 钟, , 乙步行的速度应控制 在1250 625
范围内
43 , 14 法二: : 解 :(1) ) 如图作
BD ⊥ CA
于点
D D , 设
BD =20 k k , 则
DC =25 k k , , AD =48 k k , AB =52 k k , , 由
AC =63 k k =1260m,
知: : AB =52 k k =1040m.
(2)
设乙出发
x x
分钟后到达点
M M , 此时甲到达
N N
点, , 如图所示. .
则: : AM =130 x x , , AN =50( x x +2),
由余弦定理得
: : M MN N 2 2 = = A AM M 2 2 + + A AN N 2 2 - - 2 2
A AM M · A AN N cos s A A =7400 x x 2 2 - - 14000
x x +10000,
其中
0≤ x x ≤8, 当 x x = = 35
37
(min) ) 时, , MN
最小, , 此时乙
在缆车上与甲的距离最短. .
(3) 由 (1) 知: : BC =500m, 甲到
C 用时: : 1260 = = 126
50
5 5
(min).
若甲等乙
3 分钟, , 则乙到
C 用时: : 126
141
+3=
86
(min), , 在
BC
上用时 : 5 5
5 5
5 5
(min) .
86 1250
此时乙的速度最小, , 且为 :500÷
5 5
= 43
m/min.
若乙等甲
3 分钟, , 则乙到
C 用时: : 126
111
- - 3=
56
(min), , 在
BC
上用时 : 5 5
5 5
5 5
(min) .
56 625
此时乙的速度最大, , 且为 :500÷
5 5
= =
14
m/min.
1250 625
故乙步行的速度应控制在 [ 43
, ,
14
] ] 范围内. .
M M
A A
B B
N N
D D
C C
4 42 2 ． ． （ 2013
年高考湖北卷（理）
）
）
在...