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二项式定理精品课程公开课(全文完整)

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二项式定理精品课程公开课(全文完整)

 

 温州华侨职专精品教案设计

 授课教师 孙裕淼 学科 数学 课题名称 正弦定理 授课课时 1 课时 授课形式 启发引导 授课班级 20 会计,20 保育,20 数媒 授课时间 11 月 24 日 教材分析

 从分析4( ) a b  展开式的计算入手,引入二项式定理.教学要求是了解二项式定理的概念,二项式展开式的特征及其通项公式.结合引例,介绍二项展开式的特征:(1)展开式共有 1 n 项;(2)各项的次数都是 n,及 a 与 b 的指数和为 n;并且,第一个字母 a 依照降幂顺序,第二个字母 b 依照升幂顺序;(3)各项的系数依次为0 1 2C ,C ,C , ,C nn n n n .例 1 是写成展开式的训练题,基本方法是求出对应的二项式系数,依照规律,顺次书写.例 2 与例 3 都是通项公式的应用问题.其基本思路都是利用已知条件,寻求字母的指数满足的条件,得到等式,确定 m 的值.

  学情分析

 学生喜欢可视化可操作性的学习内容,学生的自主探究活动已经有了一定的基础。

 教学目标 知识与能力 目标:

 了解二项式定理的概念,二项式展开式的特征及其通项公式. 过程与方法 目标:

 经历公式推导的过程,体验由特殊到一般的数学思想方法的应用;进一步发展学生类比、归纳、猜想等推理能力. 情感态度与价值观 目标:

 ①培养自主探究意思、合作精神,体验二项式定理的发现和创造历程,感受和体验数学的简洁美、和谐美和对称美。

 ②培养学生的探究精神,渗透雷锋实事求是的科学态度和锲而不舍的求学精神。

 教学重点 二项式定理 教学难点

 二项式定理公式的运用

 教学重难点突破策略 为了充分调动学生的积极性和主动性, 在教学中借鉴布鲁纳的发现学习理论,采取引导发现法,结合问题式教学, 构建数学模型,引导学生进行观察讨论、归纳总结,鼓励学生自做自评。鼓励学生提出问题,引导学生通过分析、探索、尝试找到问题的答案,培养学生发现问题,提出问题,解决问题和应用的能力。通过小组合作探究、互帮互助,要学习弘扬雷锋服务人民、助人为乐的奉献精神。

 教 教

  学

 过 过

  程 教师 师 行为 为 学生 生 行为 为 教学 学 意图 图 一、 创设情境

 若今天是星期一,那 21 天之后是星期几? 100 天之后呢? 3002 天之后呢? 3002 除以 7 余数是多少?      100 100 100 3 300) 7 1 ( 8 ) 2 ( 2

  二、 新课探究 我们知道,如果 a,b 是任意实数,那么 2 2 2) 2 a b a ab b     ( ,

 3 3 2 2 3) 3 3 a b a a b ab b      ( .

 下面计算

 从有趣的问题引入,引发学生积极思考

  思考,回顾,尝试解决

 数学源于生活,并应用于生活。

 教 教

  学

 过 过

  程 教师 师 行为 为 学生 生 行为 为 教学 学 意图 图 4) ( )( )( )( ) a b a b a b a b a b       ( .

 显然,计算结果中的各项都是从每个括号里任取一个字母的乘积,因而各项都是 4 次式,其所含字母的形式分别为 4 3 2 2 3 4a a b a b ab b , , , ,

 在上面 4 个括号中,每个都不取 b 的情况有 1 种,即04C 种,所以4a 的系数是04C ;恰有 1 个取 b 的情况有14C 种,所以3a b 的系数是14C ;恰有 2 个取 b 的情况有24C 种,所以2 2a b 的系数是24C ;恰有 3 个取 b 的情况有34C 种,所以3a b 的系数是34C ;恰有 4 个取 b的情况有44C 种,所以4b 的系数是44C .

 因此 4 0 4 1 3 2 2 2 3 3 4 44 4 4 4 4) C C C C C a b a a b a b ab b       ( .

 播放 课件 质疑

  观看 课件 思考

  引导 启发学生得出结果

 教 教

  学

 过 过

  程 教师 师 行为 为 学生 生 行为 为 教学 学 意图 图 利用这种方法可以得到二项式定理:

 设 a , b 是任意实数,n 是任意给定的正整数,则 0 1 1( ) C C C C (3.7)n n n m n m m n nn n n na b a a b a b b          

 公式(3.7)右边的多项式叫 ( ) n a b  的二项展开式,共有 n+1项,其中每一项的系数 C mn (m=0,1,2…n)叫该项的二项式系数,第 m+1 项 C mn m mn ab叫做二项式的通项.记作1 mT ,由公式可以看出,二项展开式的通项为 1 =C(3.8)m n m mm nT a b  

  由二项式定理可以得到:

 1( ) a b  …………

  1

 1

 2( ) a b  …………

  1

 2

 1

  3( ) a b  …………

  1

 3

  3

  1

 总结 归纳

  合作探究 思考

  引导学生发现解决问题方法

 教 教

  学

 过 过

  程 教师 师 行为 为 学生 生 行为 为 教学 学 意图 图 4( ) a b  …………

  1

 4

  6

  4

  1

 5( ) a b  …………

 1

  5

 10

 10

  5

 1 ……

  …… 上述二项式系数列成的表,称为杨辉三角. 是我国宋朝时的数学家杨辉于 1261 年所著《详解九章算法》中列出的图表. 可以看出二项式系数具有下列性质:

 (1)每一行的两端都是 1,其余每个数都是它“肩上”两个数的和;

 (2)每一行中与首末两端“等距离”的两个数相等; (3)如果二项式 ( ) n a b  的幂指数 n 是偶数,那么它的展开式中间一项的二项式系数最大;如果 n 是奇数,那么二项展开式中间两项的二项式系数最大并且相等.

 分析 关键 词语

 理解 记忆

 三、拓展探究 题 问题 1

 写出5) a b  ( 的展开式.

  解

 由于0 1 4 2 3 55 5 5 5 5 5C 1 C C 5 C C 10 C 1       , , , . 所以

  引领

 讲解 说明

  观察

 思考

 注意 观察 学生 是否

 教 教

  学

 过 过

  程 教师 师 行为 为 学生 生 行为 为 教学 学 意图 图 5 0 5 1 4 2 3 2 3 2 3 4 4 5 55 5 5 5 5 55 4 3 2 2 3 4 5) C C C C C C5 10 10 5a b a a b a b a b ab ba a b a b a b ab b           (. 题 问题 2 求92) x ( 的二项展开式中6x 的系数.

  解

 92) x ( 的展开式的通项公式为

  9 91 9 9C ( 2) C ( 1) 2m m m m m m mmT x x    

 由 9-m=6,得 m=3.即二项展开式中含6x 的项为第 4 项.故这一项的系数是 3 3 399 8 7C ( 1) 2 ( 8) 6723 2 1         .

 【说明】

  要区别二项展开式中,某项的二项式系数与这一项的系数,它们是两个不同的概念.如本例中第 4 项为3 9 3 34 9C ( 2) T x  , 其二项式系数是39C 84  ; 而第 4 项的系数是指6x 的系数3 39C ( 2) 672  =- .

  引领

  讲解 说明

 引领

 分析

 主动 求解

  观察

  思考

 主动 求解

 观察

 思考

  理解 知识 点

 注意 观察 学生 是否 理解 知识 点

 教 教

  学

 过 过

  程 教师 师 行为 为 学生 生 行为 为 教学 学 意图 图

 问题 3

  求101( ) xx 的二项展开式的常数项. 解 解

  由于10102 21 10 101C ( ) Cm mm m m mmT x xx  ( )

 ,

 故

  1002m m  .

 解得

 m=5.

 所以二项式展开式中第 5 项是常数项,为 51010 9 8 7 62525 4 3 2 1C       .

 【 说明】

  首先求出公式中字母 m 的取值,从而确定要求的是哪一项,最后根据公式写出该项,是解决这类问题的一般方法.

 说明

 引领

 讲解 说明

  理解

 思考

 主动 求解

  学生 自我 发现 归纳

  四、 拓展练习 1. 用二项式定理展开下列各式:

 (1)8(1 ) x  ;(2)61( ) xx ;

 提问 巡视 指导

 动手 求解

 及时 了解 学生 知识 掌握

 教 教

  学

 过 过

  程 教师 师 行为 为 学生 生 行为 为 教学 学 意图 图 (3)5(2 ) a b  ;(4)42( )2xx .

 2.求7( 3 ) a b  的展开式的第 4 项及含有2 5a b 的项. 情况 思考并回答下面的问题:

 二项式定理的内容是什么? 结论:

 0 1 1( ) C C C Cn n n m n m m n nn n n na b a a b a b b       

 质疑

 归纳强调

 回答

 理解

 强化

 师生共同归纳强调重点 五、 归纳小结 强 强 化 思想 本次课学了哪些内容?重点和难点各是什么?

 引导

  回忆

 板书设计

 1.二项式定理

  问题 1 2.通项公式

  3.二项式系数的性质

  问题 2 课后反思

 二项式定理是代数乘法公式的推广,这节课的内容安排在计数原理之后进行学习,一方面是因为它的证明要用到计数原理,可以把它作为计数原理的一个应用:另一方面是由于二项式系数是一些特殊的组合数,由二项式定理可导出一些组合数的恒等式,这对深化组合数的认识有好处.再者,二项式定理也为学习随机变量及其分布作准备,它是带领我们进入微分学领域大门的一把金钥匙.运用二项式定理还可以解决如整除、近似计算、不等式证明等数学问题总之,二项式定理是综合性较强、具有联系不同内容作用的知识

  本节课再现了二项式定理发现的历史背景,让学生体验问题发现的过程.教师在教学过程中为学生搭建“脚手架”从根本上来说是对教学过程的一种管理与调控,这种管理与调控是建立在对学生认知基础和认知规律的认识之上的,也就是要解决何时搭建“脚手架”、搭建什么样的“脚手架”。“脚手架”搭建过早、过细,学生的思维被牵着走,缺少自由发挥的空间,从问題的提出到问题的解决,一路顺风顺水,不仅无法体验思维过程中的各种尝试,也缺少思维挫败的经历,及至面临挫败时缺少主动求新、求变的意识。二项式定理的系数规律是无法观察出来的,学生思维定势是“先具体再抽象,先特殊再一般”,究竟是否让学生经历“观察的挫败”是教学设计中争议的又一焦点。一些教师害怕在此耽误时间,来不及处理后面的教学内容而主张放弃,但综合考虑学生的认知规律、人格的完善、创新意识的培养,这是不可或缺的环节,经历“观察的挫败”是手段,目的是要培养学生“碰壁”之后主动求变、求新的意识。这就需要教师指导学生换个角度去思考、去探索、去发现,促使其求变。至此,关于争议二的问题也彻底解决了。二项式定理的证明过程与发现过程的一致性,为学生看书自学定了基础。在教学设计过程中,这一证明过程更适合学生通过阅读自学、总结、

 证明。这种安排不仅有利于落实新课程标准的理念,还利于学生学习能力的培养。

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