突破函数概念教学难点几点对策（完整文档）

下面是小编为大家整理的突破函数概念教学难点几点对策（完整文档）,供大家参考。

　

　突破函数概念教学难点的几点对策 作

　者：

　康井荣

　作者简介：

　康井荣，浙江省江山市清湖高级中学（324100）.

　原发信息：

　《中学数学教学》(合肥)2014 年第 20143 期 第 21-23 页

　期刊名称：

　《高中数学教与学》 复印期号：

　2014 年 09 期

　笔者近期就“函数”一章进行高一期末复习，目的是了解学生对概念的掌握情况.在给学生出的测验卷上有一道题是：已知集合 A=｛1，2，3｝，B=｛-1，0，1｝，函数 f：A→B 满足：f（1）+f（2）+f3）=0，则这样的函数 f（x）共有（

　）个

　 A.4 个 B.6 个 C.7 个 D.8 个

　 本以为这样一道常规的问题不会有多少学生做错，然而事实却让人非常惊讶：全班 48 人，有 21 人做错.通过与学生的交流，发现错误的原因主要有两个：一是认为对于一个没有给出具体解析式的函数，f（（1），f（2），f（3）不好算；二是不会运用分类讨论，或者分类讨论不完整.当然，教学方面也有问题：一是教学进度较快，学生囫囵吞枣，没有充分理解概念，因而学得似懂非懂、云里雾里的；二是教师没有帮助学生很好地

　揭示函数的本质，导致出现学生说没有给出函数解析式，所以 f（1），f（2），f（3）算不来的闹剧.

　 众所周知，函数概念是中学数学中最重要的核心概念之一，函数的思想和方法贯穿高中数学课程的始终，学会用函数的观点和方法解决数学问题，是高中数学主要的学习任务之一.然而，函数概念因其取元的任意性、象的唯一性以及对应法则“f”的高度抽象性，而成为最难把握的概念之一，无论是教师的教还是学生的学，都存在很大困难.因此，如何全面而深刻地理解函数概念、破解概念教学难点是学好函数概念的根本所在.

　 一、巧借引喻，剖析概念

　 在函数的定义中，“对于任意给定的 x，都有唯一确定的 y 与之对应”，同时强调“任意”和“给定”，这两个关键词以及对应关系对学生的理解是有障碍的.为了突破这一障碍，我们可以借用引喻：用两个“QQ群”分别代表某个幼儿园里所有孩子组成的“孩子群”和所有妈妈组成的“妈妈群”.由于每个孩子都对应一个唯一的妈妈，因此，函数就相当于“孩子群”里的孩子与“妈妈群”里的妈妈这种对应关系.下面就概念的本质和内涵，结合这个引喻逐一加以剖析，以加深对概念的理解.

　 1.函数的本质是一种对应，即 A 集合中的每个元素 x 在 B 集合中都有唯一的对应值 y

　 这种对应可以是一对一、二对一或多对一的关系，如引喻中“孩子群”中的孩子可以是独生子女、双胞胎、或兄妹几个，他们在“妈妈群”中分别对应同一个妈妈.这种对应要求 A 集合元素必须具有任意性、B 集合

　的对应元素必须具有唯一性.因此 A、B 两集合有先后顺序之分，是主导与从属的关系.若 A→B 是函数，则 B→A 不一定是函数，如引喻中“妈妈群”对应“孩子群”就不是函数关系，因为一个妈妈可以对应两、三个孩子.

　 2.函数的三要素：定义域 A、对应关系 f、值域 C

　 定义域即为集合 A，如“孩子群”中的所有孩子构成的集合；对应关系 f 指 A 中元素在 B 中对应值的一种对应关系，如引喻中的对应法则即为孩子找自己的妈妈；值域 C 是定义域 A 中的元素 x 在 B 中对应值 y 构成的集合，故 C B，如引喻中，每个孩子对应的妈妈组成的新“群”一定是“妈妈群”的一部分.如果一个函数定义域、对应关系确定的话，值域也就确定.

　 已知一个函数的解析式为 f（x）= ，它的值域为｛1，4｝.

　 问：这样的函数有多少个？试写出其中的两个？若值域改为[1，4]呢？

　 （学生可以自由讨论）

　 3.如何理解集合 A、B 都是非空数集？

　 即 A 或 B 是空集时，不能在 A、B 之间建立函数关系，如 y= 都无意义，即 B 为空集，因此 不是函数关系；另外，当 A、B 为非空但不是数集时，仍不能构成函数关系.如引喻中“孩子群”里的孩子与“妈妈群”里的妈妈是一一对应，但它不是函数，因为如果视这两个群为两个集

　合的话，则这两个集合都不是数集，但如果给每个孩子和每个妈妈分别编号，则孩子的号码与妈妈的号码成函数关系，因为此时它定义在数集上了.

　 4.符号 f（x）的理解

　 f（x）是一个整体符号，表示一个对应值，不能把它拆成乘积或某种运算，应该理解为 x→y，即自变量 x 在对应关系 f 的作用下，其对应值为y，记作 y=f（x）.

　 例如，假设引喻中某孩子的编号是 6，其妈妈的编号是 13，即 A 中元素 6 在 B 中的对应值是 13，那么就记作 f（6）=13.

　 f 是一种对应法则，与所用的字母及表达式都无关，只要定义域相同，对应法则相同，就是同一个函数.例如 f（x）=2-x，x∈｛1，2，3｝和 g（t）=2-t，t∈｛1，2，3｝是同一函数.

　 在函数的三要素中，起核心作用的是对应关系 f 它可以理解为一种“程序”或“处理器”.一个变量 x，通过一个对应关系 f 得到另一个值y，通俗地说，就是自变量 x 作为原料，对应关系 f 作为加工机器，那么原料 x 放到机器中加工出来的成品就是函数值 y，其关系图如下.引喻中，“处理器”f 就是孩子找妈妈这种对应关系.

　二、利用图象、数表，理解概念

　 发展学生数形结合的能力是获得对数学概念深刻理解的重要途径.因此，对函数概念的认识，辅之以图象、数表的形象表示，可以减少函数概念的学习困难.

　（1）选用典型、贴切的图形、图表作例子，给学生提供直观的机会，使抽象的函数符号形象化，尤其是对定义域、值域、对应关系的直观理解.

　 例 1 右上图中的曲线表示的是十年黄金价格走势图.

　 请问这是一个函数吗？为什么？如果是的话，其定义域、值域和对应法则分别是什么？

　 问：PM2.5 浓度年均值是序号的函数吗？是的话，指出其定义域、值域、对应法则.

　 问：上述两个例子可以用解析式表示函数吗？

　 例 3 小明的妈妈早上听说今天要停水，就赶紧打开自来水龙头，用水桶蓄水.右图是蓄水量 y 随时间 t 的图象.请问这是个函数吗？这个图象说明了什么问题？从函数的三要素来看，是哪个要素导致出现了这个问题？

　结论 函数的定义域或对应关系改变了，得到的函数也就不同了.

　 （2）利用图象是否是函数，对概念进行辨析，使学生达到对概念的深刻理解.受初中的影响，学生往往认为函数的图象是一条平滑连续的曲线.因此，举函数图象时，尽量举一些分段的、孤立的点、不是光滑曲线的图象.

　例 4 判断下列图象，哪些是函数图象，哪些不是，并说明理由.并指出函数图象有什么特征.

　例 5 设集合 M=｛x｜0≤x≤2｝，N=｛y｜0≤y≤2｝，那么下列四个图形中，不能表示定义域 M 到值域 N 的函数关系的有________，其原因分别是________.

　三、学生亲历体验，内化概念

　 函数概念的高度抽象性使得学生理解和掌握难度较大，需要学生更多的经验积累作支撑.因此，教师除了要选用典型例子对概念作剖析外，还要让学生去亲历体验，自行举例，自行用函数定义进行分析、比较、讨论，经历从具体到抽象的概括过程，在亲身体验中获得内心感悟，这样学生才会感悟深刻.

　 通过前面教师对概念的讲解以及从数、形两方面对概念进行理解后，学生对函数的本质有了一定的认识，这时候有必要对学生对于函数本质的理解状况进行检查，而检查的有效手段是让学生举例子，再组织学生自己讨论，例如下表.

　 函数概念包括两个本质属性（变量和对应关系），而上述例子正是围绕“两个本质属性”这一核心设计的.应该说，这种设计是递进式的，有助于学生对概念的逐步深入理解.对学生举的例子，正确的由其他学生作点

　评、不正确的由其他学生予以纠正，并举出恰当的例子.通过学生这种“讨论”式的学习，学生不仅对概念的理解更深刻，而且概念的本质也内化了.

　 对于函数这样高度抽象的概念，教师必须采取“多举并进”、“多管齐下”的教学策略：除了教师精心备课，找准例子对概念深入剖析外，还要注意引导学生从数与形两方面相结合对概念进行辨识，同时要发动学生动手、动口、动脑，亲身体验概念的概括过程.只有这样，才能破解教学难点，提高课堂教学效果.

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