第12讲,追及和相遇问题（解析版）（完整文档）

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　第 12 讲 追及和相遇问题

　甲、乙两人沿平直的公路进行自行车追逐比赛，他们初始在同一位置 A，某时刻甲以 12m/s的速度从 A位置开始匀速运动，经过时间 2s 后，乙再从 A位置出发追赶甲，乙先做初速度为零的匀加速直线运动，加速度大小为23m/s ，速度达到 15m/s 后做匀速直线运动。

　（1）求乙追上甲之前，甲、乙间的最大距离； （2）经过多少时间乙才能追上甲？

　【答案】（1）4s；（2）20.5s 【解析】

　（1）乙出发时，甲运动的位移 1 124m x vt   乙追上甲之前，当甲、乙速度相等时，它们间距离最大，设乙运动的时间为 2t ，有 2v at  解得 24s t  甲乙相距的最大距离 1 2 2 m48m2vs x vt t    

　（2）乙加速到最大速度所用的时间为 m35svta 

　设乙运动 4 t 时间追赶上甲，则  21 4 3 m 4 312x vt at v t t    

　解得 420.5s t 

　 1．追及相遇问题 两物体在同一直线上一前一后运动，速度相同时它们之间可能出现距离最大、距离最小或者相遇(碰撞)的情况，这类问题称为追及相遇问题． 2．分析追及相遇问题的思路和方法 (1)讨论追及相遇问题的实质是分析两物体能否在同一时刻到达同一位置，注意抓住一个条件、用好两个关系． 一个条件 速度相等 这是两物体是否追上(或相撞)、距离最大、距离最小的临界点，是解题的切入点 两个关系 时间关系和位移关系 通过画示意图找出两物体位移之间的数量关系，是解题的突破口

　(2)常用方法 物理分析法 抓住“两物体能否同时到达同一位置”这一关键，认真审题，挖掘题中的隐含条件，建立物体运动关系的图景，并画出运动情况示意图，找出位移关系 图像法 将两者的 v-t 图像画在同一坐标系中，然后利用图像分析求解 数学分析法 设从开始到相遇的时间为 t，根据条件列位移关系方程，得到关于 t 的一元二次方程，用判别式进行讨论．若 Δ＞0，即有两个解，说明可以相遇两次；若 Δ＝0，说明刚好追上或相遇；若 Δ<0，说明追不上或不能相碰

　 例题 1. 平直公路上有甲、乙两辆汽车，甲以 0.5 m/s 2 的加速度由静止开始行驶，乙在甲的前方 200 m 处以 5 m/s 的速度做同方向的匀速运动，问：

　(1)甲何时追上乙？甲追上乙时的速度为多大？此时甲离出发点多远？ (2)在追赶过程中，甲、乙之间何时有最大距离？这个距离为多少？

　【答案】(1)40 s 20 m/s 400 m (2)10 s 225 m

　【解析】

　(1)设甲经过时间 t 追上乙，则有 x 甲 ＝ 12 a甲 t 2 ，x 乙 ＝v 乙 t，根据追及条件，有 12 a甲 t 2 ＝x 0 ＋v 乙t，代入数据解得 t＝40 s 和 t＝－20 s(舍去) 这时甲的速度 v 甲 ＝a 甲 t＝0.5×40 m/s＝20 m/s 甲离出发点的位移 x 甲 ＝ 12 a甲 t 2 ＝ 12 ×0.5×402

　m＝400 m. (2)在追赶过程中，当甲的速度小于乙的速度时，甲、乙之间的距离仍在继续增大；但当甲的速度大于乙的速度时，甲、乙之间的距离便不断减小；当 v 甲 ＝v 乙 ，甲、乙之间的距离达到最大值．由 a 甲 t′＝v 乙 ，得 t′＝ v乙a 甲 ＝50.5

　s＝10 s，即甲在 10 s 末离乙的距离最大． x max ＝x 0 ＋v 乙 t′－ 12 a甲 t′ 2 ＝200 m＋5×10 m－ 12 ×0.5×102

　m＝225 m.

　对点训练 1. 汽车以 20 m/s 的速度在平直公路上行驶时，制动后 40 s 停下来．现在同一平直公路上以 20 m/s 的速度行驶时发现前方 200 m 处有一货车以 6 m/s 的速度同向匀速行驶，司机立即制动，则：

　(1)求汽车刹车时的加速度大小； (2)是否发生撞车事故？若发生撞车事故，在何时发生？若没有撞车，两车最近距离为多少？ 【答案】(1)0.5 m/s 2

　(2)不会相撞 4 m 【解析】(1)汽车制动加速度大小 a＝ vAt＝0.5 m/s 2

　(2)当汽车减速到与货车共速时 t 0 ＝ vA －v Ba＝28 s 汽车运动的位移 x 1 ＝ vA 2 －v B 22a＝364 m 此时间内货车运动的位移为 x 2 ＝v B t 0 ＝168 m Δx＝x 1 －x 2 ＝196 m＜200 m，所以两车不会相撞． 此时两车相距最近，最近距离 Δs＝x 0 －Δx＝200 m－196 m＝4 m. 例题 2. 甲、乙两汽车在同一条平直公路上同向运动,其速度-时间图像分别为如图所示的甲、乙两条图线。下列对甲、乙运动的描述正确的是 (

　 )

　A.0 ～t 0 时间内甲的加速度逐渐增大 B.0 ～t 0 时间内乙的加速度逐渐增大 C.0 ～t 0 时间内的某时刻甲、乙加速度相等 D. t 0 时刻两者相遇 【答案】C 【解析】

　根据速度-时间图像中图线切线的斜率表示瞬时加速度大小,则知甲的加速度保持不变,乙的加速度逐渐减小,故 A、B 错误;0 ～t 0 时间内,对乙图作切线,总会找到一条切线与甲图线平行,即 0 ～t 0 时间内的某时刻甲、乙加速度相等,故 C 正确; t 0 时刻两者速度相等,根据图像与时间轴围成的面积表示位移,知 0 ～t 0 时间内,乙的位移比甲的大,但因为不知道两车出发点位置关系,所以 t 0 时刻两者不一定相遇,故 D 错误。故选 C。

　对点训练 2. 一辆小汽车以 30 m/s 的速度匀速行驶在高速公路上，突然发现正前方 30 m 处有一辆大卡车以 10 m/s 的速度同方向匀速行驶，小汽车紧急刹车，刹车过程中刹车失灵．如图 1 所示，图线 a、b 分别为小汽车和大卡车的 v－t 图像(忽略刹车反应时间)，以下说法正确的是(

　)

　图 1 A．因刹车失灵前小汽车已减速，故不会发生追尾事故 B．在 t＝3 s 时发生追尾事故 C．在 t＝5 s 时发生追尾事故 D．若紧急刹车时两车相距 40 m，则不会发生追尾事故且两车最近时相距 10 m 【答案】B 【解析】

　根据速度—时间图线与时间轴所围“面积”表示位移，由题图知，t＝3 s 时大卡车的位移为：x b ＝v b t＝10×3 m＝30 m 小汽车的位移为：x a ＝ 12 ×(30＋20)×1 m＋12 ×(20＋15)×2 m＝60 m 则：x a －x b ＝30 m 所以在 t＝3 s 时发生追尾事故，故 B 正确，A、C 错误；

　由 v－t 图线可知在 t＝5 s 时两车速度相等，小汽车相对于大卡车的位移：Δx＝ 12 ×(20＋10)×1 m＋ 12 ×10×4 m＝35 m<40 m 则不会发生追尾事故且两车最近时相距 Δs＝x 0 －Δx＝5 m，故 D 错误．

　追及相遇问题的常见情况 初速度小者追初速度大者

　情景图

　 匀加速追匀速

　匀速追匀减速

　匀加速追匀减速 t＝t 0 以前(v 2 ＜v 1 ) 两物体距离增大 t＝t 0 时(v 1 ＝v 2 ) 相距最远 t＝t 0 以后(v 2 ＞v 1 ) 两物体距离减小 追及情况 只能追上一次 初速度大者追初速度小者

　情景图

　匀减速追匀速

　匀速追匀加速

　匀减速追匀加速 t 0 时刻以前(v 2 ＞v 1 ) 两物体距离减小 t 0 时刻(v 2 ＝v 1 ) 若 Δx＝x 0 ，恰好追上 若 Δx＜x 0 ，追不上，有最小距离

　若 Δx＞x 0 ，相遇两次

　题 例题 3. 国产自主品牌汽车近年来技术进步明显,深受用户喜爱。汽车出厂前要经过各种严格的测试和研究,在一次汽车性能测试中, A 、 B 两辆汽车相距 s ,在同一直线上同方向匀减速行驶,汽车速度减为零后保持静止不动。

　A 车在前,初速度为 v 1 ,加速度大小为 a 1 , B 车在后,初速度为 v 2 ,加速度大小为 a 2 ,且已知 v 1 < v 2 ,但两车一直没有相遇,问 A 、 B 两车在运动过程中相距的最小距离为多少? 【答案】

　s +