精致思维，整体谋划，稳中求胜【完整版】

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　精致思维，整体谋划，稳中求胜 ————2017 年江苏高考数学第 19、20 题解析与启示 作

　者：

　赵士元

　作者简介：

　赵士元，江苏省苏州市吴中区教学研究室（215107）.

　原发信息：

　《中学数学月刊》(苏州)2017 年第 20178 期 第 57-61 页

　内容提要：

　对 2017 年江苏高考数学第 19、20 题进行了解析，并从中得到以下启示：数学教学不要忽视阅读能力的培养；解题分析不要忽视了思维导图的构建；解题教学不要忽视了运算能力的训练；考试指导不要忽视了应试的整体设计；审题训练不要忽视了数学语感的培养.

　关

　键

　词：

　高考解析/江苏高考/解题指导

　期刊名称：

　《高中数学教与学》 复印期号：

　2018 年 01 期

　每当高考落下帷幕，高考试卷便成为当年讨论的热门话题，2017 年高考也不例外.6 月 7 日下午 5 时的钟声刚响过，对 2017 年江苏数学卷的评论已占据了很多数学群的位置.总的来说，对 2017 年的高考数学卷评价一般，学生的反应普遍是一个字：难！教师的反应同样是众口一词：不如预计得那么容易.但是笔者认真做了一遍，整体感觉是尽管思维要求高，但

　不失为一份对未来数学教学有积极导向意义的试卷.下面就笔者对最后两道压轴题的分析谈谈数学复习的有效性和针对性问题.

　 先看第 19 题：对于给定的正整数 k，若数列 满足 对任意自然数 n（n＞k）总成立，则称数列 为“P（k）数列”.

　 （1）求证：等差数列 是“P（3）数列”；

　 （2）若数列 既是“P（2）数列”又是“P（3）数列”，求证：数列 是等差数列.

　 这是一道定义新概念型数学问题，除了给出“P（k）数列”的定义以外没有给出其他任何的条件，这样的数学问题就只能严格按定义思考以寻求解决问题的突破口，真正做到“从定义出发”，第（1）小问是一个容易题，意在让考生通过具体数列感知“P（k）数列”的具体含义，它是第（2）小问的铺垫.

　 本题的重头戏是第（2）问，目标是证明“数列 是等差数列”.首先明确要证明数列 是等差数列，必须证明什么样的结论？当我们明确了目标式后，就可以有的放矢地寻求解决方案.通常情况下，我们可以通过以下几个结论说明数列 是等差数列：

　 ·对任意的自然数 n，均有 是一个常数；

　 ·对任意 n≥2 的自然数 n，均有

　回头审视一下题目条件：数列 既是“P（2）数列”又是“P（3）数列”，这个条件如何用数学式子表达？这一条件意味着对任意自然数 n，当 n＞2 时，都有 ①；当 n＞3 时，都有 ②.

　 如何将条件转化到目标式？这是解题最关键的一步！

　 如果一时找不到出路，我们可以认真地盯着目标式，不断地追问目标是什么？需要什么样的式子.在不断地追问下我们能逐步明确目标式中需要，如何构建这一式子呢？这就需要将①和②式进行适当加减才有可能得到和式 ，但是如果直接相加，左边的式子将变得更加繁杂，于是我们应将这两个式子进行“变脸”，如何“变”？我们考虑到将①或②的右边变脸为 和 ，究竟将哪个式子变脸呢？通常选择①式变一下，主要从以下两个方面来考虑：首先①式长得相对“瘦小”一些，变起来好变一些，因为将其中一式变脸成 后还要变化出 ，考虑到数学的对称美， 和 的构建通常从同一个式子变化而来，而第②式相对“高大些”，变脸后两个新的式子将变得比较“长”；其次是变化出和 后还要将这个式子相加，如果从②出发变化的话，涉及的数列中的项将越来越多，这对处理问题是极为不利的.考虑到这一点后我们不妨对第①式进行改造.

　两个式子相加后得到③式，它明显比原来长“胖”了.可是别忘了还有第②式，仔细观察发现③中有 6 项正好是第②式左边的 6 项，于是我们可以将之代换成第②式右边的 ，便得到 ，即

　再看第 20 题：已知函数 有极值，且导函数 f"（x）的极值点是 f（x）的零点.（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）

　 （1）求 b 关于 a 的函数关系式，并写出定义域；

　 （2）求证：

　；

　 （3）若这两个函数的所有极值之和不小于 ，求 a 的取值范围.

　 本题对学生运算能力的要求较高，但解题思维比较顺畅，不少学生感觉做得不顺利，其主要原因是运算不过关.

　 第（1）问要研究的是 b 关于 a 的函数关系式.实际上，将 b 用关于 a的代数式表示，题中条件是什么？不难发现，题中共有两个条件：条件一“函数 有极值”是什么意思？只要学生会求函数极值，便很容易知道只要其导函数 f"（x）有零点且在零点左右两侧其导函数的函数值异号，于是一个必然的步骤是求导函数；条件二是“导函数 f"（x）的极值点是 f（x）的零点”，这一条件即是说导函数 f"（x）的极值点 满足是什么？条件一反映的是一个不等关系，条件二反映的是等量关系，而

　“b 关于 a 的函数关系式”表示的是“b 与 a”的一个等量关系，显然这一等量关系必须通过条件二获得，而定义域是一个不等关系，就应该由条件一获得.于是我们设法将条件二进行化简.

　第（3）问的条件是“f（x）与 f"（x）所有极值之和不小于 ”，目标是“求 a 的取值范围”，很显然是属于解不等式范畴，只要将条件“f（x）与 f"（x）所有极值之和不小于 ”用含有 a 的代数式表示即可.首先考虑到 f（x）是一个“一元三次式”，它有一个极大值和极小值，f（x）取得极值时对应的 x 的值是 f"（x）=0 的两个根，而 f"（x）是一个二次函数，其极值便是 f"（x）的最值.为抢分，先求解容易的问题.

　上述两大题的分析至少给我们今后的数学教学如下三个启示.

　 启示 1 数学教学不要忽视阅读能力的培养

　 很多教师在课堂教学中重视数学学科本身的学习，忽视了数学阅读能力的培养，学生的阅读水平也不容乐观.有些教师认为阅读能力的培养是语文教师的责任，其实任何一个学科的教师都应承担起培养学生的阅读能力.近几年的高考试卷很明显地表露出一个特点：那就是增强了对学生阅读水平的考核，这一点不仅体现在文科试卷，在理科试卷上也有显著表现.以

　2017 年江苏高考第 19 题为例，这是一个定义新概念型的问题，如果学生不能读懂“P（k）数列”的意义，那么这道题就无从下手，其次如果学生不能深刻领会“P（k）数列”定义中的关键信息“k 是确定的一个量，而n 是满足 n＞k 的任意自然数”，那么学生就不可能灵活地对“ ”中的变量作必要的替换，也就没法寻找到解题突破口.而第 20 题中有些同学没有读懂“导函数 f"（x）的极值点是 f（x）的零点”这句话，将 f"（x）的极值点误以为 f（x）的极值点，不但理解有误而且运算繁杂.

　 那么，在数学教学中如何培养学生数学阅读能力呢？我们觉得首先应让数学趣味阅读走进我们的数学教学，在平时的数学教学中要加强数学阅读的训练，增加数学趣味阅读，加大审题训练力度.

　 启示 2 解题分析不要忽视了思维导图的构建

　 数学教学离不开解题教学，解题教学的目的不是训练学生的刷题能力，不是教会学生如何做题，而是教会学生如何分析题意，如何在众多的题目信息中筛选出有用信息并有效利用这些信息解决实际问题，从而提升学生的思维能力.因此，解题教学中不可轻视思维的训练，不可忽视思维导图的构建.但是，在我们平时的课堂观察中很容易发现那种“填鸭式”、“结果呈现式”的解题教学仍然占很大的上风，究其原因主要是这种方式能取得短期的即兴效果，也是一种有效的应试方式.但这种方式对学生学习能力和思维能力的提升起着抑制作用.

　 基于上述观点，作者认为解题教学更确切的说法应该是问题解决，解题教学的过程实际上就是训练学生思维、引导学生开展积极思维活动的过

　程.教师应该站在一定的高度研究习题并引导学生开动脑筋主动探究，在探究过程中更好地领会和掌握基本知识，做到融会贯通，灵活运用.如上述提到的 2017 江苏高考第 19 题，当学生证明出 后，很容易作出“数列是等差数列”的错误判断，这时要引导学生反思证明过程中涉及的每一个式子成立的条件，及时发现证明过程中存在的不足，这是对思维严密性的一次极好的训练.再如第 20 题第（2）问“ ”中的证明，当作出差式“ ”并把问题化归为证不等式 时，要引导学生观察第（1）小问中求定义域时得到的“a＞3”，猜想出“3”可能是这个不等式解集的一个临界值从而进一步猜想出 很可能有 这样一个因式，这有效地训练了学生思维敏捷性.

　 启示 3 解题教学不要忽视了运算能力的训练

　 数学课程标准提出数学教学的目标是提高空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力，运算能力的培养是数学教学的一项重要任务.可是，我们有不少教师在解题教学时往往对运算的重视远远不如思路的点拨和引导，解题教学沦为思路分析，学生失去了运算训练的良机.如江苏高考第（3）问，如果学生没有较强的运算基本功是不可能走向成功的！为此，在解题教学过程中我们既要注意思路点拨也要注意运算能力的训练，对于一些运算要求比较高的问题，教师要在讲课过程中作示范性运算，不可为了片面追求课堂容量而忽视运算过程的示范从而错失运算

　能力的培养良机.只有这样，学生在遇见运算要求比较高的题目时才不至于心慌意乱.

　 启示 4 考试指导不要忽视了应试的整体设计

　 北京师范大学资深教授、国家教育咨询委员会委员、中国教育学会名誉会长顾明远老师曾说过：“我不反对应试考试，但不赞成应试教育”.学习，离不开考试，考试是对一个学生学习效果进行检测的有效手段.面对一份题量不小的数学试卷，学生如何在有限时间里拿到较多的分，特别是在规定时间里如何对考试时间进行有效分配从而使考试效益最大化，这本身就是对学生学习方式和学习能力的一种检测，会考试也是学生的一种能力.因此，在平时考试指导过程中我们不要忽视了对学生应试作整体设计的指导.可是，在平时的课堂观察中我们很少听到教师在考试的整体设计上作指导.还是以 2017 年江苏高考数学卷为例，第 19、20 两道大题本身难度并不很高，但考试结果不甚理想，第 20 大题全省平均得分不足 2 分，出现这种结果的原因就是学生对考试缺乏整体设计.在拿到试卷但还没有正式开考前的 5 分钟内，学生急于心算前几道填空题而没有对整份试卷整体浏览，更没有对整份试卷作整体估计，于是让考试时间耽搁在一些不太会做的题目上，而没有给最后的大题留必要的思考时间，从而造成了潜在失分.对考试的整体设计和把握不仅是应试能力的体现更是学生心理素质的外在显现.

　 启示 5 审题训练不要忽视了数学语感的培养

　数学解题的第一步是审题，深入细致的审题是解题成功的必要前提，缺乏审题训练的解题教学距高考对学生审题能力的要求有一定距离，这一点已被越来越多的数学教师所认可，但是很多教师对如何审题缺乏研究和思考，很多教师在解题审题过程中只关注题目的条件和结论等问题本身的信息，而忽视了对数学语感的培养.其实，语感是驾驭语言的一种技能，在数学学习中数学语感表现为数学理解的精准度和敏感度，数学问题中无论是显性的还是隐性的关系都能从问题本身的文字里得到一定的体现，如果学生能够敏锐地从文本的字里行间感知相关信息，那么他就可能比较快速而精准地解决相应问题.如第 20 题第（2）小问证明“ ”，我们作差将“ ”的证明转化为“ ”时，通过对问题的阅读和理解，感知“a＞3”这个条件将在这里起关键作用，从而猜想 将是（ ）的一个因式.

　 总之，无论是数学复习还是解题教学，我们不能仅满足于让学生解决问题也不能仅满足于课堂容量，而应以问题为载体对学生进行思维品质的训练，让学生学会解题计划的整体设计、数学应试的整体谋划.只有这样，才能使学生真正做到忙中不乱，稳中求胜.