6.4.3,余弦定理、正弦定理2课时（原卷版）

下面是小编为大家整理的6.4.3,余弦定理、正弦定理2课时（原卷版）,供大家参考。

　

　6.4.3 正弦定理 导学案

　编写：廖云波

　初审：孙锐

　终审：孙锐

　廖云波

　【学习目标】

　1.了解正弦定理的推导过程，掌握正弦定理及其基本应用

　2.能用正弦定理解三角形，并能判断三角形的形状

　3.能利用正、余弦定理解决综合问题

　【自主学习】

　知识点 1

　正弦定理的呈现形式

　1.asin A ＝bsin B ＝csin C ＝2R(其中 R 是

　)； 2．a＝ bsin Asin B＝ csin Asin C＝2Rsin A； 3．sin A＝a2R ，sin B＝b2R ，sin C＝c2R . 知识点 2

　正弦定理的常见变形

　1．sin A∶sin B∶sin C＝

　 ； 2.asin A ＝bsin B ＝csin C ＝a＋b＋csin A＋sin B＋sin C ＝

　 ； 3．a＝

　 ，b＝

　 ，c＝

　 ； 4．sin A＝a2R ，sin B＝b2R ，sin C＝c2R . 知识点 3

　利用正弦定理判断三角形的解的个数

　 已知三角形的两角和任意一边，求另两边和另一角，此时有唯一解，三角形被

　 确定．已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定．具体做法如下：

　由正弦定理得 sinB＝ bsinAa， ①若 bsinAa>1，则满足条件的三角形个数为 0，即无解． ②若 bsinAa＝1，则满足条件的三角形个数为 1，即一解． ③若 bsinAa<1，则满足条件的三角形个数为

　 .

　 【合作探究】

　探究一

　已知两角和任意一边解三角形

　【例 例 1 1】

　】在△ABC 中，已知 B＝30°，C＝105°，b＝4，解三角形．

　 归纳总结：

　【 练习 1 1 】△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 cosA＝ 45 ，cosC＝513 ，a＝1，则 b＝

　 .

　 探究二

　已知两边及一边的对角解三角形

　【例 例 2 2】

　】下列三角形是否有解？有解的作出解答． (1)a＝7，b＝8，A＝105°； (2)b＝10，c＝5 6，C＝60°； (3)a＝2 3，b＝6，A＝30°.

　 归纳总结：

　【练习 2 2 】在三角形 ABC 中,根据下列条件解三角形,其中有两个解的是

　 。

　A． 10 b , 45 A  , 70 B 

　B． 60 a , 48 c , 60 B 

　C． 7 a  , 5 b , 80 A 

　D． 14 a , 16 b , 45 A 

　 探究三

　利用正弦定理判断三角形的形状

　【例 例 3 3】

　】在△ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边， 且(a 2 ＋b 2 )sin(A－B)＝(a 2 －b 2 )sin(A＋B)，试判断△ABC 的形状．

　 归纳总结：

　【 练习 3 3】

　】在△ABC 中，lg(sinA＋sinC)＝2lgsinB－lg(sinC－sinA)，判断△ABC 的形状．

　 课后作业

　A A 组

　基础题

　一、选择题

　1．在△ABC 中，a＝5，b＝3，则 sin A∶sin B 的值是(

　) A. 53

　 B.35

　 C.37

　 D.57

　 2．在△ABC 中，a＝bsin A，则△ABC 一定是(

　) A．锐角三角形

　 B．直角三角形 C．钝角三角形

　 D．等腰三角形

　3．在△ABC 中，若 sin Aa＝ cos Cc，则 C 的值为(

　) A．30°

　B．45°

　C．60°

　D．90°

　4．在△ABC 中，若 A＝105°，B＝45°，b＝2 2，则 c 等于(

　) A．1

　B．2

　C. 2

　D. 3

　5．在△ABC 中，a＝15，b＝10，A＝60°，则 cos B 等于(

　)

　6．在△ABC 中，已知 A＝ π3 ，a＝ 3，b＝1，则 c 的值为(

　) A．1

　B．2

　C. 3－1

　D. 3

　7．在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c.已知 8b＝5c，C＝2B，则 cos C 等于(

　)

　 A.725

　 B．－725

　 C．±725

　 D.2425

　 8．在△ABC 中，AC＝ 6，BC＝2，B＝60°，则角 C 的值为(

　) A．45°

　B．30°

　C．75°

　D．90°

　9．在△ABC 中，若acos A ＝bcos B ＝ccos C ，则△ABC 是(

　) A．直角三角形

　 B．等边三角形 C．钝角三角形

　 D．等腰直角三角形

　 10．在△ABC 中，B＝60°，最大边与最小边之比为( 3＋1)∶2，则最大角为(

　) A．45°

　 B．60° C．75°

　 D．90°

　11．在△ABC 中，acos B ＝bcos A ，则△ABC 一定是(

　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形

　12．在△ABC 中，若 tan A＝ 13 ，C＝150°，BC＝1，则 AB 等于(

　)

　 A．2

　B.103

　C.102

　D．4

　 二、填空题

　13．在△ABC 中，若 b＝1，c＝ 3，C＝ 2π3，则 a＝________.

　14．在△ABC 中，A＝60°，a＝4 3，b＝4 2，则 B＝______.

　 16．已知 c＝50，b＝72，C＝135°，则三角形解的个数为________．

　 17．在单位圆上有三点 A，B，C，设△ABC 三边长分别为 a，b，c，则asin A ＋b2sin B ＋2csin C＝________.

　18．在△ABC 中，B＝30°，C＝120°，则 a∶b∶c＝________.

　19．锐角三角形的内角分别是 A、B、C，并且 A>B.下列三个不等式中成立的是________． ①sin A>sin B； ②cos A<cos B； ③sin A＋sin B>cos A＋cos B.

　 三、解答题

　20．在△ABC 中，求证：

　a－ccos Bb－ccos A ＝sin Bsin A .

　21．在△ABC 中，已知 c＝10， cos Acos B ＝ba ＝43 ，求 a、b 及△ABC 的内切圆半径．

　 22．在△ABC 中，bsin B＝csin C 且 sin 2 A＝sin 2 B＋sin 2 C，试判断三角形的形状．

　 23．已知在△ABC 中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求 a、b 和 B.

　 24．在△ABC 中，acos( π2 －A)＝bcos(π2 －B)，试判断△ABC 的形状．

　 25．在△ABC 中，a＝5，B＝45°，C＝105°，解三角形．

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