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6.4.3,余弦定理、正弦定理2课时(原卷版)

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6.4.3,余弦定理、正弦定理2课时(原卷版)

 

 6.4.3 正弦定理 导学案

 编写:廖云波

 初审:孙锐

 终审:孙锐

 廖云波

 【学习目标】

 1.了解正弦定理的推导过程,掌握正弦定理及其基本应用

 2.能用正弦定理解三角形,并能判断三角形的形状

 3.能利用正、余弦定理解决综合问题

 【自主学习】

 知识点 1

 正弦定理的呈现形式

 1.asin A =bsin B =csin C =2R(其中 R 是

 ); 2.a= bsin Asin B= csin Asin C=2Rsin A; 3.sin A=a2R ,sin B=b2R ,sin C=c2R . 知识点 2

 正弦定理的常见变形

 1.sin A∶sin B∶sin C=

  ; 2.asin A =bsin B =csin C =a+b+csin A+sin B+sin C =

  ; 3.a=

  ,b=

  ,c=

  ; 4.sin A=a2R ,sin B=b2R ,sin C=c2R . 知识点 3

 利用正弦定理判断三角形的解的个数

  已知三角形的两角和任意一边,求另两边和另一角,此时有唯一解,三角形被

  确定.已知两边和其中一边的对角,求其他的边和角,此时可能出现一解、两解或无解的情况,三角形不能被唯一确定.具体做法如下:

 由正弦定理得 sinB= bsinAa, ①若 bsinAa>1,则满足条件的三角形个数为 0,即无解. ②若 bsinAa=1,则满足条件的三角形个数为 1,即一解. ③若 bsinAa<1,则满足条件的三角形个数为

  .

  【合作探究】

 探究一

 已知两角和任意一边解三角形

 【例 例 1 1】

 】在△ABC 中,已知 B=30°,C=105°,b=4,解三角形.

  归纳总结

 【 练习 1 1 】△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 cosA= 45 ,cosC=513 ,a=1,则 b=

  .

  探究二

 已知两边及一边的对角解三角形

 【例 例 2 2】

 】下列三角形是否有解?有解的作出解答. (1)a=7,b=8,A=105°; (2)b=10,c=5 6,C=60°; (3)a=2 3,b=6,A=30°.

  归纳总结:

 【练习 2 2 】在三角形 ABC 中,根据下列条件解三角形,其中有两个解的是

  。

 A. 10 b , 45 A  , 70 B 

 B. 60 a , 48 c , 60 B 

 C. 7 a  , 5 b , 80 A 

 D. 14 a , 16 b , 45 A 

  探究三

 利用正弦定理判断三角形的形状

 【例 例 3 3】

 】在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边, 且(a 2 +b 2 )sin(A-B)=(a 2 -b 2 )sin(A+B),试判断△ABC 的形状.

  归纳总结:

 【 练习 3 3】

 】在△ABC 中,lg(sinA+sinC)=2lgsinB-lg(sinC-sinA),判断△ABC 的形状.

  课后作业

 A A 组

 基础题

 一、选择题

 1.在△ABC 中,a=5,b=3,则 sin A∶sin B 的值是(

 ) A. 53

  B.35

  C.37

  D.57

  2.在△ABC 中,a=bsin A,则△ABC 一定是(

 ) A.锐角三角形

  B.直角三角形 C.钝角三角形

  D.等腰三角形

 3.在△ABC 中,若 sin Aa= cos Cc,则 C 的值为(

 ) A.30°

 B.45°

 C.60°

 D.90°

 4.在△ABC 中,若 A=105°,B=45°,b=2 2,则 c 等于(

 ) A.1

 B.2

 C. 2

 D. 3

 5.在△ABC 中,a=15,b=10,A=60°,则 cos B 等于(

 )

 6.在△ABC 中,已知 A= π3 ,a= 3,b=1,则 c 的值为(

 ) A.1

 B.2

 C. 3-1

 D. 3

 7.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.已知 8b=5c,C=2B,则 cos C 等于(

 )

  A.725

  B.-725

  C.±725

  D.2425

  8.在△ABC 中,AC= 6,BC=2,B=60°,则角 C 的值为(

 ) A.45°

 B.30°

 C.75°

 D.90°

 9.在△ABC 中,若acos A =bcos B =ccos C ,则△ABC 是(

 ) A.直角三角形

  B.等边三角形 C.钝角三角形

  D.等腰直角三角形

  10.在△ABC 中,B=60°,最大边与最小边之比为( 3+1)∶2,则最大角为(

 ) A.45°

  B.60° C.75°

  D.90°

 11.在△ABC 中,acos B =bcos A ,则△ABC 一定是(

 ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形

 12.在△ABC 中,若 tan A= 13 ,C=150°,BC=1,则 AB 等于(

 )

  A.2

 B.103

 C.102

 D.4

  二、填空题

 13.在△ABC 中,若 b=1,c= 3,C= 2π3,则 a=________.

 14.在△ABC 中,A=60°,a=4 3,b=4 2,则 B=______.

  16.已知 c=50,b=72,C=135°,则三角形解的个数为________.

  17.在单位圆上有三点 A,B,C,设△ABC 三边长分别为 a,b,c,则asin A +b2sin B +2csin C=________.

 18.在△ABC 中,B=30°,C=120°,则 a∶b∶c=________.

 19.锐角三角形的内角分别是 A、B、C,并且 A>B.下列三个不等式中成立的是________. ①sin A>sin B; ②cos A<cos B; ③sin A+sin B>cos A+cos B.

  三、解答题

 20.在△ABC 中,求证:

 a-ccos Bb-ccos A =sin Bsin A .

 21.在△ABC 中,已知 c=10, cos Acos B =ba =43 ,求 a、b 及△ABC 的内切圆半径.

  22.在△ABC 中,bsin B=csin C 且 sin 2 A=sin 2 B+sin 2 C,试判断三角形的形状.

  23.已知在△ABC 中,c=10,A=45°,C=30°,求 a、b 和 B.

  24.在△ABC 中,acos( π2 -A)=bcos(π2 -B),试判断△ABC 的形状.

  25.在△ABC 中,a=5,B=45°,C=105°,解三角形.

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